ZILL issuu PDF

Preview

Summary

parte del libro de ecuaciones...

Description

Ecuaciones diferenciales

con aplicaciones de modelado Décima edición

Dennis G. Zill

DÉCIMA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones de modelado

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University

TRADUCCIÓN Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Dr. Edmundo Palacios Pastrana Universidad Iberoamericana

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Décima edición Dennis G. Zill Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial en Español para Latinoamérica: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Deep Space, © Rolffimages / Dreamstime.com Composición tipográfica: Aurora Esperanza López López

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

© D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro A First Course in Differential Equations with Modeling Aplications, Tenth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, Cengage Learning © 2013 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, décima edición ISBN: 978-607-519-446-2 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

CONTENIDO Prefacio

ix

Proyectos P-1

1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

REPASO DEL CAPÍTULO 2

3

1

34

78

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

81

v

vi

l

CONTENIDO

4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

5

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186

6

SOLUCIONES EN SERIES DE ECUACIONES LINEALES 6.1 Repaso de series de potencias

226

113

225

CONTENIDO

l

vii

7

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

265

8

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

317

9

SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353

viii

l

CONTENIDO

APÉNDICES

Índice

I-1

PROYECTO PARA LA SECCIÓN 3.1 ¿Invariablemente el SIDA es una enfermedad fatal?

por Ivan Kramer

P-1

prom

2

tT

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

␾(x).

1

2

l

CAPÍTULO 1

1.1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA REPASO DE MATERIAL

␾

␾

dx

(1)

0.2xy

␾(x)?

dy

dy dx2

dt

2u

x

2

2u

x

2

2

t

2

dy dt

u y

2x

y

v x

(2)

(3)

función incógnita o variable dependiente

d 2x ––– ⫹ 16x ⫽ 0 dt 2 variable independiente

segundo orden

primer orden

d 2y dy 3 –––– ⫹ 5 ––– ⫺ 4y ⫽ ex dx dx 2

( )

d ny dxn

f (x, y, y , . . . , y(n

dx2

1))

f (x, y, y )

(5)

4

l

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

dx n

a1(x)

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy 2

dx

dy dx

a0(x)y

a1(x)

dy dx

(6)

g(x)

a0 (x)y

(7)

g(x).

,

y’

x3

término no lineal: coeficiente depende de y

término no lineal: función no lineal de y

(1 ⫺ y)y⬘ ⫹ 2y ⫽ e x,

d 2y –––– ⫹ sen y ⫽ 0, dx 2

3

dx

x

dy dx

5y

ex

término no lineal: el exponente es diferente de 1

y

d 4y –––– ⫹ y2 ⫽ 0 dx 4

␾,

␾

␾ ␾ 0.1 ⫽e x

a) dy dx

1

xy 2 ; y

1 4 16 x

b) y

lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy 1/2

y1/2

2y

0; y

y

1 1 3 (4 x 3) x , 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1

xex

1 3 x , 4

16 x

lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

␾ ␾ ␾ ␾

␾ ␾

e x)

4.

xe x

0,

6

l

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

y

1 1

x

a) función y ⫽ 1/x, x

0

y

␾(x)

1

x

␾ b) solución y ⫽ 1/x, (0, ∞ )

␾

␾

␾ ␾(x)) ⫽ 0)

␾

EJEMPLO 5 Comprobación de una solución implícita

dx

d 2 x dx

y⫽␾

d 2 y dx

x y

(8)

d dx

␾ 2(x) ⫽ ⫺ 125 ⫺ x2

0

1.1

y

x 2 ⫹ ␾1

5

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

␾2

5 x

a) solución implícita x2 ⫹ y 2 ⫽ 25 y

5

␾

5 x

b) solución explícita y1 ⫽ 兹25 ⫺ x 2, ⫺5 ⬍ x ⬍ 5 y 5

EJEMPLO 6 Soluciones particulares 5 x

−5

c) solución explícita y 2 ⫽ ⫺兹25 ⫺ x 2, ⫺5 ⬍ x ⬍ 5

c>0 c=0 c 0 crecimiento

e kt, k < 0 crecimiento t

FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k ⬎ 0) y decaimiento (k ⬍ 0).

MODELOS LINEALES

l

83

bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas. crece t para k ⬎ 0 y disminuye conforme crece t para k ⬍ 0. Así los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aún de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegración radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k ⬎ 0) o una constante de decaimiento (k ⬍ 0). VIDA MEDIA En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 años. En 1 700 años la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radón, Rn-222. El isótopo más común del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 años. En aproximadamente 4.5 miles de millones de años, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.

EJEMPLO 2

Vida media del plutonio

Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIÓN Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-

plo 1, la solución del problema con valores iniciales dA ⫽ k A, A(0) ⫽ A0 dt es A(t) ⫽ A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los átomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 ⫽ A(15), es decir, 0.99957A0 ⫽ A0e15k. Despejando k se obtiene k ⫽ 115 ln 0.99957 ⫽ ⫺0.00002867. Por a A(t) ⫽ 12 A0. Despejando t se obtiene 1 ecuación se obtiene ln 2 t 0.00002867

FIGURA 3.1.3 Una página del evangelio gnóstico de Judas.

24 180 años .

DATADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que utiliza carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fósiles. La teoría del datado con carbono se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 ya sea por respiración o por alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculó el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 años, pero actualmente el valor aceptado comúnmente para la vida media es aproximadamente 5 730 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmático sudario de Torino.

84

l

CAPÍTULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJEMPLO 3

Edad de un fósil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. SOLUCIÓN El punto de partida es A(t) ⫽ A0e kt. Para determinar el valor de la constante de

decaimiento k, partimos del hecho de que 12A 0 A(5730) o 12A 0 A 0e 5730k . Esta ecuación implica que 5730k ⫽ ln 1 por tanto A(t) ⫽ A0e⫺0.00012097t. Con A(t) ⫽ 0.001A0 tenemos que 0.001A0 ⫽ A0e⫺0.00012097t y ⫺0.00012097t ⫽ ln(0.001) ⫽ ⫺ln 1000. Así t

ln 1000 0.00012097

57 100 años

La fecha determinada en el ejemplo 3 está en el límite de exactitud del método. Normalmente esta técnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isótopo, que son aproximadamente 60,000 años. Una razón para esta limitante es que el análisis químico necesario para una determinación exacta del C-l4 que queda presenta obstáculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. También, en este método se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la medición se realiza indirectamente, basándose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difícil distinguir la radiación que procede del fósil de la radiación de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradores cula la relación exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este método se puede ampliar de 70 000 a 100 000 años. Hay otras técnicas isotópicas, como la que usa potasio 40 y argón 40, adecuadas para establecer edades de varios millones de años. A veces, también es posible aplicar métodos que se basan en el empleo de aminoácidos. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuación (3) de la sección 1.3 vimos que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT ⫽ k(T ⫺ Tm), (2) dt donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t ⬎ 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.

EJEMPLO 4

Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300° F. Tres minutos después su temperatura es de 200° F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70º F? con valores iniciales dT ⫽ k(T ⫺ 70), T(0) ⫽ 300 dt y determinar el valor de k tal que T(3) ⫽ 200. La ecuación (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT ⫽ k dt, T ⫺ 70

(3)

* El número de desintegraciones por minuto por gramo de carbono se registra usando un contador Geiger. El nivel mínimo de detección es de aproximadamente 0.1 desintegraciones por minuto por gramo.

3.1

MODELOS LINEALES

l

85

se obtiene ln|T – 70| ⫽ kt ⫹ c1, y así T ⫽ 70 ⫹ c2ekt. Cuando t ⫽ 0, T ⫽ 300, así 300 ⫽ 70 ⫹ c2 da c2 ⫽ 230. Por tanto T ⫽ 70 ⫹ 230 ekt. Por último, la medición de 13 1 T(3) ⫽ 200 conduce a e3k ⫽ 13 23, o k ⫽ 3 ln 23 ⫽ ⫺0.19018. Así

T 300 150

T = 70 15

T (t) ⫽ 70 ⫹ 230 e⫺0.19018t.

(4)

t

30

transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra

a)

T(t)

t (min)

75⬚ 74⬚ 73⬚ 72⬚ 71⬚ 70.5⬚

20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3

La temperatura ambiente en la ecuación (2) no necesariamente es una constante pero podría ser una función Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.

b)

FIGURA 3.1.4 La temperatura de enfriamiento del pastel tdel ejemplo 4.

supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal A⬘(t) en el tanque de mezcla es una razón neta dA ´ ´ R entra Rsale. (5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuación (8) de la sección 1.3.

EJEMPLO 5

Mezcla de dos soluciones de sal

Recordemos que el tanque grande de la sección 1.3 contenía inicialmente 300 galones de una solución de salmuera. En el tanque entraba y salía sal porque se bombeaba

A

A = 600

500

t

a)

t (min)

A (lb)

50 100 150 200 300 400

266.41 397.67 477.27 525.57 572.62 589.93 b)

FIGURA 3.1.5 Libras de sal en el tanque del ejemplo 5.

y salía del tanque con una razón Rsale ⫽ ( A兾300 lb/gal) ⴢ (3 gal/min) ⫽ A兾l00 lb/min. A partir de esos datos y de la ecuación (5), obtuvimos la ecuación (8) de la sección 1.3. Permítanos preguntar: si había 50 lb de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque después de un periodo largo? SOLUCIÓN Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolvemos el problema con valores iniciales dA 1 ⫹ A ⫽ 6, A(0) ⫽ 50. dt 100 Aquí observamos que la condición adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) ⫽ 50 en el tanque y no la cantidad inicial de líquido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuación diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuación como d t/100 [e A] ⫽ 6et/100 . dt Integrando la última ecuación y despejando A se obtiene la solución general A(t) ⫽ 600 ⫹ ce ⫺t/100. Conforme t ⫽ 0, A ⫽ 50, de modo que c ⫽ ⫺550. Entonces, la cantidad de sal en el tanque al tiempo t está dada por

A(t) ⫽ 600 ⫺ 550e⫺t/100.

(6)

esto es lo que se esperaría intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo la cantidad de libras de sal en la solución debe ser (300 ga1)(2 lb/gal) = 600 lb. En el ejemplo 5 supusimos que la razón con que entra la solución al tanque es la misma que la razón con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la

86

CAPÍTULO 3

l

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

salmuera mezclada se puede sacar con una razón rsale que es mayor o menor que la razón rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una razón menor que la razón con la que se bombea dentro del tanque.

EJEMPLO 6

Vuelta al ejemplo 5

Si la solución bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una razón más lenta, digamos rsale ⫽ 2 gal/min, eentonces se acumulará en el tanque con la razón rentra ⫺ rsale ⫽ (3 ⫺ 2) gal/min ⫽ 1 gal/min. Después de t minutos

A 500

(1 gal/min) ⴢ (t min) ⫽ t gal se acumularán, por lo que en el tanque habrá 300 ⫹ t galones de salmuera. La concen-

250

es Rsale ⫽ c(t) ⭈ rsale, o R sale ⫽ 50

100

t

ejemplo 6.

冢 300A⫹ t lb/gal冣 ⴢ (2 gal/min) ⫽ 3002A⫹ t lb/min .

Por tanto, la ecuación (5) se convierte en 2A 2 dA dA ⫽6⫺ ⫹ A ⫽ 6. o dt dt 300 ⫹ t 300 ⫹ t El factor integrante para la última ecuación es e

2dt>(300

t)

e 2 ln(300

eln(300

t)

t)2

(300

t)2

Y así después de multiplicar por el factor, la ecuación se reescribe en la forma d (300 dt

[

t)2 A

]

6(300

t)2.

Al integrar la última ecuación se obtiene (300 + t)2A ⫽ 2(300 ⫹ t)3 ⫹ c. Si aplicamos la condición inicial A(0) ⫽ 50, y despejamos A se obtiene la solución A(t) ⫽

L E

R

FIGURA 3.1.7 Circuito en serie LR.

R

CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(di兾dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual

di ⫹ Ri ⫽ E(t) , (7) dt donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, también respuesta del sistema. La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t)兾C, donde q L

1 q ⫽ E(t). (8) C Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i ⫽ dq兾dt, así, la ecuación (8) se convierte en la ecuación diferencial lineal dq 1 (9) ⫹ q ⫽ E(t). R dt C Ri ⫹

E

C

FIGURA 3.1.8 Circuito en serie RC.

EJEMPLO 7

Circuito en serie

Una baterí...