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Formelsammlung Bauelemente IIAllgemeinHaftkraft FH=∑FN⋅μNormalkraft FN=p⋅AF AF−AuflageflächeAxiale Kraft−max>H axialF FDrehmomentH UF >F⋅π⋅ ⋅μ⋅≥D pMb Ft erf 22Axiale Kraft + Drehmomentresultierende2 2 Fres= Faxial+FuFlächenpressungFres erf AFp ⋅=μDrehmoment2F t uDM =F ⋅KlemmverbindungG...

Description

Formelsammlung Bauelemente II

Allgemein Haftkraft

FH = ∑ FN ⋅ µ

Normalkraft

FN = p ⋅ AF

AF − Auflagefläche

Axiale Kraft

Drehmoment

FH > FU

FH > Faxial−max

berf ≥

2 ⋅M t D ⋅π ⋅ p ⋅ µ 2 F

Axiale Kraft + Drehmoment 2 Fres = Faxial + Fu2

resultierende

Fres µ ⋅ AF

Flächenpressung

perf =

Drehmoment

M t = Fu ⋅

DF 2

Klemmverbindung Geteilte

Fkl−erf ≥

Nabe

perf >

2 ⋅ Mt ⋅K π ⋅ DF ⋅ µ ⋅ nschr

Geschlitzte

2⋅ Mt ⋅ K ≤ pzul π ⋅ DF2 ⋅ bF ⋅ µ

Nabe

Fkl −erf ≥

perf >

M t ⋅ l1 ⋅K n ⋅ DF ⋅ µ ⋅ l2

n ⋅ Fkl− erf l2 ⋅ ⋅ K ≤ pzul DF ⋅ bF l1

bF − Klemmbreite

SS 2006

- 1 -

Bauelemente II | © Meiller 2006

Press- Schrumpfverbindung I Spannungen Außenring / Vollwelle / Hohlwelle

Verhältnis am Außenring

QA =

DF r = E D Aa rAa

2

2

(Spannungsverlauf)

σ tA

⎛ rAi ⎞ + 2 ⎜ ⎟ QA r = pF ⋅ ⎝ ⎠ 2 1 −Q A

σ rA

⎛ rAi ⎞ − 2 ⎜ ⎟ QA r = − pF ⋅ ⎝ ⎠ 2 1 − QA

Kritische Stellen (Spannung bestimmen)

Außenring (kritische S Stelle) telle)

σ tAi = p F ⋅

1 + Q2A 1 − QA2

σ rAi = − pF

r = rAi = rF

Innenring

σ tAa = p F ⋅

2 ⋅ QA2 1 − Q 2A

σ rAa = 0

r = rAa

Vergleichsspannung Spröde Werkstoffe

Zähe Werkstoffe

σ vAi =

2 ⋅ pF 2 ≤ ⋅ ReA 2 1 − QA 3

σ vAi = pF ⋅

(1 + QA2 ) ≤ Rm 1 − Q2A

Fugenpressung (bei bestimmten Druchmessern) Spröde Werkstoffe

Zähe Werkstoffe

pA −zul ≤

SS 2006

ReA ⋅ (1 −Q 2A ) 3

p A −zul ≤ RmA ⋅

- 2 -

1 − QA2 1+ Q A2

Bauelemente II | © Meiller 2006

II Spannungen Innenring / Hohlwelle

Verhältnis am Innenring

(Spannungsverlauf)

QI =

DIi DF

⎛r ⎞ 1 + ⎜ Ii ⎟ r σ tI = − p F ⋅ ⎝ 2⎠ Q 1− I

2

2

⎛r ⎞ 1 − ⎜ Ii ⎟ r σ tI = − pF ⋅ ⎝ 2⎠ Q 1− I

Kritische Stellen (Spannung bestimmen)

Außenring

σ tIa = − pF ⋅

1 + Q2I 1 − Q I2

σ rIa = − pF

r = rIa = rF

Innenring (kritische Ste Stelle) lle)

σ tIi = − pF ⋅

2 1 − Q I2

σ rIi = 0

r = rIi

Vergleichsspannung Spröde Werkstoffe

Zähe Werkstoffe

σ VIi = − pF ⋅

2 2 ⋅ ReI 2 ≤ 1 − QI 3

σ VIi = − pF ⋅

2 ≤ ⋅RmI 1 − QI2

Fugenpressung (bei bestimmten Durchmessern) Zähe Werkstoffe

pF −zul ≤

SS 2006

Spröde Werkstoffe

ReI ⋅ (1 −Q 2I ) 3

pF − zul ≤

- 3 -

RmI 2 ⋅ (1 − Q I ) 2

Bauelemente II | © Meiller 2006

III Spannungen Innenring / Vollwelle Kritische Stellen (Spannung bestimmen)

σ tIi = − p F ⋅

Wellenzentrum

2 = − 2⋅ pF 1 − QI2

σrIi = 0

Vergleichsspannung Spröde Werkstoffe

Zähe Werkstoffe

σ vI = 2 ⋅ − p F ≤

σ vI = 2 ⋅ − p F ≤ RmI

2 ReI 3

Fugenpressung (bei bestimmten Druchmessern) Zähe Werkstoffe

pF −zul ≤

Spröde Werkstoffe

ReI 3

pF − zul ≤

RmI 2

Dehnung Außenteil (Nabe)

εA =

pF EA

⎞ ⎛ 1+ QA2 ⋅ ⎜⎜ + v A ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 1− QA

Fugendehnung

Innenteil (Hohlwelle)

εI = −

ε F = ε Ai − ε Ia εF =

Querdehnzahl

Elastizitätsfaktor

SS 2006

⎞ pF ⎛ 1 +QI2 ⋅ ⎜⎜ − vI ⎟⎟ 2 E I ⎝ 1 − QI ⎠

ν=

K ⋅ pF EA

1 m

Innenteil (Vollwelle)

εI = −

ε Ai −

pF ⋅ (1 − v I ) EI

Dehnung Außenteil (Nabe)

ε Ia − Dehnung Innenteil (Nabe) m − Poisonkonstante

⎞ ⎞ EA ⎛ 1+ Q2I ⎛ 1 + Q2A K = ⎜⎜ v + ⋅ ⎜⎜ − v I ⎟⎟ + A⎟ 2 2 ⎟ ⎠ ⎠ EI ⎝ 1− QI ⎝ 1 − QA

- 4 -

Bauelemente II | © Meiller 2006

Haftmaß

Haftmaß (min)

Z min =

D F ⋅ p F − min ⋅K EA

p F −min − übertragb. Drehmoment

Haftmaß (max)

Z max =

DF ⋅ pF − max ⋅K EA

p F −max − Werkstoffkennwert

Glättung (verlust)

G ≈ 0,8⋅ ( RZIa − RZAi )

Übermaß (min)

Umin = Zmin + G

← gesucht – gegeben

Übermaß (max)

U max = Z max + G

← gesucht – gegeben

Passtoleranz

PT = U max − Umin

Passungsauswahl

Tp = TB + Tw < (U max −Umin )

Elastizitätsfaktor

⎞ ⎞ EA ⎛ 1+ Q2I ⎛ 1 + Q2A K = ⎜⎜ v + ⋅ ⎜⎜ − v I ⎟⎟ + A⎟ 2 2 ⎟ ⎠ ⎠ EI ⎝ 1− QI ⎝ 1 − QA

Moment Übertragbar

M t max =

2⋅ M t max pzul ⋅ µ ⋅ AF

Flächenpressung

perf =

Leistung

P = Mt ⋅

SS 2006

DF ⋅ p zul ⋅ µ ⋅ AF 2

AF = DF ⋅ π ⋅ b AF = DF ⋅ π ⋅ b

n d n ⋅ 2π = Fu ⋅ ⋅ ⋅ 2π 2 60 60

- 5 -

Bauelemente II | © Meiller 2006

Längspressverband

Fe− max = µ ⋅ π ⋅ DF ⋅ bF ⋅ pzul

Längspressverband

Querpressverband

Schrumpfverband (erwärmen)

TA =T +

Umax + Se αA ⋅ DF

Dehnpressverband (abkühlen)

TI = T −

Umax + Se αI ⋅ DF

Kombination

TA =T +

U A + SeA α A ⋅ DF

TI = T −

UI + SeI α I ⋅ DF

SeA = S eI =

1 Se 2

Se ≥ 0,001⋅ DF TA ≈ T +

U max + Se αI − (T − TI ) α A ⋅ DF α A

Umax − max zul. Übermaß

Se − Einführspiel

T−

Umgebungstemperatur

α−

Wärmeausd.koeffizient

! ! TA richtet sich nach der maximalen Abkühltemperatur TI ! !

Rotationseinfluss

2 π ⋅ DAa

2 ⋅ pFo pFo − (3 + ν )(1− Q 2A) ⋅ ρ

Grenzdrehzahl

ng =

Moment (Übertragbar)

⎡ ⎛ n ⎞2 ⎤ M n = M 0 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝ ng ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

SS 2006

- 6 -

ρ−

Fugenpressung bei n=0

Dichte Nabe / Welle

Bauelemente II | © Meiller 2006

Kegelsitze Allgemein

D− d L

Kegelverhältnis

C=

Mittlerer Durchmesser

DmF =

D+ d 2

C 2

Kegelwinkel

tan α =

Reibwinkel

tan µ = ρ

Kräfte und Momente

Einpresskraft

Fe ≥ 2 ⋅ M t ⋅

Moment (Übertb. max)

M t − max ≤

sin(α 2 + ρ ) sin( ρ) ⋅ DmF

Fe sin( ρ) ⋅ DmF ⋅ 2 sin(α 2 + ρ )

Fugenpressung und Spannungen

cos(ρ ) ⋅ cos(α 2 ) Fe ⋅ DmF ⋅ π ⋅ L sin(α 2 + ρ )

Fugenpressung

pF =

Fugenpressung (erf.)

pF − erf ≥

Moment (Übertb. max)

Mt − max ≤ pF − zul

2 ⋅ Mt cos(α 2 ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ L tan( ρ ) D mF

D 2mF ⋅ π ⋅ L tan( ρ) ⋅ 2 cos(α 2 )

Aufschub / mittleres Übermaß

Aufschub

(Z + G ) U 2 a = 2α = tan( 2 ) tan( α 2 )

amax mit Umax bzw. Zmax amax mit Umax bzw. Zmax

Elastizitätsfaktor

⎞ ⎞ EA ⎛ 1+ Q2I ⎛ 1 + Q2A ⎟⎟ + − v I ⎟⎟ + K = ⎜⎜ v ⋅ ⎜⎜ A 2 2 ⎠ ⎠ EI ⎝ 1− QI ⎝ 1 − QA

Haftmaß (max)

Z max =

DmF ⋅ pzul ⋅K E A ⋅ cos(α 2 )

Haftmaß (min)

Z min =

DmF ⋅ perf ⋅K E A ⋅ cos(α 2 )

SS 2006

- 7 -

Bauelemente II | © Meiller 2006

Formschlüssige Welle - Nabe Querstift unter Drehmoment

Flächenpr. Nabe

pA =

4⋅ M t (D − D2Ai ) ⋅ d 2 Aa

d − Bolzendurchmesser

Mt − Drehmoment Flächenpr. Welle

pI =

6⋅ M t d ⋅ DIa2

pA =

4⋅ Mt (D − D2Ai ) ⋅ d

Hohlwelle

Flächenpr. Hohlwelle

Scherspannung Stift

τ=

2 Aa

4⋅ Mt DF ⋅ d 2 ⋅π

Längsstift unter Drehmoment

Flächenpressung

Scherspannung

p =

τ=

4 ⋅ Mt DF ⋅ d ⋅ l

l t − tragende Stiftlänge

2⋅ Mt p = DF ⋅ d ⋅ l 2

Passfedern Flächenpr. mittlere

Schubspannung

pm =

2 ⋅ Mt d ⋅ ht ⋅ lt ⋅ n ⋅ ϕ

2 ⋅M t τa= d ⋅ As

ht ≈ 0,45⋅ h n − Federnanzahl

l t − tragende Länge

Fläche (FormB)

As ≈ b ⋅ l ⋅ϕ

Fläche (FormA)

As ≈ b ⋅ l + b 2 ( π 4 − 1)

ϕ − Tragfaktor ϕ = 1; n = 1 ϕ = 0,75; n = 2 SS 2006

- 8 -

Bauelemente II | © Meiller 2006

Keilwellen Tragende Höhe Mitnehmer

Flächenpr. mittlere

Schubspannung

ht =

(d 2 − d 1) − ( f1 + f2 ) ≈ 0,4 ⋅ ( d2 − d1 ) 2

2 ⋅ Mt dm ⋅ ht ⋅ lt ⋅ n ⋅ ϕ

l t − tragende Mitnehmerlänge

2 ⋅Mt dm ⋅ As

dm − Teilkreisdurchmesser

pm =

τa=

n − Mitnehmerzahl

ϕ = 0,75 − Tragfaktor Fläche

As ≈ b ⋅ l t ⋅ n ⋅ ϕ

Zahlwellenverbindung Tragende Höhe Mitnehmer

Tragende Höhe Mitnehmer

ht ≈ 0,5 ⋅ ( d3 − d1)

(Kerbverzahnung) ϕ = 0,5

ht ≈ 0,5⋅ [ d a1 − ( d a2 + 0,16 ⋅ m)]

(Elvoventenverzahnung) ϕ = 0,75

2 ⋅ Mt dm ⋅ ht ⋅ lt ⋅ n ⋅ ϕ

Flächenpr. mittlere

pm =

Fugendruck äquivalent

pm− äqul =

2⋅ M t tan α ⋅ dm2 ⋅ π ⋅ lt

Polygonprofil Flächenpr. mittlere

p≈

Mt lt ⋅ (0,75 ⋅π ⋅ e1 ⋅ d1 + 0,05 ⋅ d12 )

(P3G – Gleichdick – Profil)

Flächenpr. mittlere

p≈

Mt lt ⋅ (π ⋅ er ⋅ dr + 0,05 ⋅ dr2 )

(P4C – Profil)

Nabenwandstärke (min)

s ≥ c⋅

Mt

σ Z − zul ⋅ L

Profil P3G

P4C

SS 2006

- 9 -

d4[mm] ≤ 35mm

c 1,44

> 35mm

1,2 0,7

Bauelemente II | © Meiller 2006

Achsen und Wellen Torsion

Biegung

Mb ≤ σ b− zul Wb

Biegespannung

σb =

Durchmesserverh.

k=

Vollwelle erf.

d a− erf . ≥ 3

Hohlwelle erf.

d a− erf . ≥ 3

τt =

Mt ≤ τ t − zul Wp

Durchmesserverh.

k=

di da

32M b π ⋅ σ b − zul

Vollwelle erf.

d a −erf . ≥ 3

16Mt π ⋅ τ t − zul

32 M b π ⋅σ b − zul ⋅ (1 − k4 )

Hohlwelle erf.

d a −erf . ≥ 3

16M t π ⋅ τ t − zul ⋅ (1 − k 4 )

Torsionsspannung

di da

Schubbelastung

Scherbelastung

τs =

FQ A

Kombinierte Belastung

Vergleichsspannung

σ v = σ 2 + 3(α 0 ⋅τ )2

Vollwelle erf.

d a− erf . ≥ 3

16

π ⋅σ b− zul

α0 =

⋅ 4M b2 + 3(α0 ⋅ M t )2

σ zul 3 ⋅ τ zul

Auslegen nach max.Biegemoment und Torsionsmoment Biegemoment vektoriell addieren

16 ⋅ 4M b2 + 3(α0 ⋅ M t )2 π ⋅σ b− zul ⋅ (1− k 4 )

Hohlwelle erf.

da− erf . ≥ 3

Vergleichsmoment

3 M v = Mb2 + ⋅ (α o + Mt )2 4

Leistung

P = Mt ⋅

n d n ⋅ 2π = Fu ⋅ ⋅ ⋅ 2π 2 60 60

Verdrehung

Schub - Verdrehung

SS 2006

γ=

τt G

ϕ= - 10 -

Mt ⋅ l It ⋅ G

ϕ=

Mt l ⋅∑ G It Bauelemente II | © Meiller 2006

Unwucht drehender Wellen

Exzentrizität

e=

m2 ⋅ a m1

Federkonstante – c

c=

F1 f

Eigenkreisfrequenz

ω0 =

m2⋅ a − Wuchtmoment [gm]

f − Biegung (Einheitslast wie F1 – Lastfälle)

c m 2

Vergrößerungsfunktion

Querkraft (aus Unwucht)

⎛ ωe ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ω y V3 = = ⎝ 0 ⎠ 2 e ⎛ω ⎞ 1 − ⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ω0 ⎠

(F = m ⋅ ω e

2 e

)

⋅ (e + y)

ω2e − Erregerfrequenz (Drehfrequenz) m − konzentrierte Masse

Querkraft (gesamt)

SS 2006

Fe = m ⋅ ωe2 ⋅ ( e + y) = c ⋅ y

- 11 -

y − Biegung durch Drehung (aus V3)

Bauelemente II | © Meiller 2006

Kerbwirkung ruhend

σ kw = α k ⋅ σ n

schwingend

σ kw = βk ⋅ σ n

αk − Formzahl / Tabellenwert ηk − Werkstoffkennwert

nach Thum

β k = 1 + (αk −1) ⋅η k

X 0 − Spannungsgefälle glatter Stab X − Spannungsgefälle gekerbter Stab

Empfindlichkeitszahl

nach Thum

ηk =

βk =

βk − 1 αk − 1

ρ * − Radius einer Ersatzkerbe

1 + ρ* ⋅ X 0 1+ ρ* ⋅ X

⋅α k

H0 − 400 N/mm² H − Vickers - Brinellhärte

ρ* ≈

H0 H

Gesamteinfluss

Kerbkombination

SS 2006

βk − ges =1 + ( βk 1 − 1) + (β k 2 − 1) + ...

- 12 -

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