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10a. edición

ANÁLISIS

NUMÉRICO Richard L. Burden • Douglas J. Faires • Annette M. Burden

Análisis numérico DÉCIMA EDICIÓN

Richard L. Burden Youngstown University

J. Douglas Faires Youngstown University

Annette M. Burden Youngstown University

Traducción: Mara Paulina Suárez Moreno Traductora profesional

Revisión técnica: Wilmar Alberto Díaz Ossa Mágister en matemáticas aplicadas Profesor en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Análisis numérico, 10 a. ed. Richard L. Burden, J. Douglas Faires y Annette M. Burden Director Editorial para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editora: Ivonne Arciniega Torres Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: © theromb/Shutterstock.com Composición tipográfica: Tsuki Marketing S.A. de C.V. Gerardo Larios García

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Numerical Analysis, Tenth Edition Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden Publicado en inglés por Cengage Learning © 2016, 2011, 2005 ISBN: 978-1-305-25366-7 Datos para catalogación bibliográfica: Burden, Faires y Burden Análisis numérico, 10a. ed. ISBN: 978-607-526-411-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Contenido Prefacio

1

2

3

4

vii

Preliminares matemáticos y análisis de error 1.1

Revisión de cálculo

1.2

Errores de redondeo y aritmética computacional

1.3

Algoritmos y convergencia

1.4

Software numérico

1

2 11

22

28

Soluciones de las ecuaciones en una variable 2.1

El método de bisección

2.4 2.5

Análisis de error para métodos iterativos Convergencia acelerada 64

2.6

Ceros de polinomios y método de Müller 68

2.7

Software numérico y revisión del capítulo 76

35

36

58

Interpolación y aproximación polinomial 3.1

Interpolación y el polinomio de Lagrange 78

3.2 3.3

Aproximación de datos y método de Neville 86 Diferencias divididas 91

3.4

Interpolación de Hermite 99

3.5

Interpolación de spline cúbico 105

3.6 3.7

Curvas paramétricas 121 Software numérico y revisión del capítulo 126

Diferenciación numérica e integración 4.1

Diferenciación numérica 128

4.2 4.3

Extrapolación de Richardson 136 Elementos de integración numérica 142

77

127

iii

iv

Contenido

4.4 4.5

Integración numérica compuesta 150 Integración de Romberg 156

4.6

Métodos de cuadratura adaptable 162

4.7

Cuadratura gaussiana 168

4.8

Integrales múltiples 174

4.9 Integrales impropias 186 4.10 Software numérico y revisión del capítulo

5

191

Problemas de valor inicial para ecuaciones de diferenciales ordinarias 193 5.1

Teoría elemental de problemas de valor inicial

5.2 5.3

Método de Euler 198 Métodos de Taylor de orden superior 205

5.4

Método Runge-Kutta 209

5.5

Control de error y método Runge-Kutta-Fehlberg 218

5.6

Métodos multipasos 224

5.7 5.8

Método multipasos de tamaño de paso variable 236 Métodos de extrapolación 241

5.9

Ecuaciones de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales 247

5.10 Estabilidad

194

254

5.11 Ecuaciones diferenciales rígidas 262 5.12 Software numérico 268

6

7

Métodos directos para resolver sistemas lineales 269 6.1

Sistemas de ecuaciones lineales

270

6.2

Estrategias de pivoteo 279

6.3

Álgebra lineal e inversión de matriz 287

6.4 6.5

Determinante de una matriz 296 Factorización de matriz 298

6.6

Tipos especiales de matrices 306

6.7

Software numérico 318

Técnicas iterativas en álgebra de matrices 319 7.1

Normas de vectores y matrices 320

7.2 7.3

Eigenvalores y eigenvectores 329 Técnicas iterativas de Jacobi y Gauss-Siedel 334

Contenido

8

9

10

Teoría de aproximación 369 8.1

Aproximación por mínimos cuadrados discretos 370

8.2

Polinomios ortogonales y aproximación por mínimos cuadrados 378

8.3 8.4

Polinomios de Chebyshev y ahorro de series de potencia 385 Aproximación de función racional 393

8.5

Aproximación polinomial trigonométrica 402

8.6

Transformadas rápidas de Fourier 410

8.7

Software numérico 419

Aproximación de eigenvalores 421 9.1 9.2

Álgebra lineal y eigenvalores 422 Matrices ortogonales y transformaciones de similitud 428

9.3

El método de potencia 431

9.4

Método de Householder 445

9.5 9.6

El algoritmo QR 452 Descomposición en valores singulares 462

9.7

Software numérico 474

Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones no lineales 475 10.3 Métodos cuasi-Newton 487 10.4 Técnicas de descenso más rápido

492

10.5 Homotopía y métodos de continuación 10.6 Software numérico

11

498

504

Problemas de valor en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias 505 11.1 El método de disparo lineal 506 11.2 El método de disparo para problemas no lineales 512

11.6 Software numérico 540

v

vi

Contenido

12

Soluciones numéricas para ecuaciones diferenciales parciales 541 12.1 Ecuaciones diferenciales parciales elípticas

544

12.2 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas 12.3 Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas

Material en línea El siguiente material se encuentra disponible en línea:

• • •

Conceptos clave Revisión de capítulo Bibliografía

• • •

Índice de algoritmos Glosario de notación Trigonometría

551 562

CAPÍTULO

1

Preliminares matemáticos y análisis de error Introducción Al comenzar los cursos de química, estudiamos la ley del gas ideal, PV = NRT, que relaciona la presión P, el volumen V, la temperatura T y el número de moles N de un gas “ideal”. En esta ecuación, R es una contante que depende del sistema de medición. Suponga que se realizan dos experimentos para evaluar esta ley, mediante el mismo gas en cada caso. En el primer experimento,

P = 1.00 atm,

V = 0.100 m3 ,

N = 0.00420 mol,

R = 0.08206.

La ley del gas ideal predice que la temperatura del gas es

T =

(1.00)(0.100) PV = 290.15 K = 17◦ C. = (0.00420)(0.08206) NR

Sin embargo, cuando medimos la temperatura del gas, encontramos que la verdadera temperatura es 15◦C.

V1 V2

A continuación, repetimos el experimento utilizando los mismos valores de R y N, pero incrementamos la presión en un factor de dos y reducimos el volumen en ese mismo factor. El producto PV sigue siendo el mismo, por lo que la temperatura prevista sigue siendo 17◦C. Sin embargo, ahora encontramos que la temperatura real del gas es 19◦C. 1

2

CAPÍTULO 1

Preliminares matemáticos y análisis de error

Claramente, se sospecha la ley de gas ideal, pero antes de concluir que la ley es inválida en esta situación, deberíamos examinar los datos para observar si el error se puede atribuir a los resultados del experimento. En este caso, podríamos determinar qué tan precisos deberían ser nuestros resultados experimentales para evitar que se presente un error de esta magnitud. El análisis del error involucrado en los cálculos es un tema importante en análisis numérico y se presenta en la sección 1.2. Esta aplicación particular se considera en el ejercicio 26 de esa sección. Este capítulo contiene una revisión breve de los temas del cálculo de una sola variable que se necesitarán en capítulos posteriores. Un conocimiento sólido de cálculo es fundamental para comprender el análisis de las técnicas numéricas y sería preciso efectuar una revisión más rigurosa para quienes no han estado en contacto con este tema durante un tiempo. Además, existe una introducción a la convergencia, el análisis de error, la representación

1.1 Revisión de cálculo Límites y continuidad Los conceptos de límite y continuidad de una función son fundamentales para el estudio del cálculo y constituyen la base para el análisis de las técnicas numéricas. Definición 1.1 como

lím f (x) = L ,

x→x0

si, dado cualquier número real ε > 0, existe un número real δ > 0, de tal forma que | f (x) − L | < ε,

siempre que

x∈X y

0 < |x − x 0 | < δ.

Figura 1.1

ε

y

y 5 f (x) L 1e L L 2e

x0 2 d

x0

x0 1 d

x

1.1

Revisión de cálculo

3

Definición 1.2 Los conceptos básicos de cálculo y sus aplicaciones se

tinua en x0 si

lím f (x) = f (x 0 ).

x→x0

los conceptos matemáticamente precisos de límites y continuidad se describieron hasta la época de Augustin Louis Cauchy

La función f es continua en el conjunto X si es continua en cada número en X. El conjunto de todas las funciones que son continuas en el conjunto X se denota como ejemplo, el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] se denota como C[a, b]. El símbolo R denota el conjunto de todos los números reales, que también

Definición 1.3 siempre

n→∞

x n = x, n=1

o

xn → x

en

n → ∞,

converge a x.

Teorema 1.4 guientes enunciados son equivalentes: a. f es continua en x0; b.

Si { x n }∞ n=1 es cualquier sucesión en X, que converge a x0, entonces lím n→∞ f (x n ) = f (x 0 ).

Se asumirá que las funciones que consideraremos al analizar los métodos numéricos son continuas porque éste es el requisito mínimo para una conducta predecible. Las funciones des al intentar aproximar la solución de un problema.

Diferenciabilidad

condición de uniformidad depende del concepto de la derivada. Definición 1.5 ciable en x0 si

f (x 0 ) = lím

x→x0

f (x) − f (x 0 ) x − x0

existe. El número f (x 0 ) recibe el nombre de derivada de f en x0. Una función que tiene una derivada en cada número en un conjunto X es diferenciable en X.

4

CAPÍTULO 1

Preliminares matemáticos y análisis de error

Figura 1.2 y La recta tangente tiene una pendiente f 9(x0)

f (x 0)

(x 0, f (x 0))

y 5 f (x)

x

x0

Teorema 1.6 El teorema atribuido a Michel

conocido titulado Méthode pour résoundre les égalites (Método para resolver las igualdades). Originalmente, Rolle criticaba el cálculo desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, pero después se convirtió en uno de sus defensores.

Teorema 1.7

Si la función f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0. Los siguientes teoremas son de importancia fundamental al deducir los métodos para estimación del cálculo de error. Las pruebas de estos teoremas y los otros resultados sin referencias en esta sección se pueden encontrar en cualquier texto de cálculo estándar. El conjunto de todas las funciones que tienen derivadas continuas n en X se denota como como C ∞ (X ). Las funciones polinomial, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmien esta notación. (Teorema de Rolle)

Figura 1.3 y

f 9(c) 5 0 y 5 f (x)

f (a) 5 f (b)

a

c

b

Teorema 1.8

b−a

.

x

1.1

Revisión de cálculo

Figura 1.4 y Líneas paralelas Pendiente f 9(c)

Pendiente

y 5 f (x) f (b) 2 f (a) b2a

c

a

x

b

Figura 1.5 y

y 5 f (x)

a

Ejemplo 1

c2

c1

b

Encuentre los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de

natural de ambos lados de la ecuación obtenemos

x

5

6

CAPÍTULO 1

Preliminares matemáticos y análisis de error

f (ln (2)) = 2 − eln (2) + 2 ln (2) = 2 ln (2) ≈ 1.38629436112 f (1) = 2 − e + 2(1) = 4 − e ≈ 1.28171817154.

f (x) = 0, por lo que el extremo f (2) = 2 − e2 + 2(2) = 6 − e2 ≈ −1.3890560983 . El mínimo absoluto en [1, 2] es 6 − e2 y el máximo absoluto es 1. Observamos que máx | f (x)| = |6 − e2 | ≈ 1.3890560983.

0≤x≤2

En general, el siguiente teorema no se presenta en un curso de cálculo básico, pero se f (n−1) . Este deriva al aplicar el teorema de Rolle sucesivamente a f, f , . . . , resultado se considera en el ejercicio 26. Teorema 1.10

(Teorema generalizado de Rolle)

También utilizaremos con frecuencia el teorema del valor intermedio. A pesar de que esta declaración parece razonable, su prueba va más allá del alcance del curso habitual de cálculo. Sin embargo, se puede encontrar en muchos textos de análisis (consulte, por ejemTeorema 1.11

Figura 1.6 y (a, f (a)) f (a) y 5 f (x) K f (b)

(b, f (b)) a

c

b

x

1.1

Revisión de cálculo

7

continua en [0, 1]. Además,

Por lo tanto, el teorema del valor intermedio implica que existe un número c, con 0 , c , 1, Como se observa en el ejemplo 2, el teorema del valor intermedio se utiliza para determinar cuándo existen soluciones para ciertos problemas. Sin embargo, no provee un medio

El otro concepto básico del cálculo que se utilizará ampliamente es la integral de Riemann. Definición 1.12

La integral de Riemann de la función f en el intervalo [a, b] es el siguiente límite, siempre y cuando exista:

George Fredrich Berhard Riemann a

realizó trabajos fundamentales en geometría y la teoría de funciones complejas y se le considera uno de los matemáticos prolíferos del siglo XIX.

n

b

f (x) d x =

lím máx xi →0

f (z i

xi ,

i =1

Una función f que es continua en un intervalo [a, b] es también Riemann integrable en [a, b]. Esto nos permite elegir, para conveniencia computacional, los puntos xi se separarán b a

f (x) d x = lím

n→∞

b−a n

n

f (x i ), i =1

Figura 1.7 y y 5 f (x)

a 5 x0 x1

x2 . . . x i21 x i

...

x n21 b 5 x n

x

Se necesitarán otros dos resultados en nuestro estudio para análisis numérico. El primero es una generalización del teorema del valor promedio para integrales.

8

CAPÍTULO 1

Preliminares matemáticos y análisis de error

Teorema 1.13

(Teorema del valor promedio para integrales)

b

f (x)g(x) d x = f (c)

a

g(x) d x . a

b

b−a

f (x) d x . a

Figura 1.8 y y 5 f (x) f (c)

a

c

b

x

mios se usan ampliamente en el análisis numérico. Teorema 1.14

(Teorema de Taylor) número ξ(x) entre x0 y x con

en el artículo Methodus incrementorum directa et inversa (Métodos para incrementos directos e inversos). Isaac Newton, James Gregory y otros ya conocían algunos casos especiales del resultado y, probablemente, el resultado mismo.

f (x) = Pn (x) + Rn (x), donde

Pn ( x) = f ( x 0 ) + f (x 0 )(x − x 0 ) + n

=

k=0

f (k) (x 0 ) (x − x 0 )k k!

f (n) (x 0 ) f (x 0 ) (x − x 0 )n (x − x 0 )2 + · · · + n! 2!

1.1

Revisión de cálculo

9

y

Rn (x) =

f (n+1) (ξ(x)) (x − x 0 )n+1 . ( n + 1) !

del cálculo de Newton cuando éste fue objeto de los ataques

Maclaurin no descubrió la serie que lleva su nombre; los matemáticos del siglo ya la conocían desde antes de que él naciera. Sin embargo, concibió un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales que se conoce como regla de Cramer, que Cramer no publicó hasta 1750.

de determinar la función ξ(x) de manera explícita. El teorema de Taylor simplemente garantiza que esta función existe y que su valor se encuentra entre x y x0. De hecho, uno de los problemas comunes en los métodos numéricos es tratar de determinar un límite realista para el valor de f de serie de Taylor para f alrededor de x0. En caso de que x0 = 0, entonces al polinomio de Taylor con frecuencia se le llama polinomio de Maclaurin y a la serie de Taylor a menudo se le conoce como serie de Maclaurin.

a)

el segundo polinomio de Taylor para f alrededor de x0; y

b)

el tercer polinomio de Taylor para f alrededor de x0.

Solución

Además,

Puesto que f ∈ C ∞ (R), el teorema de Taylor puede aplicarse a cualquiera n ≥ 0.

f (x) = − sen x, f (x) = − cos x, f (x) = sen x, y

f (4) (x) = cos x,

Por lo tanto f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −1, a)

Para n = 2 y x 0 = 0, obtenemos cos x = f (0) + f (0)x + =1−

y

f (0) = 0.

f (ξ( x )) 3 f (0) 2 x + x 2! 3!

1 2 1 3 x + x sen ξ(x), 2 6
<...