Übungen - Lösung zur Übung 7.2 + 7.3 PDF

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Aufgabe U07.2: Statisch unbestimmter Träger - Problemstellung

q x L Gesucht: a) funktionaler Verlauf der Biegelinie b) Momenten und Querkraftlinie c) Auflagerreaktionen d) maximale Durchbiegung

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.2-Seite.1

Schritt A: Differentialgleichung EIw ′′′′ = q EIw ′′′ = qx + C1

EIw′′ =

EIw ′ =

1 2 qx + C1x + C 2 2

1 3 1 qx + C1x 2 + C 2 x + C 3 6 2

1 1 1 4 3 2 qx C x EIw = + + + C3 x + C 4 C x 1 2 2 24 6 Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.2-Seite.2

Schritt B: Randbedingungen x

(1) Einspannung links: (1.1) w(x=0) = 0

C4 = 0

1 C1 = − qL 2

(1.2) ϕ(x=0) = 0

C3 = 0

1 2 C2 = qL 12

(2) Einspannung rechts: (2.1) w(x=L) = 0

1 1 1 qL4 + C1L3 + C2 L2 + C3 L + C4 = 0 24 6 2

(2.2) ϕ(x=L) = 0

1 3 1 qL + C1L2 + C 2 L + C 3 = 0 6 2

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.2-Seite.3

Schritt C: Verformungszustand Biegelinie: 4 3 2 qL4 ⎧⎪ ⎡ x ⎤ x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫⎪ w (x) = ⎨ ⎢ ⎥ − 2⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎬ 24 EI ⎪⎩ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦ ⎪⎭

Mittendurchbiegung: qL4 w max = w ( x = L / 2) = 384 EI

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.2-Seite.4

Schritt D: Momentenlinie Allgemeine Beziehung:

M( x ) = − EIw′′ 2 qL2 ⎧⎪ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎫⎪ M( x ) = − ⎨6 ⎢ ⎥ − 6 ⎢ ⎥ + 1⎬ 12 ⎪⎩ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦ ⎪⎭

qL2 − 12

qL2 − 12

qL2 24 Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik Mechanik 2 • Berechnung 2 • Biegelinien von Verfprmungen • Übungsaufgabe • Beispiel 7.2-Seite.5 6_1-5

Schritt E: Querkraftlinie Allgemeine Beziehung:

Q( x ) = M′( x ) = − EIw ′′′ Q( x ) =

qL ⎧ ⎡ x ⎤ ⎫ ⎨− 2 ⎢ ⎥ + 1⎬ 2 ⎩ ⎣L⎦ ⎭ −

qL 2

qL 2

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

Mechanik Mechanik 2 • Berechnung 2 • Biegelinien von Verfprmungen • Übungsaufgabe • Beispiel 7.2-Seite.6 6_1-6

Schritt F: Auflagerreaktionen MA

MB

A h = 0 Ah Bv

Av

Gleichgewicht in den Auflagern:

A v = Q ( x = 0) = MA

qL 2

qL2 = M ( x = 0) = − 12

B v = − Q( x = L) = MB

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qL 2

qL2 = M ( x = L) = − 12 Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.2-Seite.7

Aufgabe U07.3: Statisch bestimmter Träger - Problemstellung

P

Bereich 1

Bereich 2

x2

x1 L

Gesucht: a) funktionaler Verlauf der Biegelinie b) maximale Durchbiegung

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Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.3-Seite.1

Schritt A: Momentenlinie

1 PL 4

Bereich 1:

M1 ( x 1 ) =

1 ⎧ x⎫ PL ⎨2 ⎬ 4 ⎩ L⎭

Bereich 2:

M 2 (x 2 ) =

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

1 ⎧ x⎫ PL ⎨1 − 2 ⎬ L⎭ 4 ⎩

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.3-Seite.2

Schritt B: Lösung der bereichsweisen Differentialgleichungen Bereich 1:

Bereich 2:

1 EI w 1′′ = − P x1 2 1 EI w′1 = − P x12 + C1 4 EI w 1 = −

1 P x13 + C1x1 + C2 12

EI w′2′ = EI w ′2 = EI w 2 =

Bergische Universität Wuppertal • Baumechanik und Numerische Methoden • Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten

1 1 P x 2 − PL 2 4

1 1 P x 22 − PL x 2 + B1 4 4

1 1 P x 32 − PL x 22 + B1 x 2 + B2 12 8

Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.3-Seite.3

Schritt C: Geometrische Rand- und Übergangsbedingungen Bereich 1

P

x1

(1) w1(x1 = 0) = 0

Bereich 2

B1 = 0

x2

C2 = 0

(2) w1(x1 = L/2) = w2(x2 = 0) (3) ϕ1(x1 = L/2) = ϕ2(x2 = 0) (4) w2(x2 = L/2) = 0

C1 =

−

− −

1 1 PL2 B2 = PL3 16 48

1 1 PL3 + C1L + C 2 = B 2 96 2

1 PL2 + C1 = B1 16

1 1 PL3 + B1L + B2 = 0 48 2

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Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.3-Seite.4

Schritt D: Biegelinie P Bereich 1

x2

x1

{

}

PL3 w 1 (ξ ) = − 4ξ 3 + 3ξ 48EI ξ =

w max

Bereich 2

{

}

PL3 w 2 (ξ) = 4ξ 3 − 6ξ 2 + 1 48EI

x1 L

ξ =

x2 L

PL3 = w 1 (ξ = 0.5) = w 2 (ξ = 0.0) = 48EI

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Mechanik 2 • Biegelinien • Übungsaufgabe 7.3-Seite.5...