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La regola del 72 Francesco Daddi 1 Supponiamo di avere un capitale pari a 10000 euro e di investirlo con un tasso costante di interesse composto annuale del 6%; quanto tempo dovremo aspettare per ricavare una somma doppia, ossia uguale a 20000 euro? Vediamo, per prima cosa, come funziona il regime f...

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La regola del 72 Francesco Daddi 1

Supponiamo di avere un capitale pari a 10000 euro e di investirlo con un tasso costante di interesse composto annuale del 6%; quanto tempo dovremo aspettare per ricavare una somma doppia, ossia uguale a 20000 euro? Vediamo, per prima cosa, come funziona il regime finanziario della capitalizzazione composta: nel nostro caso specifico il montante dopo un anno è

dopo un altro anno, sfruttando il fatto che si tratta di interesse composto, il montante diventa

e così via. In generale, dopo anni il montante è pertanto pari a

Il problema iniziale non è allora difficile da risolvere: per calcolare il tempo da attendere per ottenere euro, si tratta di risolvere l’equazione esponenziale

1

Liceo Scientifico “E. Fermi” Cecina (LI)

risultato che, è bene mettere in evidenza, è indipendente dal capitale iniziale.

La regola del Pacioli Ci chiediamo ora se esiste una regola pratica che approssimi in modo accettabile questo risultato. Una risposta arriva dalla cosiddetta regola del 72, apparsa per la prima volta nell'opera Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita (1494) di Luca Pacioli, che fornisce il risultato cercato semplicemente dividendo per il tasso di interesse . Nel nostro caso particolare, essendo

, si ricava

anni,

risultato quindi molto vicino al valore teorico (0,9% in eccesso). Lo stesso Pacioli fornisce un esempio proprio con lo stesso tasso: “A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.” Si noti che la regola può essere invertita (si veda [2]), ossia può essere utilizzata per stimare il tasso di interesse che permette di raddoppiare il capitale in anni; ad esempio, se vogliamo che ciò accada dopo 8 anni, il tasso deve essere intorno a

%.

La regola del 69,3 Vediamo ora di ottenere, grazie agli strumenti forniti dal calcolo differenziale, ulteriori approssimazioni. In generale, dato un capitale iniziale e un tasso di interesse costante , il numero di anni è fornito dalla formula

ponendo per semplicità

, dallo sviluppo di Taylor in

della

funzione

in cui formula

, possiamo fermarci al primo ordine ed ottenere così la

Questa formula è nota anche come regola del 69,3. Se applichiamo la formula all’esempio iniziale ricaviamo un tempo pari a

il risultato è inferiore del 2,9% rispetto al valore teorico: un’approssimazione peggiore, quindi, rispetto a quella data dalla formula del Pacioli.

Confronto tra la regola del 72 e la regola del 69,3 Se consideriamo un tasso più basso, ad esempio regola del 72 dà

anni, contro

, il risultato della anni; per confrontare i

due valori si tenga conto che il valore teorico è anni. Se riduciamo ulteriormente il tasso allo , il divario tra le due formule aumenta sensibilmente: valore teorico è

anni contro anni.

anni, mentre il

La regola del 69,3 è tanto più efficace quanto più il tasso di interesse è basso (quindi ai giorni nostri funziona piuttosto bene…), mentre l’approssimazione, sempre per difetto, peggiora progressivamente con l’aumentare del tasso. La regola del 72, invece, funziona molto bene per tassi che si aggirano intorno all’8%. Evidentemente, come si evidenzia nel libro [3], sul finire del XV secolo nell’Italia settentrionale i tassi di interesse avevano quell’ordine di grandezza. D’altra parte, l’intento del Pacioli era essenzialmente quello di fornire una regola pratica, utilizzabile da chiunque in molto semplice e immediato. Per tassi inferiori a 7,8468% si ha una stima per eccesso, mentre per tassi superiori se ne ha una per difetto; per tassi inferiori al 17%, in ogni caso, l’errore che si commette con la regola del 72 è inferiore al 4%. Il grafico seguente illustra l’errore percentuale (in ordinata) che si commette con le due regole, in funzione del tasso di interesse (in ascissa). 4,0000 2,0000 0,0000 -2,0000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-4,0000 Reg. 72

-6,0000

Reg. 69,3

-8,0000 -10,0000 -12,0000 -14,0000 -16,0000

Quattro formule alternative Spingiamoci ancora oltre, cercando altre formule. [A] Partendo sempre dalla formula (dove abbiamo posto come prima )

possiamo sfruttare lo sviluppo di Taylor in al secondo ordine di ed ottenere così (si veda [1], pag. 283)

ovvero

[B] Cerchiamo un’altra formula riscrivendo la formula di partenza nella forma

l’idea di base consiste nello sviluppare in serie di Taylor in funzione

la

Seguiamo una strada alternativa al calcolo delle derivate; per si ha

Indicando con

lo sviluppo di

risulta

ossia

da cui

Osservando che al secondo membro abbiamo la serie

ed uguagliando termine a termine, si arriva al sistema lineare

e quindi si ottiene lo sviluppo

Il tempo necessario per raddoppiare il capitale è

se ci fermiamo al primo ordine, otteniamo la formula

ricordando che

, possiamo utilizzare la forma approssimata

oppure la più “maneggevole”

[C] Mediante lo sviluppo di Taylor del secondo ordine di formula

che, con la consueta sostituzione

ricaviamo la

, diventa

[D] Vediamo ora un’ultima formula, cercando di approssimare la funzione con una funzione del tipo

per fare ciò, è sufficiente imporre che gli sviluppi di Taylor del secondo ordine delle due funzioni e coincidano. Per , come già visto in precedenza, si ha

mentre per

si ottiene

Uguagliando termine a termine fino al secondo grado si arriva al sistema

che è risolto per

,

,

. Con questi valori si ottiene

e la formula per il tempo assume la forma

da cui, ponendo

, troviamo

Confrontiamo tutte le formule La seguente tabella confronta tutte le formule che abbiamo trovato, in base al tasso di interesse considerato di volta in volta. La riga colorata si riferisce alla massima efficacia della regola del 72. tasso (%) 0,1 0,25 0,5 0,75 1 2 3 4

teorico 693,4937 277,6053 138,9757 92,7658 69,6607 35,0028 23,4498 17,6730

Reg. 72 Reg. 69,3 form. [A] form. [B] form. [C] form. [D] 720,0000

693,0000

693,4967

693,4966

693,4965

693,4965

288,0000

277,2000

277,6070

277,6066

277,6065

277,6064

144,0000

138,6000

138,9774

138,9766

138,9763

138,9763

96,0000

92,4000

92,7679

92,7666

92,7662

92,7661

72,0000

69,3000

69,6633

69,6616

69,6610

69,6610

36,0000

34,6500

35,0076

35,0041

35,0029

35,0029

24,0000

23,1000

23,4569

23,4516

23,4499

23,4499

18,0000

17,3250

17,6824

17,6754

17,6730

17,6730

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 35 40 45 50 75 100

14,2067 11,8957 10,2448 9,0065 8,0432 7,2725 6,6419 6,1163 5,6714 5,2901 4,9595 3,8018 3,1063 2,6419 2,3097 2,0600 1,8655 1,7095 1,2386 1,0000

14,4000

13,8600

14,2185

14,2096

14,2067

14,2067

12,0000

11,5500

11,9098

11,8991

11,8956

11,8956

10,2857

9,9000

10,2613

10,2487

10,2447

10,2447

9,0000

8,6625

9,0254

9,0110

9,0064

9,0064

8,0000

7,7000

8,0646

8,0483

8,0431

8,0431

7,2000

6,9300

7,2963

7,2781

7,2723

7,2724

6,5455

6,3000

6,6681

6,6480

6,6416

6,6417

6,0000

5,7750

6,1449

6,1229

6,1159

6,1160

5,5385

5,3308

5,7026

5,6785

5,6710

5,6711

5,1429

4,9500

5,3237

5,2977

5,2896

5,2897

4,8000

4,6200

4,9957

4,9676

4,9589

4,9591

3,6000

3,4650

3,8508

3,8124

3,8008

3,8011

2,8800

2,7720

3,1687

3,1192

3,1048

3,1053

2,4000

2,3100

2,7182

2,6571

2,6398

2,6406

2,0571

1,9800

2,4005

2,3270

2,3068

2,3079

1,8000

1,7325

2,1661

2,0795

2,0564

2,0578

1,6000

1,5400

1,9875

1,8869

1,8609

1,8627

1,4400

1,3860

1,8484

1,7329

1,7040

1,7062

0,9600

0,9240

1,4787

1,2708

1,2275

1,2323

0,7200

0,6930

1,3863

1,0398

0,9820

0,9902

Il grafico sottostante illustra la situazione riguardo all’errore percentuale: si vede chiaramente che le formule più efficaci sono la [C] e la [D] (i cui dati sono praticamente sovrapposti). 5,0000 3,0000 1,0000 -1,0000 0 -3,0000

5

10

15

20

25

30

35

40

Reg. 72 Reg. 69,3 [A]

-5,0000 -7,0000 -9,0000 -11,0000 -13,0000 -15,0000

[B] [C] [D]

Per analizzare meglio il confronto tra le formule [C] e [D] conviene tracciare il grafico solo per esse; si nota come la [D] abbia un comportamento migliore, anche se occorre sottolineare come gli errori in gioco siano in realtà molto piccoli. 0,0200 0,0000 -0,0200

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-0,0400 -0,0600 -0,0800

[C]

-0,1000

[D]

-0,1200 -0,1400 -0,1600 -0,1800 -0,2000

Bibliografia [1] Barrow J., 100 cose essenziali che non sapevate di non sapere, pagg.129-130 e 283, Ed. Mondadori, 2012. [2] Grimvall G, Facciamo due conti, pagg. 113-115, Ed. Dedalo, 2013. [3] Vacca R., Anche tu matematico, pagg. 104-107, Ed. Garzanti, 2008....