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Cálculo Infinitesimal y Numérico–Ejercicios Bloque II

1

CURSO 2012-2013

Series Numéricas–Series de Potencias–S. de Fourier

Nota: Los problemas tipo test que aparecen en esta relación se deben responder razonadamente. Como orientación, los resultados correctos aparecen marcados con una cruz. 1. Usando el criterio del cociente ó de la raíz estudiar la convergencia de las series numéricas: (a)

∞ ∑ n n!

(b)

∞ ∑ 5n

(c)

n5

(d)

∞ ∑ n3 (2n)!

(e)

∞ ∑ 3n + n n! n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

∞ ∑ n! n100

2. Estudiar la convergencia absoluta de las siguientes series numéricas: (a)

∞ ∑ (−1)n+1 n=1

2 3n + 1

(b)

∞ ∑

1 (−1)n+1 √ n n=1

∞ ∑ (−1)n+1

(c)

n=1

n n2 + 1

(d)

∞ ∑

n=1

(−1)n+1

6n − 2 3n + 1

3. Obtener el Intervalo, y el Radio de convergencia de las siguientes Series de Potencias: ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ xn nxn (a) (−1)n x2n (b) (c) n+1 3 n=0 n=0 n=0 (e)

∞ ∑ (−1)n nxn

(f)

∞ ∑

(−2)n

n=0

n=0

∞ ∑ x3n (h) (−1)n n! n=0

(i)

∞ ∑

n=0

4. Dada la serie de potencias:

∞ ∑

(g)

∞ ∑ (−1)n

n=0

n−1 xn (n + 1)3 2n

(−1)n

n=0

n+2 n x n+1

(j)

∞ ∑

(−1)n

n=0

x2n (2n + 1)22n

n xn n+1

(x + 1)2n , se pide: 2n+1

1. Determinar el radio, y el intervalo de convergencia de la serie. 2. ¿Es convergente la serie numérica que se obtiene para x = 0? (Examen 1/02/2011).

5. Sea la serie de potencias:

∞ ∑ (−1)n (n + 1) 2n x 3n n=1

1. Determinar su radio de convergencia. 2. ¿Son convergentes las series numéricas que se obtienen para x = 1 y para x = 2? Razonar la respuesta. (Examen 5/09/2011).

6. Sean las series numéricas: =

∞ ∑ 1+n n=1

2

, y 2n−1

∞ ∑ n! n+1 2 n=1

1. Al estudiar su carácter, obtenemos Ambas son divergentes ∞ ∞ ∑ ∑ 1+n n! diverge, y converge 2n−1 n+1 2 2 n=1 n=1

X

∞ ∞ ∑ ∑ n! 1+n diverge converge, y n+1 2n−1 2 2 n=1 n=1

Ambas son convergentes

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7.

Sean las series numéricas

∞ ∑ e2n n=1

n!

, y

2

∞ ∑ 3n − 1 n=1

2n+1

1. Al estudiar su carácter, obtenemos Ambas son divergentes

X

∞ ∑ e2n

n!

n=1 ∞ ∞ ∑ ∑ e2n 3n − 1 diverge y converge n! 2n+1 n=1 n=1

8. Sea S(x) la función suma de la serie de potencias:

converge, y

∞ ∑ 3n − 1 n=1

2n+1

diverge

Ambas son convergentes

∞ ∑

(−1)n

n=1

3n 2n x , en su campo de convergencia. n

1. El radio de convergencia de dicha serie de potencias es: √ 1 1 3 X √ 3 3 3 ∞ n ∑ 3 (−1)n , 2. La suma de la serie numérica n n=1 Es finita, y coincide con S(1)

1 Es finita, y coincide con S( ) 3

9. Sea la serie de potencias:

∞ ∑

n=0

X No se puede calcular, por no ser convergente. Otra respuesta :

(−2)n xn = 1 − 2x + 22 x2 − 23 x3 + . . . + (−2)n xn + . . ..

1. Su intervalo de convergencia Ic es: 1 1 1 1 Ic = (− √ , √ ) Ic = (−2, 2) Ic = (−1, 1) X Ic = (− , ) 2 2 2 2 2. Su suma S(x) está dada por: 1 −2 1 X Otra respuesta : 1 − 2x 1 − 2x 1 + 2x 10. Sea S(x) la función suma de la serie de potencias

∞ ∑

(−1)n

n=1

cia.

3n (x + 1)n en su campo de convergenn 2n+1

1. El radio de convergencia de la serie de potencias es: 3 2 1 2 3 2. El intervalo de convergencia Ic es: X

5 1 X (− , − ) 3 3

1 1 (− , ) 2 2

(−1, 1)

3. La suma de la serie numérica

∞ ∑ (−1)n n=1

Es finita, y coincide con S(0) Coincide con

1 2

3 2

1 3 (− , − ) 2 2

3n n 2n+1 X No se puede calcular, por no ser convergente. Otra respuesta :

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11. La función suma S(x) de la serie de potencias: ∞ ∑

n=0

(−3)n x2n = 1 − 3x2 + 32 x4 − 33 x6 + . . . + (−3)n x2n + . . .

está dada por: 1 1 − 3x

1 1 − 3x2

X

1 1 + 3x2

12. Sabiendo que: 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · = 1. 2. 3. 4. 5.

∞ ∑

n=1 ∞ ∑

nxn =

n=1 ∞ ∑

1 , |x| < 1, obtener las siguientes fórmulas: 1−x

x . (1 − x)2

n2 x n =

n=1 ∞ ∑

Otra respuesta :

n3 x n =

x2 + x . (1 − x)3 x3 + 4x2 + x . (1 − x)4

1 (n + 1)(n + 2) n x = . 2 (1 − x)3 n=0 ∞ ∑ xn+1 (−1n ) = ln(1 + x). n+1 n=0

13. Sabiendo que ex =

∞ ∑ xn n=0

n!

, calcular la suma de la serie:

14. Sea la serie de potencias S(x) =

∞ ∑

n=1

(−1)n

∞ ∑ n+1 . n! n=0

(x + 1)3n+1 . Se pide: 8n

1. El radio de convergencia, r, y el intervalo de convergenia, Ic . 2. La suma de la serie de potencias en el punto x = −2. (Examen 14/06/2012). 15. Los coeficientes de la Serie de Fourier SF (f (x)) de la extensión 2π-periódica de la función { −1, si − π ≤ x ≤ 0 f (x) = vienen dados por: 1, si 0 < x < π 1 − (−1)n , ∀n > 0 nπ 2(1 − (−1)n ) X a0 = 0, an = 0, bn = , ∀n > 0 nπ a0 = 0, an = 0, bn =

16. Sea SF (g(x)) la Serie de Fourier de g(x) = 2((−1)n − 1) π , a0 = 1 + , an = 2 πn2 Entonces, se verifica:

{

1 − (−1)n , ∀n > 0 2nπ 1 − (−1)n , bn = 0, ∀n > 0 a0 = 1, an = nπ

a0 = 0, an = 0, bn =

1 − x,

si − π ≤ x ≤ 0

1 + x,

si

0...