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2.Übungseinheit...

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Technische Universität Berlin Institut für Konstruktion, Mikro- und Medizintechnik

Fachgebiet Mikrotechnik Prof. Dr. rer. nat. Heinz Lehr Übung Messtechnik und Sensorik 2. Übungseinheit

Weg- und Drehwinkelmessung mittels resistiver Aufnehmer, Wheatstone – Brücke Wintersemester 2014 / 2015

Übungsleiter: M. Sc. Simon Albrecht

[email protected]

Tel. 314 - 21177

Dipl.-Ing. Bastian Blase

[email protected]

Tel. 314 - 21177

M. Sc. Gordon Böse

[email protected]

Tel. 314 - 28942

Dipl.-Ing. Romon Chakrabarti

[email protected]

Tel. 314 - 28942

Dr.-Ing. Robert Dreyer

[email protected]

Tel. 314 - 28943

Dipl.-Phys. / Ing. Johannes Gelze [email protected]

Tel. 314 - 21045

M. Sc. Oliver Mönnich

[email protected]

Tel. 314 - 24196

Dipl.-Ing. Sebastian Schlegel

[email protected]

Tel. 314 - 24196

Dipl.-Ing. Tino Schmidt

[email protected]

Tel. 314 - 21045

Tutoren: B. Sc. Helge Bochmann und Mario Runge

Inhaltsverzeichnis 1

Einleitung...................................................................................................................2

2

Physikalische Grundlagen........................................................................................3

2.1

Voraussetzungen.........................................................................................................3

2.2

Grundlagen..................................................................................................................3

2.2.1

Kirchhoff’sche Gesetze...............................................................................................3

2.2.2

Berechnung von Widerständen in Schaltungen..........................................................4

2.2.3

Spannungsteiler...........................................................................................................4

2.2.4

Messbrücke.................................................................................................................6

2.2.5

Abgleich - Brücke (Wheatstone - Brücke)..................................................................7

2.2.6

Ausschlagbrücke.........................................................................................................8

2.2.7

Potentiometer............................................................................................................13

3

Beispiele aus der Industrie.....................................................................................13

3.1

Anwendungen von Potentiometern...........................................................................13

3.2

Anwendungen von Messbrücken..............................................................................14

4

Literaturangaben....................................................................................................14

5

Verständnis- und Kontrollfragen..........................................................................15

6

Durchführung der Übung......................................................................................16

6.1

Versuch: Spannungsteiler.........................................................................................16

6.2

Versuch: Abgleich - Brücke (Wheatstone - Brücke)................................................19

6.3

Versuch: Ausschlag - Messbrücke............................................................................20

1 Einleitung In der Messtechnik werden Methoden verwendet, um physikalische Größen zu ermitteln, wie z.B. Massen, Kräfte, Drücke, Zeit, Spannungen, Längen und Winkel. Unterschieden wird zwischen direkter und indirekter Messtechnik. In der direkten Messtechnik werden Messgrößen mit Normalen, wie einem Lineal oder einem Gewicht, verglichen. In der indirekten Messtechnik sind Messsysteme und / oder -geräte zu verwenden, wenn keine Möglichkeiten bestehen, die Messgrößen auf direktem Weg zu ermitteln. Die Längenmessung sowie die Winkelmessung sind in der Messtechnik und im Maschinenbau sehr verbreitet. Die Anforderungen an die Genauigkeit und an die Automatisierung sind weit gefächert. In dieser Übung werden analogtechnische Messverfahren für die Abstandsund Winkelmessung durch resistive Weg- und Winkelaufnehmer diskutiert und dabei die Messprinzipien, deren Ausgangssignale sowie mögliche Messfehler vorgestellt.

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2

2 Physikalische Grundlagen 2.1 Voraussetzungen Die Übung baut auf den Grundlagen der Elektrotechnik auf. Die Kenntnisse der Begriffe von Spannungen und Strömen werden vorausgesetzt.

2.2 Grundlagen Im Folgenden werden die Kirchhoff’schen Gesetze, die Berechnung der Gesamtwiderstände, der belastete und unbelastete Spannungsteiler, sowie die Wheatstone - Messbrücke erklärt.

2.2.1 Kirchhoff’sche Gesetze Knotenregel: An einem Knotenpunkt ist die Summe aller Ströme gleich Null. Zufließende Ströme werden gemäß Vorzeichenkonvention positiv definiert. I1

I2 I3

I5 I4 Abb. 2-1

Beispiel eines Knotenpunkts n

Beispiel : I 1 I2 I3 I4 I 5 = 0

allgemein :

∑ Im

= 0

(2-1)

m=1

Maschenregel: In einer Masche ist die Summe aller Spannungen gleich Null. Die Vorzeichenkonvention besagt, dass die Spannungen in Umlaufrichtung positiv definiert werden. R U1 U5

U2

L

Umlaufrichtung U3 U

C

4

L Abb. 2-2

Beispiel einer Masche

n

Beispiel : U1 U2 U3 U 4 U5 = 0

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allgemein :

∑ Um

= 0

(2-2)

m=1

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3

2.2.2 Berechnung von Widerständen in Schaltungen Reihenschaltung: Die Summe der Einzelwiderstände ergibt den Gesamtwiderstand. R1

Abb. 2-3

Rn

R2

Reihenschaltung von Widerständen n

Beispiel : R 1 R 2  ... R n = R ges

allgemein :

∑ Rm

= R ges

(2-3)

m=1

Parallelschaltung: Die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände (Leitwert) ergibt den Kehrwert des Gesamtwiderstands.

R1

Abb. 2-4

Beispiel :

R2

Rn

Parallelschaltung von Widerständen

1 1 1 1   ...  = Rn R ges R1 R2

n

allgemein :

∑ R1

m=1

=

m

1 Rges

(2-4)

2.2.3 Spannungsteiler Unbelasteter Spannungsteiler Der unbelastete Spannungsteiler besteht aus einer Reihenschaltung zweier Widerstände, durch die der gleiche Strom fließt. Der Spannungsabfall am ersten Widerstand U 1 verhält sich zur Quellspannung U 0 wie der Einzelwiderstand R1 zum Gesamtwiderstand R 1 + R2 der Reihenschaltung. Analog verhält sich der Spannungsabfall am zweiten Widerstand.

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I U1

R1

U2

R2

U0

Abb. 2-5

Unbelasteter Spannungsteiler

U 1 = U0 ⋅

U2 = U0 ⋅

R1 R1 R 2 R2 R1 R 2

(2-5)

(2-6)

Belasteter Spannungsteiler Der belastete Spannungsteiler besteht aus einer Reihenschaltung zweier Widerstände. Zusätzlich wird einer der beiden Widerstände durch einen Verbraucher (Lastwiderstand) belastet, indem er parallel zum Widerstand geschaltet wird. Aus der Reihenschaltung des unbelasteten Spannungsteilers entsteht eine gemischte Schaltung. Sie besteht aus einer Parallelschaltung des zweiten Widerstands R 2 und des Lastwiderstands R L und einer Reihenschaltung der Parallelschaltung R 2 || RL mit dem ersten Widerstand R 1. Fasst man die Parallelschaltung als einen Widerstand zusammen, so ist dessen Widerstand R 2ges geringer als der Widerstand R 2 . Die Spannung U 2L ist geringer als Spannung U2 . Je kleiner der Lastwiderstand ist, desto größer sind die Auswirkungen auf R 2ges und U2L. Als Verbraucher gelten Messgeräte und Motoren. Messgeräte haben einen hohen inneren Widerstand, ältere Spulenmessgeräte um die 100 kΩ und neuere Digitalmultimeter (DMM) um die 10 MΩ.

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I

U1

R1

U0 U2L

R2

RL R2ges

Abb. 2-6

Belasteter Spannungsteiler

R 2⋅R L R2 RL

R 2ges = R 2∥R L =

U 2L = U0 ⋅

(2-7)

R 2ges R 1R 2ges

(2-8)

2.2.4 Messbrücke Die Messbrücke ist eine Parallelschaltung von zwei Spannungsteilern. Es wird zwischen der Abgleichbrücke (Wheatstone - Brücke) und der Ausschlagbrücke unterschieden. I I2

I1 U1

A

U0

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R3 B

UAB U2

Abb. 2-7

U3

R1

R2

U4

R4

Schaltung der Wheatstone - Messbrücke

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2.2.5 Abgleich - Brücke (Wheatstone - Brücke) Ist das Verhältnis der Widerstände, der parallelen Spannungsteiler R 1 zu R 2 und R3 zu R 4, gleich groß, so ist die Messbrücke abgeglichen (siehe Abbildung 2-7) und zwischen den Punkten A und B herrscht keine Potentialdifferenz. Die Brückenspannung U AB ist gleich Null. Wenn einer der Widerstände sich nur minimal ändert, wird die Brücke verstimmt, so dass sich eine Brückenspannung U AB ungleich Null bildet. Für die abgeglichene Messbrücke gilt:

U3 U1U AB = 0

U AB = 0

∧

⇔

U1 = U3

(2-9)

Nach Gleichung (2-5) ergeben sich U1 und U3 U 1 = U0 ⋅

R1 R1 R2

(2-10)

U3 = U0 ⋅

R3 R3 R4

(2-11)

(2-10) und (2-11) in (2-9) einsetzen: R1 R3 = R 1 R2 R 3R 4

R1⋅ R3 R 4  = R 3⋅ R1R 2

⇔

(2-12)

Es ergibt sich folgende Abgleichbedingung: R 1⋅R 4 = R 2⋅R 3

R1 R3 = R2 R4

⇔

(2-13)

Das Verhältnis von R 1 zu R 2 und R 3 zu R4 nennt man auch Teilerverhältnis T. T =

R1 R3 = R2 R4

(2-14)

Die Größe von Widerständen lässt sich mit der Abgleichbrücke bestimmen. Dazu ersetzt ein zu messender Widerstand R x z.B. Widerstand R3 . Danach wird das Teilerverhältnis T von R 1 zu R 2 so gewählt, dass die Brückenspannung U AB zu Null wird. R x = R4⋅

R1 R2

(2-15)

Wird für das Teilerverhältnis ein lineares Potentiometer verwendet, dann verhält sich die erste Teilstrecke L 1 zur zweiten Teilstrecke L2 = L ges - L 1, wie das Teilerverhältnis T bei einem Schiebepotentiometer. Analog verhalten sich die Winkel α 1 und α 2 bei einem Drehpotentiometer. R 3x = R 4⋅ Fachgebiet Mikrotechnik TU Berlin Ausschließlich für den Übungsgebrauch

L1 α1 ≡ R 4⋅ Lges L 1 αges α1

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2.2.6 Ausschlagbrücke Die Ausschlagbrücke misst die Veränderung der Brückenspannung und errechnet, je nach Brückentyp (Viertel-, Halb- oder Vollbrücke), die Änderung der Widerstände. Bei der Viertelbrücke ist nur ein Widerstand veränderlich, bei der Halbbrücke zwei und bei der Vollbrücke alle vier Widerstände.

R1 +∆R

R3 A

U0

B UAB R4

R2

Abb. 2-8

Viertelbrücke, R1 variabel

Nachfolgende Formeln beziehen sich auf eine Viertelbrücke. Für die Herleitung ist R 1 variabel gewählt. (2-17)

R1 = R1 ∆R 1 Für die durch ∆R1 verstimmte Messbrücke gilt: U3  U1v UAB = 0

∧

UAB ≠ 0

⇔

U AB = U3 U 1v

(2-18)

U1v ist die Spannung am Widerstand R 1, nachdem dieser um ∆R 1 geändert wird. U1v = U 0⋅

R1  ∆R 1 R1 ∆ R1 R2

(2-19)

Nach Formeln (2-18) und (2-19) errechnet sich U AB in Abhängigkeit von ∆R 1 wie folgt:

[

UAB = U 3 U1v = U 0⋅

R3 R 3 R 4



R 1 ∆ R 1 R1 ∆ R 1 R 2

]

(2-20)

Im Anschluss wird die Formel (2-20) erweitert, so dass das Teilerverhältnis T (2-14) enthalten ist. Die Brückenspannung in Abhängigkeit des Widerstands R 1 und seiner Änderung, sowie vom Teilerverhältnis T ergibt sich zu: Fachgebiet Mikrotechnik TU Berlin Ausschließlich für den Übungsgebrauch

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[

UAB = U 0⋅

1 11/T

1∆ R 1 /R 1  11 /T ∆R 1 /R 1

]

[

= U0⋅

∆ R1 /R 1⋅1/T (2-21) 11/T⋅11/T ∆ R 1 /R 1 

]

Analog lässt sich U AB in Abhängigkeit einer Änderung der anderen Widerstände R 2 , R3 und R4 berechnen.

[ [ [

UAB = U 0⋅

∆ R 2/ R 2⋅1/T 11/T⋅11 /T∆ R 2 /R 2 

UAB = U 0⋅

∆ R 3/R 3⋅1/T 11/T⋅11 /T∆ R 3 /R 3 

UAB = U 0⋅

∆R 4 / R4⋅1/T

] ] ]

(2-22) (2-23)

(2-24)

11 /T⋅11/T∆ R 4 /R 4 

Die Brücke nimmt positive oder negative Spannungen an, abhängig davon wie sich die Widerstände ändern. Eine Änderung des Widerstands R 1 hat die gleiche Auswirkung auf die Brückenspannung wie die Änderung von R 4. Das gleiche gilt für R 2 und R3. Entgegengesetzt wirken Änderungen von R 1 und R 3 sowie Änderungen von R 2 und R4 . Sie kompensieren sich gegenseitig.

Abb. 2-9

Brückenspannung in Abhängigkeit der Widerstandsänderung

Die Empfindlichkeit ist gemäß DIN 1319 definiert als: „Änderung des Wertes der Ausgangsgröße eines Messgerätes bezogen auf die sie verursachende Änderung des Wertes der Eingangsgröße“[4]. Bei einer Messbrücke ist die Ausgangsgröße die Brückenspannung U AB . Die Eingangsgrößen sind die Änderungen der Widerstände R 1 bis R4 , der Speisespannung U0 und des Teilerverhältnisses T (2-14). Je höher die Empfindlichkeit ist, umso geringer kann die Änderung des Eingangssignals sein um ein brauchbares Ausgangssignal zu bekommen. Der Messbereich wird nach oben hin Fachgebiet Mikrotechnik TU Berlin Ausschließlich für den Übungsgebrauch

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durch die maximale Belastung von Bauteilen oder durch die Gefahr einer Übersteuerung eingeschränkt. Nach unten ist der Messbereich durch die Ansprechschwelle von Geräten und Bauteilen begrenzt. Die Ansprechschwelle ist in der DIN 1319 definiert als: „kleinste Änderung des Werts der Eingangsgröße, die zu einer erkennbaren Änderung des Werts der Ausgangsgröße eines Messgeräts führt“[4]. Die Ansprechschwelle hängt von den Eigenschaften der Komponenten und äußerer Einflüsse ab, wie z. B. Reibung, Rauschen oder die Diskretisierung der Werte, die ein Messgerät anzeigen oder ein Bauteil annehmen kann.

Abb. 2-10

Brückenspannung in Abhängigkeit des Teilerverhältnisses

In der Abbildung 2-10 ist die Brückenspannung UAB über das Teilerverhältnis T aufgetragen. Die Speisespannung U 0 = 10 V und die prozentuale Änderung des Widerstands ∆R2 / R2 = 10 % sind konstant. Das Maximum liegt bei T = 1.

Abb. 2-11

Brückenspannung in Abhängigkeit des Teilerverhältnisses

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10

[

UAB = U 0⋅

∆R 4 / R4⋅1/T 11 /T⋅11/T∆ R 4 /R 4 

]

In der Abbildung 2-11 sieht man UAB über ∆R 1 / R 1 aufgetragen. U 0 = 10 V und T sind jeweils für eine Kurve konstant. Die Kurven haben drei verschiedene Teilerverhältnisse. Beide Abbildungen verdeutlichen, dass bei einem Teilerverhältnis von T = 1 die Empfindlichkeit der Brücke am größten ist. In der Praxis werden meist für alle vier Widerstände die gleiche Größe verwendet. Für alle Brückentypen in Tabelle 2-1 gilt, dass die Widerstände R 1, R 2 , R3 und R 4 gleich groß sind, und sie werden um den gleichen Betrag ∆R, positiv oder negativ, variiert. Für die Viertelbrücke, dem Additionsprinzip und der Parallelstruktur lässt sich für kleine Änderungen der Widerstände die Formel linearisieren. Der relative Fehler f U gibt die Abweichung zwischen der Kennlinie der Original - Formel und der Kennlinie der vereinfachten Formel an. Bei allen drei Fällen wächst der Fehler mit der prozentualen Änderung des Widerstands ∆R / R. Bei der Aufnahme der Kennlinie einer Messbrücke wird meist die Ausgangsspannung auf die Eingangsspannung normiert. Dies ermöglicht eine vergleichende Betrachtung von Messbrückenkennlinien, die mit unterschiedlichen Eingangsspannungen betrieben werden. U normiert =

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U AB U0

(2-25)

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1 ∆R ∆ U AB=U 0⋅ ⋅ 2 2R ∆ R

Viertelbrücke Nur ein Widerstand wird um ∆R geändert.

Vereinfachung für ∆R...