Übung 5 Standardfehler 2 PDF

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Aufgabe – Standardfehler 2 Aufgabe 1 – Varianz für Anteils- und Prozentwerte Berechnen Sie die Varianz für folgende Werte als Prozentwerte und als Anteil. Warum sind die Varianzen für den ersten und den letzten Wert jeweils gleich? 17,7%; 34%; 35,1%; 82,3% Varianz als Anteil

Varianz als Prozentwert 2

S p =( p∗q)= p∗( 100−p )

S 2p =( p∗q)= p∗( 1− p ) 17,7% q=1− p=1−0,177 =0,8230

p=0,177

p=1,7 q=100−17,7 =82,3

S 2p =( 0,177∗0,823 )=0,145671 ≈ 0,1457

S 2p =( 17,7∗82,3 )=1456,71 34%

p=0,34

q=1− p=1−0,34 =0,66

p=34 q=100−34 =66

S 2p =(0,34 ∗0,66)=0,2244

S 2p =( 34∗66 )=2244 35,1%

p=0,351

p=35,1 q=100−35,1 =64,9

q=1− p=1−0,351=0,649

S 2p =(0,351∗0,649)=0,227799 ≈ 0,2278

S 2p =(35,1∗64,9)=2277,99 82,3%

p=0,823

q=1− p=1−0,823 =0,1770

p=82,3 q=100−82,3=17,7

S 2p =( 0,823∗0,177 )=0,145671 ≈ 0,1457

S 2p =( 82,3∗17,7 )=1456,71

Die Varianzen für die beiden Werte 17,7% und 82,3% sind gleich (1456,71 bzw. 0,1457), weil die beiden Werte zusammen 100% (bzw. 1) ergeben. Um die Stichprobenvarianz zu berechnen, multipliziert man den Prozentwert mit dem Gegenprozentwert. Das Kommutativgesetzt der Multiplikation ist der Grund dafür, dass die beiden Varianzen gleich sind. Es besagt, dass sich das Ergebnis der Multiplikation nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht. Aufgabe 2 Berechnen sie das 95%-Konfidenzintervall, das 99%-Konfidenzintervall und das 99,9%Konfidenzintervall für folgende Prozentwerte jeweils für 1000 Befragte und für 2000 Befragte. 34%; 39% Stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle nach folgendem Muster zusammen Prozentwert

alpha

Fallzahl

Untere Grenze

Obere Grenz

1. Varianzschätzung S p2 =( p∗q)= p∗(100−p ) p=34

q=100−34 =66

p=39 q=100−39 =61

S 2p =( 34∗66 )=2244

S 2p =(39∗61)= 2379

2. Standardfehler berechnen

√ √

s 2p p∗q = SE p= n n für 34 %

√ √

SE p =

√ √

SE p =

√ √

2

SE p =

sp 2244 =1,4979 PP = 1000 n

2

sp 2244 =1,0592 PP = 2000 n

für 39%

√ √

SE p =

s 2p 2379 = =1,5424 PP n 1000

3. Konfidenzintervall [ p−t∗SE (¯x )]≤ P≤[ p+t∗SE(¯x )]

s2p 2379 = =1,0906 PP n 2000

Prozentwert (%)

Alpha (α))

Fallzahl (n)

Untere Grenze (%)

Obere Grenze (%)

34

0,05

1000

31,1

36,9

34

0.01

1000

30,1

37,9

34

0,001

1000

29,1

38,9

34

0,05

2000

31,9

36,1

34

0.01

2000

31,3

367

34

0,001

2000

30,5

37,5

39

0,05

1000

36,0

42,0

39

0.01

1000

35,0

43,0

39

0,001

1000

33,9

44,1

39

0,05

2000

36,9

41,1

39

0.01

2000

36,2

41,8

39

0,001

2000

35,4

42,6

Aufgabe 3 Könnten Sie auf Basis Ihrer bisherigen Kenntnisse behaupten (statistisches Testen lernen Sie später genauer), dass sich die beiden Prozentwerte in der Grundgesamtheit unterscheiden? Bei welcher Irrtumswahrscheinlichkeit? Wie viele Fälle bräuchten Sie dazu, 1000 oder 2000? Eine genaue Prognose des Parameters in Form einer Punktschätzung ist nicht möglich. Die Prozentwerte aus der Stichprobe stimmen nicht mit den Werten der Grundgesamtheit überein. Es wird lediglich ein Bereich angegeben, der den gesuchten Parameter einer Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit enthält. Es ist möglich zu sagen,dass sich die Beiden Parameter sicher voneinander unterscheiden wenn wir die Konfidenzintervalle bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit und 2000 Fällen betrachten. Dort zeigt sich keine Überschneidung der Beiden und daher können wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit behaupten,dass sich die beiden Prozentwerte in der Grundgesamtheit tatsächlich unterscheiden....