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Übung Mathe für WiWi...

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Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

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partielle Ableitungen: Berechnung, Anwendung in Fehlerrechnung 1. Man berechne alle partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von a) x(A, K ) = 120 · A0.85 · K 0.3 ey b) z(x, y) = x2 y + x+y y2 2 3 c) g(x, y, z) = 3xy z + 4 3 x d) L(x, y, λ) = 4x0.7 y0.3 + λ(100 − x2 − y2 ) e) u(x, y, z) = x2 y + xz + y ln z + x − 2 ln y 2. Bei der Produktion eines Gutes h¨angt der Output x von drei Produktionsfaktoren wie folgt ab 0.4 0.5 0.5 + 0.3r 0.7 r 0.3 . x(r1 , r2 , r3 ) = 0.5r0.6 2 3 1 r 2 + 0.2r1 r3

F¨ ur eine gegebene Inputkombination (r1 , r2 , r3 ) = (7, 3, 5) berechne man n¨aherungsweise die Ver¨anderung des Outputs, wenn man r1 und r2 um je 0.1 Einheiten vermindert und gleichzeitig r3 um 0.2 Einheiten ¨ erh¨oht. Man vergleiche mit der tats¨ achlichen Anderung. 3. Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r1 , r2 ) = 3·r21 ·r23 . Um wieviel Prozent erh¨ oht sich n¨ aherungsweise die produzierte Menge x, wenn r1 um 3% und r2 um 2% erh¨ oht wird. Extrema ohne Nebenbedingungen 1. Man berechne alle Extrema der Funktionen a) z(x, y) = x2 y(1 − x − y) x > 0, y > 0 b) z(x, y) = x4 + y4 + 4xy − 2x2 − 2y2 c) z(x, y) = x3 + 10x2 + y2 − 4xy − 3x − 6y d) z(x, y) = x2 + 2xy + y2 − x − 4y + 8 e) u(x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 + x1 + x2 + x3 + 1 2. Die Nachfragefunktionen f¨ ur 2 G¨ uter A bzw. B seien gegeben durch x = 120−5pA bzw. y = 80− 4pB . Die Herstellungskosten betragen K (x, y) = x2 + y2 . Bei welchen Preisen wird der Gewinn maximal? H¨ ohenlinien 1. Gegeben seien die Produktionsfunktionen √ 0.8 a) x = 2 r1 · r2 b) x = r0.4 1 · r2 . Man ermittle die Gleichungen der Isoquanten f¨ ur x = 2, 4, 6 und skizziere sie. 2. Man zeige: Die Indifferenzlinien einer Nutzenfunktion U (x1 , x2 ) = c · xa1 · x2b sind monoton fallend und konvex.

(a, b, c, x1 , x2 > 0)

3. Man ermittle die Gleichungen der Isoquanten einer CES-Produktionsfunktion − −1/ x(r1 , r2 ) = (ar− 1 + br2 )

r1 , r2 > −1

f¨ ur  = 2 und x = 1, 2 sowie f¨ ur  = −0.5 und x = 100, 200 und skizziere sie f¨ ur a = b = 1. Ableitung implizit gegebener Funktionen ∂z der durch ∂y nen Funktion z = z(x, y) im Punkt (1/2, 1, 1/2).

1. Man berechne die partielle Ableitung

y ln(x + z) −

xy +1 = 0 z

implizit gegebe-

2. Man zeige: Die Isoquanten einer CES-Produktionsfunktion − −1/ x(r1 , r2 ) = (ar− 1 + br2 )

sind monoton fallend. (Man ermittle die Ableitung

a, b > 0,

 > −1,

r1 , r2 > 0

dr2 mit Hilfe der partiellen Ableitungen von x.) dr1...