Bài Tập Xác Suất Thống Kê (Có Lời Giải) PDF

Preview

Summary

Hey dùng tài liệu học tập và đạt điểm tốt nhé =)))...

Description

Bài tp Xác sut thng kê

Dip Hoàng Ân

BÀI TP XÁC SUT THNG KÊ

1

MATHEDUCARE COM

Bài tp Xác sut thng kê

Dip Hoàng Ân

CHƯƠNG 1: XÁC SUT 1.1. Mt hp có 100 tm th như nhau ñưc ghi các s t 1 ñn 100, Rút ngu nhiên hai th r i ñt theo th t t  trái qua phi. Tính xác sut ñn a/ Rút ñưc hai th lp nên mt s có hai ch s . b/ Rút ñưc hai th lp nên mt s chia ht cho 5. Gii a/ A :“Hai th rút ñưc l p nên mt s có hai ch s” A92 9.8 ≈ 0, 0073 P ( A) = 2 = A100 100.99

b/ B : “Hai th rút ñưc lp nên mt s chia h t cho 5” S chia ht cho 5 tn cùng phi là 0 hoc 5. Đ có bin c B thích hp vi ta rút th th hai mt cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 th còn li ñt vào v  trí ñâu. Do ñó s trưng hp thun li cho là 99.20 P ( B) =

99.20 = 0, 20 2 A100

1.2. Mt hp có cha 7 qu cu trng và 3 qu cu ñen cùng kích th ưc. Rút ngu nhiên cùng mt lúc 4 qu  cu. Tính xác sut ñ trong 4 qu cu rút ñưc có a/ Hai qu cu ñen. b/ Ít nht 2 cu ñen c/ Toàn cu trng Gii Rút ngu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu cu nên s trưng hp ñng kh năng là C104 a/ A :”trong 4 qu  cu rút có 2 qu  cu ñen” P ( A) =

C32 .C72 = 0, 30 C104

b/ B :”trong 4 qu cu ñưc rút có ít nht 2 qu cu ñen” P ( B) =

C32 .C72 + C33 .C 71 1 = 3 C104

c/ C :”trong 4 qu cu ñưc chn có toàn cu trng” 2

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

P (C ) =

C74 1 = C104 6

1.3. Mt hp thuc có 5 ng thuc tt và 3 ng kém cht lưng. Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 ng. Tính xác sut ñ: a/ C hai ng ñưc chn ñu tt. b/ Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt. c/ trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt. Gii Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 trong 8 ng nên các trưng hp ñng kh năng là A82 . a/ A :” C hai ng ñưc chn ñu tt” P ( A) =

A52 ≈ 0, 357 A82

b/ B :” Ch ng ñưc ch n ra ñu tiên là tt” P ( B ) =

C 13.C 15 ≈ 0, 268 A82

c/ C :” trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt” P ( C) = 1 −

A32 ≈ 0,893 A82

1.4. Mt hp ñng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu mi. Ln ñu ngưi ta ly ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ñó li tr vào h p. Ln th hai ly ngu nhiên 3 qu. Tính xác sut ñ c 3 qu ly ra ln sau ñu mi. Gii Đt A :” c 3 qu ly ra ln sau ñu mi” Bi :” Trong 3 qu ly ra ñ thi ñu có i qu mi” i ∈ {0;1; 2;3}

Ta thy các {B0 ; B1; B2 ; B3} lp thành nhóm ñy ñ các bin c, theo công thc xác sut toàn phn  ( ) =      +        +         +        

= (  +  +  + )

 ≈   

1.5. T mt lp có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngưi ta chn ngu nhiên 5 sinh viên ñ lp Ban cán b  lp (BCB). Tính xác sut ñ 3

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

a/ BCB gm 3 n và 2 nam, b/ BCB có ít nh t mt n, c/ BCB có ít nht hai nam và hai n. Gii Đt Ak : “BCB có k nam sinh viên” chúng ta có:

( k ∈ {0,1, 2,3, 4, 5} ),

5 −k

k .C C12 8

P (Ak ) =

C520

a/ BCB gm 3 n và 2 nam. Xác sut phi tính: 3

P ( A2 ) =

C 212. C 8 C 520

= 77

323

b/ Đt N: “BCB có ít nht mt n”, thì N = A5 . Do ñó, P ( N ) = P ( A5 ) = 1 − P ( A5 ) 0

=−

5 .C C12 8

C 520

= 1 − 33 = 613 646

646

c/ Đt H: “BCB có ít nht hai nam và hai n”. Do ñó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3) 

   =  +   =      1.6. T mt hp cha 8 viên bi ñ và 5 viên bi trng ngưi ta ly ngu nhiên 2 ln, m i ln 1 viên bi, không hoàn li. Tính xác sut ñ ly ñưc a/ 2 viên bi ñ; b/ hai viên bi khác màu; Gii

c/ viên bi th hai là bi trng. Vi i ∈ {1, 2} , ñăt: Ti : “viên bi ly ra ln th  i là bi trng”, D i : “viên bi ly ra ln th  i là bi ñ”. a/ Đt A :“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:

P ( A ) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ). P ( D2 / D1 ) = 8 . 7 = 14 13 12

39

b/ Đt B : “ly ñưc hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4

MATHEDUCARE COM

Bài tp Xác sut thng kê

Dip Hoàng Ân

P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P ( T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ). P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ). P ( T2 / D1 ) 5 8 + 8 5 = 20 Suy ra: P ( B) = 13 12 13 12 39

c/

T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác sut phi tính là: P (T2 ) = P (TT 1 2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ).P (T2 / T1 ) + P ( D1 ). P ( D2 / T1 )

5 4 suy ra P (T 2) = 13 + 8 5 = 5 12 13 12 13

1.7. Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, g m 5 nam và 3 n np ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut ñ trong 4 ng ưi ñưc tuyn, a) có duy nht mt nam; b) có ít nht mt n. Gii Đt  : “Có  nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên”  ∈    Gi : “có duy nht 1 nam”  ( ) =  ( 1 ) =

 15. 33 5 =  84 70

a) Gi  : “có ít nht 1 n”  45 13  (  ) = 1−  ( 4 ) = 1− 4 =  8 14

1.8. Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, g m 5 nam và 3 n np ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut ñ trong 4 ng ưi ñưc tuyn, a/ có không quá hai nam; b/ có ba n, bit r"ng có ít nht mt n ñã ñưc tuyn. Gii Đt  : “Có  nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên”  ∈    a/ Gi  : “có không quá 2 nam”  ( ) =  (1 ) +  (2 ) =

 15 . 33 + 52 . 32 1 =  84 2

b/ Gi  : “chn ra 3 n , bit r"ng có ít nht 1 n ñưc tuyn”. Gi B : “Có ít nht mt n ñưc chn”. 5

MATHEDUCARE COM

Bài tp Xác sut thng kê

Dip Hoàng Ân

Ta có  (  ) = 1 − ( 4) = 1 −

54 13 = 84 14

 (  ) =  (1 | ) =

 (1 ) 1 = ( ) 13

1.9. Mt c#a hàng sách ưc lưng r "ng: Trong t$ng s  các khách hàng ñn c#a hàng, có 30% khách cn hi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thc hi%n c hai ñiu trên. G p ngu nhiên mt khách trong nhà sách. Tính xác sut ñ ngưi này a/ không th c hi%n c hai ñiu trên; b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã h i nhân viên bán hàng. Gii Đt  : “khách hàng cn t ư vn”  : “khách hàng c n mua sách” Theo ñ ta có:  () = 0,3;  ( ) = 0, 2; (  ) = 0,15 a/ Xác sut khách hàng không cn mua sách cũng không cn tư vn là:

( )

( )

( ) ( )

 .  =   +   −   = 1 −

3 2  15  13 + 1− −  1− = 10 10  100  20

b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng.

(

)

 /  =

3

15

( ) =  ( ) −  (  ) = 10 − 100 = 1

 

 ( )

 ( )

1.10.

3 10

2

Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi sn ph(m  , 50% dùng loi sn ph(m  và trong s nh ng ngưi dùng  , có 36,5% dùng  . Phng vn ngu nhiên mt ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y a/ Dùng c  và  ; b/ Không dùng  , cũng không dùng  . Gii Đt  : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m  ”  : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ” Theo ñ bài ta có:  () = 0, 207;  (  ) = 0,5;  (  |  ) = 0,365 a) Xác sut ngưi dân ñó dùng c  và  là  (  ) =  ( ) . ( /  ) = 0,5.0, 365 = 0,1825

b) Xác sut ngưi dân ñó không dùng c  và  là

(

)

( )

( )

( )

 . =  . +   −   = 0, 4755

1.11. 6

MATHEDUCARE COM

Bài tp Xác sut thng kê

Dip Hoàng Ân

Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi sn ph(m  , 50% dùng loi sn ph(m  và trong s nh ng ngưi dùng  , có 36,5% dùng  . Phng vn ngu nhiên mt ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y a/ Dùng c  và  ; b/ Dùng  , bit r"ng ngưi y không dùng  . Gii Đt  : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m  ”  : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ” Theo ñ bài ta có:  () = 0, 207; ( ) = 0,5; ( /  ) = 0,365 a/ Xác sut ngưi dân ñó dùng c  và  là  (  ) =  ( ) . ( /  ) = 0,5.0, 365 = 0,1825

b/ Xác sut ng ưi dân ñó dùng  , bit r"ng không dùng  là

(

)

 / =

( ) =  ( ) − ( ) = 0,5 − 0,1852 = 0, 404 1 − 0, 207  ( )  ( )

  .

1.12. Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì 60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia ñình ñưc chn ngu nhiên a/ có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u; b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhp trên 20 tri%u. Gii Đt  : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”  : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u” Theo ñ bài ta có:  () = 0, 52;  (  ) = 0, 6;  (  /  ) = 0, 75 a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là: P ( AB ) = P( B ). P ( A/ B) = 0, 6.0, 75 = 0, 45

b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính nhưng thu nhp ít hơn 20 tri%u là:

( )

  =  ( ) −  ( ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07

1.13. Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì 60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia ñình ñưc chn ngu nhiên a/ Có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u; b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u, bit r"ng h ñó không có máy vi tính. 7

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

Gii Đt  : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”  : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u” Theo ñ bài ta có:  () = 0, 52;  (  ) = 0, 6;  (  /  ) = 0, 75 a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là: P ( AB) = P( B) .P( A / B) = 0, 6.0, 75 = 0, 45

b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là:

(

)

  / =

( ) =  ( ) −  ( ) = 0,6 − 0, 45 = 0,3125 1 −0,52  ( )  ( )

 

1.14. Trong mt ñi tuyn có hai vn ñ ng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có 60% kh năng B th ng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch  còn 30%. Tính xác sut ca các bin c sau: a/ Đi tuyn thng hai trn; b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn. Gii Đt  : “vn ñng viên  thng” vi  ∈{, }

(

)

Theo ñ bài ta có: (  ) = 0,8;  (  /   ) = 0, 6;    /   = 0,3 a/ Xác sut ñi tuyn thng 2 trn là  (   ) =  ( ) .(  /  ) = 0,8.0, 6 = 0, 48

b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn nghĩa là có ít nht mt trong hai vn ñng viên A, hoc B thng. Xác sut cn tính là: P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P (M A ) − P ( M A. M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86

1.15. Trong mt ñi tuyn có hai vn ñ ng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có 60% kh năng B th ng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch  còn 30%. Tính xác sut ca các bin c sau: a/ B thng trn; b/ Đi tuyn ch thng có mt trn. Gii Đt  : “vn ñng viên  thng” vi  ∈{, }

(

)

Theo ñ bài ta có: (  ) = 0,8;  (   /   ) = 0, 6;    /   = 0,3 a/ Xác sut B thng trn là:

( ) (

)

P ( M B ) = P( M A ) P( MB | M A.) + P M A . P MB | MA = 0,54 8

MATHEDUCARE COM

Bài tp Xác sut th ng kê

Dip Hoàng Ân

b/ Đt  : “ñi tuyn ch thng 1 trn” Xác sut ñi tuyn ch thng 1 trn là:

(

) (

)

P ( D ) = P M A .M B + P M A .M B = P ( M A ) − P ( M A.M B ) + P ( M B ) − P ( M A. M B ) = P (M

A

) + P (M B ) − 2.P ( M A.M B ) = 0,8 + 0, 54 − 2.0, 48 = 0, 38 `

1.16. Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi. Tính xác su t ñ mt thí sinh bt k ỳ a/ Đưc vào ñi tuyn; b/ B loi ' vòng th ba. Gii Đt  : “thí sinh ñưc chn ' vòng  ” vi  ∈{1, 2, 3} Theo ñ bài ta có: 0, 45  ( 1 ) = 0,8;  ( 2 | 1 ) = 0, 7;  ( 3 |  1 2 )=

a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là  (  1 2 3 ) =  ( 1 ) .  ( 2 |  1 ).  ( 3 |  1 2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252

b/ Xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng th III là

(

)

(

 1 2 3 =  ( 1 ) .  ( 2 / 1 ) .  3 / 1 2

)

=  ( 1 ). ( 2 | 1 ). (1 −  (3 |  = = 0, 308 1 2 ) ) 0, 8.0, 7.0, 55

1.17. Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi Tính xác su t ñ mt thí sinh bt k ỳ a/ Đưc vào ñi tuyn; b/ B loi ' vòng th hai, bit r"ng thí sinh này b loi. Gii Đt  : “thí sinh ñưc chn ' vòng  ” vi  ∈{1, 2, 3} Theo ñ bài ta có:  ( 1 ) = 0,8;  ( 2 | 1 ) = 0, 7;  ( 3 |  1 2 ) = 0, 45

a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là  (  1 2 3 ) =  ( 1 ) .  ( 2 |  1 ).  ( 3 |  1 2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252

b/ Đt K: “Thí sinh ñó b loi”

( )

(

)

(

)

(

 (  ) =  1 +  1 2 +   1 2 3 = 1 −  (  1 ) + (  1 ) −  (  1 2 ) +   1 2 3

)

9

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

(

)

= 1 −  (1 ). (2 / 1 ) +   3 = 1 − 0,8.0, 7 + 0, 308 = 0, 748 1 2

Vy, xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng II, bit r"ng thí sinh ñó b loi là:

(

)

 2 |  =

(

 2 . ( )

) =  (  . ) =  (  ) . (  |  ) = 0,8(1 − 0, 7) = 0,3209 1

2

2

1

 ( )

1

( )

0, 748

1.18. Mt lô hàng có 9 sn ph(m ging nhau. M i ln kim tra, ngưi ta chn ngu nhiên 3 s n ph(m; kim tra xong tr sn ph(m li lô hàng. Tính xác sut ñ sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra. Gii Chia 9 sn ph(m thành 3 nhóm. G i  : “Kim tra nhóm  ”  ∈{1, 2, 3} Đt  :”Sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra”  (  ) =          = 

      =    

1.19. Mt lp hc ca Trưng Đi hc AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chim t l% 40% trong n sinh viên, và chim t l% 60% trong nam sinh viên. a) Chn ngu nhiên mt sinh viên c a lp. Tính xác sut ñ chn ñưc mt sinh viên quê ' An Giang. N u bit r"ng sinh viên va chn quê ' An Giang thì xác sut ñ sinh viên ñó là nam b "ng bao nhiêu? b) Chn ngu nhiên không hoàn li hai sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ có ít nht mt sinh viên quê ' An Giang, bit r "ng lp hc có 60 sinh viên. Gii a) Đt : 2 3 1  : “Chn ñưc sinh viên n ”  ( ) = 3  : “Chn ñưc sinh viên quê ' An Giang” : “Chn ñưc sinh viên nam”  ( ) =

 ( ) =  (  ) +  (  ) =  ( ) (  | ) + ( ) (  | ) =

Do ñó,  ( | ) =

8 15

(  ) ( ) ( | ) 3 = = 4  ( )  ( )

b) Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24 S sinh viên N quê ' An Giang: 8 Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên  : “ít nht mt sinh viên quê ' An Giang”  (  ) = 1−  ( ) = 1−

 282 232 =  602 295

1.20. 10

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

Có ba hp A, B và C ñng các l thuc. Hp A có 10 l tt và 5 l h ng, hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng a/ Ly ngu nhiên t m i hp ra mt l thuc, tính xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi. b/ Ly ngu nhiên mt hp ri t hp ñó ly ra 3 l thuc thì ñưc 1 l tt và 2 l hng. Tính xác sut ñ hp A ñã ñưc chn. Gii a/ và  :“l ly ra t hp th  là tt”  ∈ { } Nên, xác su t ñ ñưc 3 l cùng loi  +    =       +                  +   =        b/ Đt   :“Ly ñưc hp th  ”  ∈ {  } ;  :“Ly ñưc 2 l hng và 1 l =

tt”    =  (  )  (   ) +  (  )  (    ) +  (  ) (    ) =

                   + +    =          

Khi ñó xác su t ñ hp A ñưc chn    =

 (  )  (  )  (    )  = = =   ( )  ( ) 

1.21. Có hai hp B và C ñng các l thuc. Hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng. Ly ngu nhiên hai l thuc t hp B b vào hp C, ri tip theo ly ngu nhiên mt l thuc t hp C thì ñưc l hng. Tính xác sut ñ a/ L hng ñó là ca hp B b sang; b/ Hai l thuc b t hp B vào h p C ñu là l hng. Gii Gi   : “Hai l thuc ly t hp B b vào hp C có  l hng”  ∈ { } và ñt  : “l thuc ly t hp C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b hng”   =  ( )  (    ) +  ( )  (    ) +  ( )  (    ) =

 

a/ l hng ñó là ca hp B b sang     ( )  (   ) +  ( )  (    ) =     ( )           =      +    =          

   =

11

MATHEDUCARE COM

Dip Hoàng Ân

Bài tp Xác sut th ng kê

b/ hai l thuc b  t hp B vào hp C ñu là l hng    =

         ( )  (   )  = =      =    ( )     

1.22. Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ: a/ ñi tuyn thng ít nh t mt trn, b/ ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt : : “vn ñng viên A chin thng”  ( ) = 0, 6  : “vn ñng viên B chin thng”  ( ) = 0, 7  : “vn ñng viên C chin thng”  ( ) = 0,8

a/ Gi  : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”

(

)

  =  −   =  −     =  

b/ Gi  : “ ñi tuyn thng 2 trn”

(

)

(

)

(

)

  =   +   +    =  

1.23. Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut chin thng ln lưt là 0,6;...