Banco DE Preguntas DE Examenes Calculo I PDF

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CALCULO I JOSUE PAYE CHIPANA1PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA PREGUNTAS DE EXÁMENES CON RESPUESTAS DE SEGUNDO PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHAEXAMEN: I-2 017PROBLEMA 1 a) Enuncie la hipótesis y tesis del teorema de Rolle b) Si xxf )( −= 1 por definición ...

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JOSE PAYE CHIPANA



CODEX-CALCULO I

JOSUE PAYE CHIPANA



PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA PREGUNTAS DE EXÁMENES CON RESPUESTAS DE SEGUNDO PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA EXAMEN: I-2017 PROBLEMA 1 a) Enuncie la hipótesis y tesis del teorema de Rolle

1 por definición según el límite, probar que f (1) = 1 x c) Si f ( x + 2 ) = senx hallar el valor abreviado de f ( f (2 )) = 1 d) Anote un ejemplo de una función continua, pero no derivable en x0 = 3 b) Si f ( x ) = −

Solución: a) Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado

a, b , derivable sobre el intervalo

abierto (a, b ) y entonces f (a ) = f (b) , entonces: Existe al menos un punto c perteneciente al intervalo a, b tal que f ( c) = 0 b) Para hallar la derivada por definición en un punto ( x0 ) se usa la siguiente ecuación:

f (1) = 1 c)

Evaluando en 2  f ( f (2 )) = cos(sen(2 ))  f ( f (2 )) = 1

d)

f (x ) = x − 3

PROBLEMA 2

 x2   x2 − y2   2  = 8  arctg + 2 2  y   x +3 y 

Hallar la expresión abreviada de y si se conoce: ln

Solución: y = 0 PROBLEMA 3 ( n) Deducir una expresión para la derivada n-sima f (x ) si: f ( x) =

Solución:

f

( n)

6x +6 2x + 7x − 4 2

 2n 1 n  = − + ( ) x n ( ) 2 1 ! n+1 n+1  (x + 4 )   (2 x −1)

PROBLEMA 4 Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/ convexa, máximos, mínimos, inflexiones, etc, construir la gráfica de la función:

y = x 4 − 8x 2 + 8 Solución

1

INGENIERÍA CIVIL

PAYE

INGENIERÍA PETROLERA



JOSE PAYE CHIPANA

CODEX-CALCULO I

PROBLEMA 5



JOSUE PAYE CHIPANA

Un sólido cerrado está formado por un cilindro recto de base circular que termina por encima en una semiesfera. Hallar las dimensiones del sólido para que el área superficial total sea mínima si su volumen debe ser V = 45000 cm 3

4 Vesfera =  r3 , Aesfera = 4r 2 , Vcilindro = r 2 h 3 Solución:

r = 30cm

h = 30cm

OPTATIVA Se traza una circunferencia de centro (6,0) con radio tal que el circulo corta en un ángulo 2 2 recto a la elipse 4 x + 9 y = 36

r=

Solución:

93 2

I EXAMEN: II-2016 PROBLEMA 1



  respecto de u = arctg  x − 3  2  1 + 3 x   1+ x 

Calcular la derivada de y = arcsen

x

Solución:

dy =1 du

PROBLEMA 2 2 Calcular el valor aproximado de y = (1,91) − 0,91 − 2(1,91)

− 20819 10000

Solución: y = PROBLEMA 3

 x3

y2 

x6

y4 

 x3

y2 



2 Calcular y si sen  2 + 3  − tg  4 + 6  + cos 2 − 3  = x  5 y x x  y y  

Solución: y = −

3 y 8 x3

PROBLEMA 4 Derivar y simplificar al máximo

 x2 + x +1   + 1 arctg 2 x +1  + arctg 2x − 1  y = ln 4 2  x − x +1  2 3   3   3    Solución: y =

1 x + x 2 +1 4

2

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

CODEX-CALCULO I

PROBLEMA 5

JOSUE PAYE CHIPANA

Graficar analizando por máximos y mínimos

y=

(

1 3x 4 + 8 x3 − 18x 2 48

) Solución:

PROBLEMA 6 Encontrar el área del mayor trapecio inscrito entre la curva y = 4 x − x y el eje de las abscisas. 2

Solución: A =

256 2 u 27

OPTATIVA

xx x  xx  x x  Calcular y  si y =  x     3 2 x+ x2 x 2

Solución: y = 3 x

1   2  ln x + ln x + 2x   

EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 a) Enuncie la hipótesis y tesis del teorema del valor medio de Lagrange b) Defina claramente punto de inflexión para y = f (x ) y anote un ejemplo con inflexión en x0 = 2 c) Analice la verdad o falsedad de la afirmación: La función

f ( x) = cos(4 x) ; x  0,2 

presenta el único máximo absoluto en x1 =  y su valor es 1. Justifique su respuesta. d) Anote un ejemplo de una función continua; pero no derivable en x2 = 3

Solución: a) Si f (x ) y g (x ) son continuas y derivables en un intervalo a, b , entonces existe c tal que

f ( b) − f ( a) f  (c ) ; acb = g (b) − g ( a) g (c ) b) Es un punto donde los valores de una función continua x pasan de un tipo de concavidad a otra.

f (x ) = (x − 2)

3

Defina claramente punto de inflexión para y = f (x ) y anote un ejemplo con inflexión en x0 = 2 c) Primero derivamos la función f ( x) = −4sen(4 x) = 0

x =   cos(4 ) = 1 , entonces la afirmación es verdadera. 3

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d)

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CODEX-CALCULO I

f ( x) = x − 3

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 2 Calcule la primera derivada y reduzca el resultado a la mínima el valor aproximado de expresión posible:

y=

(

3 (x − 1) x 2 − 2 x + 2 + 3 ln x − 1+ x 2 − 2x + 2 2 2

)

2 Solución: y = 3 x − 2 x + 2

PROBLEMA 3 (n ) 2 Deducir una expresión para la derivada n-sima f (x) si f ( x) = x cos(4 x)

Solución:

f

(n)

 (n −1)  + n(n −1) cos x + ( n − 2)   n  n   (x ) = 4n  x 2 cos x +     + x cos x + 2   2  16 2  2    

PROBLEMA 4 Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/ convexa, máximos, mínimos, inflexiones, etc, construir la gráfica de la función:

y=

x 2 − 2x + 1 x +1 Solución:

PROBLEMA 5 En el primer cuadrante, hallar el punto de la elipse: x + 4 y = 4 donde la recta tangente forme con los ejes coordenados un triángulo de menor área posible 2

2



2

 Solución: P0 =  2 ,  2   EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1 Calcular y  por definición:

(

)

y = x +1  ln x + 1

(

)

1 x +1 + 2 x +1 2 x

Solución: y = ln

4

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JOSE PAYE CHIPANA

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CODEX-CALCULO I

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 2 Calcular y  simplificando:

(

)

y = x 2 + 2x + 2 + ln x + 1+ x2 + 2x + 2 −

 x + 2+ 2 ln  

2 x2 + 2x + 2   x  Solución: y =

x 2 + 2x + 2 x

PROBLEMA 3 Graficar realizando un análisis de máximos y mínimos

f ( x) = 3 6 x − x2 Solución: PROBLEMA 4 Obtener los valores de a, b, c si f (x ) es continua en x=4 y derivable en x=0

 x 3 − 3x 2 − 16 0 < x 4  x3 − 64  f ( x) = a (x − c )(x − b ) 4 < x < 6 2x 2 + 3bx − c − 3 < x  0   Solución: a =

1 1 , b = 0, c = − 34 4

PROBLEMA 5 El Ingeniero Julio Uberhuaga eleva un drone en el patio del curso básico (cota-cota) en un punto situado a 800 pies de un observador y se eleva verticalmente a razón de 25 pies por segundo. Encontrar la razón de cambio con respecto al tiempo del ángulo de elevación del helicóptero con respecto al observado cuando aquel está situado a 600 pies encima del campo. Solución:

1 d = dt 50

EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1

Hallar 65

−

2 3

Solución: =

95 1536

5

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CODEX-CALCULO I

PROBLEMA 2

JOSUE PAYE CHIPANA

 x = 3 * t2    Hallar y  de  1 3  y = 3t − t  3  

9 + t2 d3 y = dx3 24 3 t3

Solución: PROBLEMA 3

2 +x −x2 Graficar realizando un análisis completo f (x ) = (x − 1)2 Solución: PROBLEMA 4 Determine una función polinómica de grado cuarto, si se sabe que tiene un punto crítico en (1,-6), su punto de inflexión en (0,-5), y que además pasa por (-1,2) 4 3 Solución: f( x) = 3 x − 4 x − 5

PROBLEMA 5 Una hoja en formato A-3 420x293 mm se dobla de modo que una solo esquina toque a uno de los lados. Realice el análisis para que el doblez logrado tenga la menor longitud posible. Solución: x2 =

y2 h 2 y −h

EXAMEN: II-2014 PROBLEMA 1

Determinar el valor que verifica el Teorema del Valor Medio:𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 ; en [0,3]

Solución: 𝑐 =

5

4

→0≤

5

4

≤3

PROBLEMA 2 Determinar los puntos en los que la recta tangente a una función polinómica de grado 3, forma un ángulo de 135°con el eje de las abscisas, si se sabe que la función tiene un valor extremo en 𝑥 =

1+√7 3

1

y que su punto de inflexión es ( 3 , −

20 ) 27

Solución: 𝑃01 = (1,2); 𝑃02 = (−

1

3

14

, 27 )

PROBLEMA 3 Determinar las dimensiones de una pirámide de base cuadrada circunscrita a un cubo de lado “a”, de tal manera que el volumen de la pirámide sea la mínimo. (Considere que las aristas del cubo u la base de la pirámide son paralelas). Solución: 𝐵 = INGENIERÍA CIVIL

PAYE

3𝑎 2

[𝑢] 𝐻 = 3𝑎[𝑢]

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PROBLEMA 4

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(

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JOSUE PAYE CHIPANA

)

Evaluar lim x 2 csc 2 xctg 2 x aplicando la regla de L hospital. x →0

Solución: L =

1 4

PROBLEMA 5 Derivar y simplificar al máximo

1 1 senx − cos x y = − ln( senx + cos x + 2 + sen2 x ) + arcsen( ) 2 2 3

senx

Solución: y´=

2 + sen2 x

EXAMEN: I-20144 PROBLEMA 1 a) Calcular: cos32° b) Derivar por definición: 𝑓(𝑥) = sin(7𝑥)

Solución: cos 32 =

90√3−𝜋 180

𝑦′ = 7 cos 7𝑥

PROBLEMA 2 Calcular el área del triángulo formado por el eje “x” y las rectas tangente y normal, en el punto de inflexión, de la curva de la función: 1 3 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3) √𝑥 − 3 2

Solución: 𝑨 =

𝟖𝟏 𝟑 ( √𝟑 𝟒

+ 𝟑)

PROBLEMA 3 Derivar y simplificar al máximo: 1 √3 + √2(senx − cosx) 3 √2(senx + cosx) + 1 ln | ln | |− y= | 4√6 4√2 √2(senx + coosx) − 1 √3 − √2(senx − cosx) 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 ] 𝟏+𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

Solución: 𝒚′ = − [ PROBLEMA 4 La fábrica de helados “Superel” planea sacar al mercado unos nuevos barquillos, con 4

capacidad de :12√

3

𝜋2

cc de helado. El costo de la masa de barquillo se cotizó con 1/18

(Bs/cc) y el costo de helado solamente es de

1 4 𝜋2 √ Bs/cc.encontrar 3 6

la ganancia neta

del producto si se desea fabricarlos a un costo mínimo y venderlos a 5 Bs. Ayuda: el ℎ volumen de un cono circular es 𝑉 = 𝜋𝑟 2 3 𝐴 = 𝜋𝑟√𝑟 2 + ℎ2

Solución: Ganancia=2Bs

7

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EXAMEN: II-2013





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JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 1 senx +x2 Hallar la derivada por definición: f ( x ) = e

Solución:  f '( x) = 2x + e Senx  Cosx PROBLEMA 2 1

 cos x Evaluar aplicando Regla de L’Hopital: lim 2 x→0  1 + tg x

 x2    Solución: L = e

−

3 4

PROBLEMA 3 Calcular el área del triángulo formado por el eje “x” y las rectas tangente y normal, en el punto de inflexión, de la curva de función: f (x ) =

1 (x + 4 )3 x − 4 2

 

Solución: A = 18(4 + 63 4 ) u 2 PROBLEMA 4

 x = a(t − sent)  y = a (1 − cos t )

Si: 





2 2 Analizar si verifica o no: y ' (1 − cost )sent + y " a (1 − cost ) cos t + 1 = 2sen t 2

Solución: Se verifica la igualdad PROBLEMA 5 Determinar las dimensiones de un paralelepípedo de volumen máximo que esté inscrito en una pirámide de base cuadrada, cuya altura es igual a su base. Solución: a =

2L  3

h=

L 3

PROBLEMA 6 Hallar los valores de a , b, c de modo que f (x ) sea diferenciable en x = −2 y continua en x = 2

 8  3 ;x  2 f (x ) =  x  2+ +  ax bx c ; x  2 8

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a=

Solución: b = 0

3 8

c=

−1 2

EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 Hallar

𝑑 3𝑦 𝑑𝑥 2

sin 𝑡−cos 𝑡

𝑥

si x= ln(𝑡𝑔 2) , y= arctg( sin 𝑡+cos 𝑡 ) Solución:

PROBLEMA 2

Si 1+xy =xy(𝑒 𝑥𝑦 − 𝑒 −𝑥𝑦 ) Calcular: E = 𝑥 4 𝑦´ + 𝑥 5 𝑦´´ + (𝑦 − 1)5 𝑦´´´ − 𝑦𝑥 3

Solución: 𝑦 (𝑛) =

1

8

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 − 𝜋

𝜋

[3𝑛 cos(3𝑥 + 𝑚 2 ) + 3cos(𝑥 + 𝑚 2 )] −

PROBLEMA 4

= = sin 𝑡 ∗ cos 2𝑡

Solución:𝐸 =

PROBLEMA 3 Hallar la n-sima derivada de la función:

𝑑 3𝑦 𝑑𝑥 3

−6𝑥 𝑥3

(𝑦 − 1)5

𝑥 𝑥−1

𝜋 𝜋 1 [9𝑛 cos(9𝑥 + 𝑚 2 ) + 3𝑛 cos(3𝑥 + 𝑚 2 ) + 7𝑛 cos(7𝑥 + 16 𝜋 𝜋 𝑚 2 ) + 5𝑛 cos(5𝑥 + 𝑚 2 )] − (−1)𝑛 ∗ 𝑚! ∗ (𝑥 − 1)−(𝑛+1)

Hallar el cilindro de volumen máximo entre todos los cilindros inscritos en un cubo de arista “a”, de tal modo que sus ejes coincidan con las diagonales del cubo y las circunferencias de las bases del cilindro, toquen las caras internas del cubo.

𝜋𝑎 3 √3

Solución: Vmax = 6

(𝑢3 )

PROBLEMA 5 Analizar y graficar completamente:

y = x  3 ( x − 5)

2

Solución:

PROBLEMA 6 Calcular por diferenciales:

5.022 − 3.012 Solución:

5.022 − 3.012 =

1607 400

PROBLEMA 7 Evaluar:

1 1 lim − x x→0 x e −1 Solución: L =

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1 2

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JOSE PAYE CHIPANA



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EXAMEN: II-2012

JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 1

Calcular por diferenciales: √(3,01)2 + (4,02)2

3,012 + 4,022 =

Solución:

2511 500

PROBLEMA 2 Evaluar:

lim

x →0

1 1 − e −1 x x

Solución: L = − 1

2

PROBLEMA 3 3

Graficar realizando un análisis completo de:

(1 + x) 2 y= x Solución:

PROBLEMA 4 Determinar las dimensiones de un cono inscrito en una esfera de radio R, de tal manera que el área lateral del cono sea mínima. Solución: A min = 0(u)2 PROBLEMA 5 Derivar y simplificar al máximo: y =

1 2 2

arctg

x 2 1+ x 4

−

1 4 2

ln

1+ x4 − x 2 1 + x4 + x 2 Solución:

y´=

1+ x 4 1 − x4

EXAMEN: I-2012111 PROBLEMA 1 Si f (x ) es una función definida paramétricamente por las ecuaciones:

 x = sent − cos t   y = cost + tsent d2 y , hallar la formula 2 y con esta calcular la forma reducida de la anterior ecuación. d x d2 y 3 Solución: 2 = − csc t d x 10

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PROBLEMA 2



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

JOSUE PAYE CHIPANA

Grafique la función f (x ) indicando los elementos mínimos necesarios tales como el dominio, puntos críticos, función creciente, máximos y mínimos, cóncavo, convexo y puntos de inflexión de: 5 3   f1 ( x ) = x − 4 x ; x  2 f ( x) =  2   f 2 ( x) = ln( x − 4) ; x  Df 2

PROBLEMA 3

 x 2 ; x 1 f ( x) =  4 , hallar los valores de a,b,c y las 2 x + ax + bx + c ; x  1 ecuaciones debla recta tangente y normal a la curva: y = f  (x ) en el punto de abscisa x=2 sabiendo que f y f  son diferenciables en todo su dominio. Para la función:

Solución: a = −3, b = 5, c = −2; lt : y − 48x + 54 = 0; l N : x + 48 y = 2018 PROBLEMA 4 Un espejo plano de dimensiones 90x80cm2, se rompe por una esquina según una recta. De los dos trazos que quedan, el menor tiene la forma de un triángulo rectángulo de catetos 10 y 12 correspondientemente a las dimensiones menor y mayor respectivamente. Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede construir con el trazo mayor Solución: A =

12615 2 u 2

PROBLEMA 5

ax + b es: x 2 − c2 n!  ac + b ac − b  f (n ) ( x) = (− 1)n +  n +1 2 c  (x − c ) (x − c )n+1 

Demostrar que la derivada enésima de una función: f ( x) =

Solución: No se demuestra.

EXAMEN: I-2011111 PROBLEMA 1 Si la curva y= f(x) es tangente a la recta y= 3x+ 5 en el punto (1,8) y si f” (1)=4. Hallar f(x)= ax 2 + bx + c Solución: 𝑓(𝑥) = 2x 2 − 𝑥 + 7

PROBLEMA 2 11

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PAYE

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

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

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JOSUE PAYE CHIPANA

2 2 Demostrar que la función y = sen(m  arcsenx) satisface la ecuación: (1 − x ) y ' '− xy'+m y = 0

Solución: SE DEMUESTRA PROBLEMA 3

Hallar; si existen los extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, de decrecimiento, sentido de concavidad y luego hacer una gráfica de la función: 𝑓(𝑥) =

3

Solució

𝑥

√𝑥 2 −1

PROBLEMA 4 Encontrar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva

x = 2q

y=

q3 2

x q2 + 8 2

Solución: 𝐿 𝑇 = 2 y + x − 4q = 0

en el punto

𝐿𝑁 = y − 2x + 3q = 0

PROBLEMA 5

Hallar:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

en x= 2 si: 𝑓′(2𝑥+1) = √2𝑥 2 + 6𝑥 − 16 3

además y = f(3 + |𝑥|3 ) 𝑑𝑦

Solución: 𝑑𝑥|

𝑥=2

= 48

PROBLEMA 6 Se va a construir en este edificio del curso básico en la parte superior un tanque de almacenamiento de agua que tanta falta nos hace. Dicho tanque debe ser de cilindro y abierto cuya capacidad debe ser 27 4 [ m 3 ] . El espesor de su pared lateral y de su base debe ser “d” ¿Qué dimensiones debe tener dicho cilindro (radio y altura interiores) de manera que se utilice la menor cantidad de material posible en su construcción ya que carecemos de recursos económicos? Solución: 𝑟 = ℎ = 3𝜋 [𝑢] EXAMEN: II-2010 PROBLEMA 1 Bosqueje la gráfica de una función que cambie de convexa a cóncava sin presentar punto de inflexión. Solución: 12

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PROBLEMA 2



JOSUE PAYE CH...