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CÁLCULO TOMO I DÉCIMA EDICIÓN Ron Larson Bruce Edwards Cálculo Décima edición Tomo I Cálculo Décima edición Tomo I Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College Bruce Edwards University of Florida Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de In...

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Accelerat ing t he world's research.

Larson tomo I Issuu Ruben Manrique

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CÁLCULO TOMO I DÉCIMA EDICIÓN

Ron Larson Bruce Edwards

Cálculo Décima edición Tomo I

Cálculo Décima edición Tomo I Ron Larson

The Pennsylvania State University The Behrend College

Bruce Edwards University of Florida

Traducción: Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Revisión técnica: Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor visitante UAM-Azcapotzalco

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Cálculo, Tomo I. Décima edición Ron Larson/Bruce Edwards Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Sergio R. Cervantes González Diseño de portada: Sergio Bergocce Imagen de portada: © diez artwork/Shutterstock Composición tipográfica: Ediciones OVA

© D.R. 2016 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. 10th Edition Ron Larson/Bruce Edwards Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2014 ISBN: 978-1-285-05709-5 Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron/Bruce Edwards Cálculo, Tomo I. Décima edición eISBN 978-607-522-015-4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16

Contenido P

Preparación para el cálculo P.1 P.2 P.3 P.4

1

1.3 1.4 1.5

Una mirada previa al cálculo 42 Determinación de límites de manera gráfica y numérica 48 Cálculo analítico de límites 59 Continuidad y límites laterales o unilaterales Límites infinitos 83 Ejercicios de repaso 91 Solución de problemas 93

41

70

Derivación 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

3

Gráficas y modelos 2 Modelos lineales y razones de cambio 10 Funciones y sus gráficas 19 Ajuste de modelos a colecciones de datos 31

Límites y sus propiedades 1.1 1.2

2

1

La derivada y el problema de la recta tangente 96 Reglas básicas de derivación y razones de cambio 106 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 118 La regla de la cadena 129 Derivación implícita 140 Razones de cambio relacionadas 148 Ejercicios de repaso 157 Solución de problemas 159

Aplicaciones de la derivada 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

95

161

Extremos en un intervalo 162 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio 170 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 177 Concavidad y criterio de la segunda derivada 187 Límites al infinito 195 Un resumen del trazado de curvas 206 Problemas de optimización 215 Método de Newton 225 Diferenciales 231 Ejercicios de repaso 238 Solución de problemas 241

vi

Contenido

4

Integración 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5

6

6.3 6.4

397

Campos direccionales y método de Euler 398 Ecuaciones diferenciales: crecimiento y decrecimiento 407 Separación de variables y la ecuación logística 415 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 424 Ejercicios de repaso 431 Solución de problemas 433

Aplicaciones de la integral 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

317

La función logaritmo natural: derivación 318 La función logaritmo natural: integración 328 Funciones inversas 337 Funciones exponenciales: derivación e integración 346 Otras bases distintas de e y aplicaciones 356 Funciones trigonométricas inversas: derivación 366 Funciones trigonométricas inversas: integración 375 Funciones hiperbólicas 383 Ejercicios de repaso 393 Solución de problemas 395

Ecuaciones diferenciales 6.1 6.2

7

Antiderivadas e integración indefinida 244 Área 254 Sumas de Riemann e integrales definidas 266 Teorema fundamental del cálculo 277 Integración por sustitución 292 Integración numérica 305 Ejercicios de repaso 312 Solución de problemas 315

Función logaritmo, exponencial y otras funciones trascendentes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

243

Área de una región entre dos curvas 436 Volumen: método de los discos 446 Volumen: método de las capas 457 Longitud de arco y superficies de revolución 466 Trabajo 477 Momentos, centros de masa y centroides 486 Presión y fuerza de un fluido 497 Ejercicios de repaso 503 Solución de problemas 505

435

Contenido

8

Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

9

Reglas básicas de integración 508 Integración por partes 515 Integrales trigonométricas 524 Sustitución trigonométrica 533 Fracciones parciales 542 Integración por tablas y otras técnicas de integración 551 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital Integrales impropias 568 Ejercicios de repaso 579 Solución de problemas 581

Series infinitas 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10

Sucesiones 584 Series y convergencia 595 Criterio de la integral y series p 605 Comparación de series 612 Series alternantes 619 El criterio del cociente y de la raíz 627 Polinomios de Taylor y aproximaciones Series de potencias 647 Representación de funciones por series de potencias 657 Series de Taylor y Maclaurin 664 Ejercicios de repaso 676 Solución de problemas 679

vii

507

557

583

636

Apéndices Apéndice A Apéndice B Apéndice C

Apéndice D Apéndice E Apéndice F

Demostración de teoremas seleccionados A-2 Tablas de integración A-4 Repaso de precálculo (en línea)* C.1 Números reales y recta numérica C.2 El plano cartesiano C.3 Repaso de funciones trigonométricas Rotación y la ecuación general de segundo grado (en línea)* Números complejos (en línea)* Negocios y aplicaciones económicas (en línea)*

Respuestas a los problemas con numeración impar Índice I1

A7

*Disponible en el sitio especifico del libro www.cengagebrain.com

Prefacio Bienvenido a la décima edición de Cálculo. Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada de nuestro libro de texto. Como con las otras ediciones, hemos incorporado muchas de las útiles sugerencias de usted, nuestro usuario. En esta edición se han introducido algunas características nuevas y revisado otras. Encontrará lo que espera, un libro de texto pedagógico, matemáticamente preciso y entendible. Estamos contentos y emocionados de ofrecerle algo totalmente nuevo en esta edición, un sitio web, en LarsonCalculus.com. Este sitio ofrece muchos recursos que le ayudarán en su estudio del cálculo. Todos estos recursos están a sólo un clic de distancia. Nuestro objetivo en todas las ediciones de este libro de texto es proporcionarle las herramientas necesarias para dominar el cálculo. Esperamos que encuentre útiles los cambios de esta edición, junto con LarsonCalculus.com, para lograrlo. En cada conjunto de ejercicios, asegúrese de anotar la referencia a CalcChat.com. En este sitio gratuito puede bajar una solución paso a paso de cualquier ejercicio impar. Además, puede hablar con un tutor, de forma gratuita, dentro del horario publicado en el sitio. Al paso de los años, miles de estudiantes han visitado el sitio para obtener ayuda. Utilizamos toda esta información como ayuda para guiarlo en cada revisión de los ejercicios y soluciones.

Lo nuevo en esta edición NUEVO LarsonCalculus.com Este sitio web ofrece varias herramientas y recursos para complementar su aprendizaje. El acceso a estas herramientas es gratuito. Videos de explicaciones de conceptos o demostraciones del libro, ejemplos para explorar, vista de gráicas tridimensionales, descarga de artículos de revistas de matemáticas y mucho más. NUEVA Apertura de capítulo En cada apertura de capítulo se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios. NUEVOS Ejemplos interactivos Los ejemplos del libro están acompañados de ejemplos interactivos en LarsonCalculus.com. Estos ejemplos interactivos usan el reproductor CDF de Wolfram y permiten explorar el cálculo manejando las funciones o gráicas y observando los resultados. NUEVOS Videos de demostraciones Vea videos del coautor Bruce Edwards, donde explica las demostraciones de los teoremas de Cálculo, décima edición, en LarsonCalculus.com. viii

Prefacio

NUEVO ¿Cómo lo ve? La característica ¿Cómo lo ve? en cada sección presenta un problema de la vida real que podrá resolver mediante inspección visual utilizando los conceptos aprendidos en la lección. Este ejercicio es excelente para el análisis en clase o la preparación de un examen.

¿CÓMO LO VE? vectorial r(t) para 0 ≤ t ≤ 2p y su derivada r′(t) para diferentes valores de t. y

Comentario Revisado Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplían conceptos, le ayudan a aprender cómo estudiar matemáticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solución de un ejemplo.

4

π t=5 6

Conjuntos de ejercicios

Revisados Los conjuntos de ejercicios han sido amplia y cuidadosamente examinados para asegurarnos que son rigurosos e importantes y que incluyen todos los temas que nuestros usuarios han sugerido. Se han reorganizado los ejercicios y titulado para que pueda ver mejor las conexiones entre los ejemplos y ejercicios. Los ejercicios de varios pasos son ejercicios de la vida real que refuerzan habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real.

822

Capítulo 12 ti

41. r t

sen t i

Funciones vectoriales

3 2 t j 2

3 cos t 2

2 sen t i

42. r t

62. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial

1 2 t k 2 1 t j 2

2 cos t j

1 cos t 2

3 k 2

2 sen t k

Piénselo En los ejercicios 43 y 44, use un sistema algebraico por computadora a in de representar gráicamente la función vectorial r(t). Para cada u(t), haga una conjetura sobre la transformación (si la hay) de la gráica de r(t). Use un sistema algebraico por computadora para veriicar su conjetura. 43. r t

2 cos t i

(a) u t

2 cos t

(b) u t

2 cos t i

(c) u t

2 cos

(d) u t

1 2t i

(e) u t

6 cos t i

44. r t

1i

2t k

2 sen t j

ti

t2

2 j

1 3 2t k

(b) u t

t2i

tj

(c) u t

ti

t 2j

4k

(d) u t

ti

t 2j

1 3 2t k 1 3 2t 1 3 8t k

t 2j

1 2

ti

(e) u t

t 3k

x

49. x 2

y2

2

2

51.

x 16

46. 2x 2 2

48. y

25

50. x

2

2

y 4

52.

1

3y

x 9

2

5

0

x2

4 2

y2

4

1

Superficies x2 x2

54. z 55. x

2

56. 4x 2

y

y 2, x

y

y 2, z

4

2

4, z

4y 2

x

z2

0 2

z2

16, x

57. x 2

y2

z2

4, x

58. x 2

y2

z2

10, x

59. x 2

z2

4, y 2

60. x 2

y2

z2

2

z y

4

2e t i

arcsen t j

1k

t

e tj

1 k

ln t

e t, t 2, tan t

74. r t

8,

t,

3

t

DESARROLLO DE CONCEPTOS Escribir una transformación En los ejercicios 75 a 78, considere la función vectorial

Parámetro

Dé una función vectorial s(t) que sea la transformación especiicada de r. 75. Una traslación vertical tres unidades hacia arriba. 76. Una traslación vertical dos unidades hacia abajo. 77. Una traslación horizontal dos unidades en dirección del eje x negativo. 78. Una traslación horizontal cinco unidades en dirección del eje y positivo.

x

t

79. Continuidad de una función vectorial Escriba la

x

2 cos t

x

2 sen t

z

t

x

1

sen t

x

2

sen t

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios 53 a 60, dibuje la curva en el espacio representada por la intersección de las supericies. Después represente la curva por una función vectorial utilizando el parámetro dado.

53. z

72. r t 73. r t

1j

t

ti

r(t) = t2i + (t – 3)j + tk.

2

y 16

ti

71. r t

z2

4

x

t primer octante

16, xy

4

x

t primer octante

61. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial r(t) = ti t + 2tt cos tj t + 2tt sen tk se encuentra en el cono 4x2 = y2 + z2. Dibuje la curva.

deinición de continuidad para una función vectorial. Dé un ejemplo de una función vectorial que esté deinida pero no sea continua en t = 2. 80. Comparar funciones ¿Cuáles de las siguientes grái-

cas representa la misma gráica? (a) r t 4i

(c) r t

3 cos t

(d) r t

1i

3 cos t

(b) r t

3 cos t 1i

3 cos 2t

2j

4k

5 sen t

2k

5 sen t 1j

5 sen t 1i

2

−2 −1 −1

t= 1

2

π 4

x

3

−2

π t=5 4

−4

(a)

mine si cada componente es positiva o negativa. (b) ¿Es suave la curva en el intervalo [0, 2p]? Explique su razonamiento.

Cambios en el contenido El apéndice A (Demostración de teoremas seleccionados) ahora se presenta en formato de video (en inglés) en LarsonCalculus.com. Las demostraciones también se presentan en forma de texto (en inglés y con costo adicional) en CengageBrain.com.

Características confiables

1 j t

ti

70. r t

5

x

47. y

1

69. r t

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios 45 a 52, represente la curva plana por medio de una función vectorial. (Hay muchas respuestas correctas.) 45. y

1 k t cos t lím t 2 i 3t j k t→0 t ln t 1 lím ti j k t→1 t2 1 t 1 sen t j e tk lím e t i t→0 t 1 t j k lím e t i t→ t t2 1 1

t

j

Continuidad de una función vectorial En los ejercicios 69 a 74, determine el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua.

1 3 2t k

(a) u t

65.

sen t k

2

2

t→2

68.

1 2t k

cos t j

t→

64. lím 3ti

tk

2 cos t k

6 sen t j

63. lím t i

67. 1 2

tj

2 sen

Determinar un límite En los ejercicios 63 a 68, evalúe el límite (si existe).

66.

1 2t k

2 sen t j

2 sen t j ti

t 2j

ti

1 2 tk

2 sen tj t

t + e–tt sen tj t + e–tk se encuentra en el r(t) = e–tt cos ti cono z2 = x2 + y2. Dibuje la curva.

3

1 −5

40. r t

ix

5 sen 2t

2j

4k 2j

4k

Aplicaciones Se han elegido con cuidado ejercicios de aplicación y ejemplos que se incluyen para dirigir el tema: “¿Cuándo usaré esto?”. Estas aplicaciones son tomadas de diversas fuentes, tales como acontecimientos actuales, datos del mundo, tendencias de la industria y, además, están relacionadas con una amplia gama de intereses, entendiendo dónde se está utilizando (o se puede utilizar) el cálculo para fomentar una comprensión más completa del material.

Desarrollo de conceptos Los ejercicios escritos al inal de cada sección están diseñados para poner a prueba su comprensión de los conceptos básicos en cada sección, motivándole a verbalizar y escribir las respuestas, y fomentando las habilidades de comunicación técnica que le serán invaluables en sus futuras carreras.

x

Prefacio

Teoremas Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo. Los teoremas se enuncian claramente y están separados del resto del libro mediante recuadros de referencia visual rápida. Las demostraciones importantes a menudo se ubican enseguida del teorema y se pueden encontrar en LarsonCalculus.com.

Definiciones

Definición de diferencial total Si z = f(x, y), y ∆x y ∆y son los incrementos en x y en y, entonces las las diferenciales de las variables independientes x y y son dx

x y dy

Exploraciones

y

Las exploraciones proporcionan retos únicos para estudiar conceptos que aún no se han cubierto formalmente en el libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e introducir temas relacionados con los que está estudiando en ese momento. El explorar temas de esta manera le invita a pensar de manera más amplia.

y la diferencial total de la variable dependiente z es dz

z dx x

z dy y

Como con los teor...