C1 rappels + définition PDF

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Cours de maths sur les fonctions de bases + définition le plus complet et précis possible...

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Chapitre)1))) )

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)Rappels)des)bases)! PPN!GEA!!!Laurent!Rémond!

! ! 1. Notation)et)raisonnement):) 1.1 !Notations! ! Quantificateurs!!!!!!! § § § § § §

∃!!!Il!existe!!!!!!!!!!∃!!!!!!!!Il!existe!un!seul! ∀!!Quel!que!soit!(ou!pour!tous…)! ∈!appartient!à!!!!!!!!∉!n’appartient!pas!à! ⊂!est!inclus!dans!!⊄!n’est!pas!inclus!dans! ∪!!union!ou!condition!«!ou!»! ∩!intersection!ou!condition!«!et!»!

! 1.2 Raisonnements!! Une!démonstration!est!un!enchainement!logique!pour!prouver!une! propriété.! ! Raisonnement!direct!! • A!implique!B!:!!!A!⇒!B!!(si!on!a!A!alors!on!a!B)! • Réciproque!:!A!⇐!!B!!(pas!toujours!vraie)! • Contraposée!:!non!B!⇒!non!A!(toujours!vraie)! • Si!A!⇒!B!et!A!⇐!!B!alors!!A!⇔!B!!(A!et!B!sont!équivalents!)! ! Exemple!simple!:!! A!:!j’ai!20!ans!!!!!!!!!!!B!:!je!suis!majeur! On!a!A!⇒!B!mais!pas!A!⇐!!B!(on!peut!être!majeur!avec!un!autre!âge!que!20! ans)! non!B!⇒!non!A!!(si!je!ne!suis!pas!majeur,!je!ne!peux!pas!avoir!20!ans)! ! Exemple!avec!des!ensembles!:! A!:!multiples!de!3!positifs!ou!nuls!et!inférieurs!à!10!!!!!!!A!=!⎨0!;!3!;!6!;!9⎬! B!:!multiples!de!2!positifs!ou!nuls!et!inférieurs!à!10!!!!!!!B!=!⎨0!;!2!;!4!;!6!;!8⎬!! ! A∪B!=!⎨0!;!2!;!3!;!4!;!6!;!8!;!9⎬! A∩B!=!⎨0!;!6⎬! ! 1.3!Autres!raisonnements!! • Contre-exemple!:!! Il!suffit!de!trouver!un!exemple!qui!ne!vérifie!pas!une!propriété!pour!montrer!que! cette!propriété!est!fausse.!! Ex!:!«!tous!les!nombres!impairs!sont!divisibles!par!3!»! C’est!faux!:!contre-exemple!5! ! • Raisonnement!par!l’absurde!! Pour!montrer!qu’une!propriété!est!vraie,!on!émet!l’hypothèse!qu’elle!est!fausse! et!on!aboutit!à!une!absurdité.!

Exemple!:!«!l’équation!!!x2!+!1!=!0!n’a!pas!de!solution!réelle!»! ! On!fait!l’hypothèse!qu’il!y!a!une!solution!réelle!x.! Alors!!x2!=!-1,!ce!qui!est!impossible!car!le!carré!d’un!nombre!réel!est!toujours! positif.! ! • Raisonnement!par!disjonction!de!cas!:!! On!étudie!tous!les!cas!possibles.! ! Exemple!!:!«!pour!tout!entier!naturel!n!on!a!!n2!+!3n!qui!est!pair!»! !!On!étudie!2!cas,!n!pair!et!n!impair.!! Si!n!est!pair!alors!il!existe!un!entier!q!tel!que!n!=!2q! n2!+!3n!=!(2q)2!+!3(2q)! ! !!!!=!4q2!+!6q! ! !!!!=!2(2q2!+!3q)!!qui!est!un!nombre!pair! ! Si!n!est!impair,!alors!il!existe!un!entier!q!tel!que!n!=!2q!+!1! !!!n2!+!3n!!=!(2q!+!1)2!+!3(2q!+!1)! ! !!!!!=!4q2!+!4!q!+!1!+!6q!+!3! ! !!!!!=!4q2!+!10q!+!4! ! !!!!!=!!2(2q2!+!5q!+!2)!qui!est!un!nombre!pair!

! ! ! ! ! Dans!les!deux!cas,!on!obtient!un!nombre!pair,!donc!la!propriété!est!démontrée.! ! • Raisonnement!par!récurrence!(pour!les!suites)!:! On!considère!la!propriété!vraie!jusqu’au!rang!«!n!»!et!on!montre!qu’elle!est!vraie! au!rang!«!n!+!1!».! Exemple!!:!soit!la!suite!(un)!définie!par!!!un+1!=!qun!pour!n!≥!0!et!u0!=!5!(q!est!un! nombre!réel)! On!va!démontrer!la!propriété!:!un!=!5!qn!!!pour!tout!n.! -!Initialisation!:!pour!n!=1!c’est!vrai.!!!u1!=!qu0!c’est!à!dire!u1!=!5q1! ! !!-!Hérédité!:!on!considère!que!un!=!5!qn!est!vrai,!on!va!montrer!que!un+1!=!5qn+1! ! Si!un!=!5!qn!!alors!un+1!=!q(5!qn)!c’est!à!dire!un+1!=!5!qn+1! ! La!propriété!est!donc!vraie!pour!n+1.! ! 2 Nombres)relatifs:) 2.1!!Définition! ! Ce!sont!les!nombres!décimaux!positifs!ou!négatifs.! ! 2!.2!Exemples!:!!! • 2!–!7!=!-!5! • 5!+!(-!3)!=!2! • -!3!–!6!=!-!9! • -!7!–!(-!4)!=!-!7!+!4!=!-!3! • 25!–!13!=!12! • 3!x(!-!5)!=!3(-!5)!=!-!15! • 2!x!6!x!(-!5)!x!(-!1)!=!60! !

! 2.3!Rappel!calculs!:!! Pour!les!multiplications!et!divisions,!on!compte!le!nombre!de!signes!(-),!si!il!est! pair,!le!résultat!est!positif,!si!il!est!impair,!le!résultat!est!négatif.! ! 2(−5)(−2) Exemple!!:! !!!!est!négatif!(3!signes!négatifs)! 6(−4)3 ! ! 3 Fractions) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3.1!Définition!:!!! a !est!le!résultat!de!la!division!de!a!par!b!(avec!b!≠!0).! b ! ! ! ! ! Avec!a!et!b!nombres!entiers!(avec!b!≠!0),!cela!forme!l’ensemble!des!nombres!rationnels.! ! Exemples!:!!! 2 • 2!est!un!nombre!rationnel!!car!2!=! ! ! !!!!!!!!!!!!!! 1 • 0!est!un!nombre!rationnel!(on!peut!diviser!0!mais!on!ne!peut!pas!diviser!par!0)! 2,51 2,51 251 est!un!nombre!rationnel!!car! !=! !(on!multiplie!en!haut!et!en!bas!par! • 3 3 300 100)! 1 1 • − !est!rationnel!mais!n’est!pas!décimal!(! − =!-!0,3333….)! 3 3 • Π!!est!un!irrationnel! 2 !est!un!irrationnel! • ! 3.2!Valeurs!usuelles!:!! 1 1 1 1 1 3 4 =!0,5!;!! !≈!0,33!;!! !=!0,25!;!! !=!0,1!;!! =!0,01!;!! !=!0,75!;!! =!1!!!! 2 3 4 10 100 4 4 ! 3.3!!Additions!et!soustractions!:!!! On!met!au!!même!dénominateur.!! 3 2 3× 5 2 × 4 15 − 8 7 = − ! Ex!=! − = = 20 20 4 5 4 × 5 5× 4 ! a c ad + bc !(avec!b!et!d!non!nuls)! Propriété!(écriture!littérale)!=! + = b d bd ! 3.4!!Multiplications!et!divisions!:!! Ex!:!!

•

3 7 3× 7 21 !!(on!multiplie!les!numérateurs!entre!eux!et!les! × = = 4 5 4 × 5 20 dénominateurs!entre!eux)!

! •

2 7 2 3 6 ÷ = × = !!(diviser!par!une!fraction!revient!à!multiplier!par!la! 5 3 5 7 35 fraction!inverse)!

! Propriétés!:!! a c ac • !(avec!b!et!d!non!nuls)! × = b d bd a c a d ad ÷ = × = • !!(avec!b,!c!et!d!non!nuls)! b d b c bc 3.5!Produit!en!croix!:!! !

a c = !alors!ad!=!bc!!!!!!(b!et!d!non!nuls)! b d 3x 1 2 1 Ex!:! = !⇔ 3x × 4 = 2 ×1⇔ 12 x = 2 ⇔ x = = ! 2 4 12 6 Propriété!:!si!

! 4 Calcul)littéral) ! On!utilise!les!lettres!pour!généraliser!(avec!une!ou!des!variables)!ou!pour!résoudre!une! équation!(avec!une!ou!des!inconnues)! ! 4.1!!Développement!par!distributivité!:!! (a + b) × (c + d ) = ac + ad + bc + bd ! Exemples!!:!! Numérique!(pour!le!calcul!mental!)!:!! • 11× 7 = (10 +1) × 7 = 70 + 7 = 77 ! • 101× 52 = (100 +1) × 52 = 5200 + 52 = 5252 ! Littéral!:!! • (2 x + 1)(3x − 5) = 6x 2 − 10 x + 3x − 5 = 6x 2 − 7x − 5! Rappels!:!! • 1× x = x ! • −1× x = −x ! • 0× x = 0 ! • 2 x × 3x = 2 × 3× x × x = 6 x 2 ! • −x est!l’opposé!de! x ! 1 • !est!l’inverse!de!x! x 4.2!!!Factoriser!:! C’est!le!chemin!inverse!du!développement,!on!transforme!une!somme!en!produit!(utile! pour!résoudre!des!équations).! Exemple!:!on!veut!résoudre! x 2 + 3x = 0 !

On!factorise!:! x(x + 3) = 0 !!!!!!!car!x!est!un!facteur!commun! Il!y!a!deux!solutions! x = 0 !ou! x + 3 = 0 ,!c’est!à!dire!x = 0 !ou! x = −3 ! ! Méthode!générale!:!pour!factoriser,!on!cherche!un!facteur!commun!(exemple! précédent)!ou!on!utilise!les!identités!remarquables.!! Il!y!a!3!identités!remarquables!:!! • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ! •

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 !

(a − b)(a + b) = a 2 − b 2 ! Exemple!:!! Résoudre! x 2 − 9 = 0 ! On!utilise!la!3eme!IR!avec! a = x et! b = 3 ,!on!a!alors! (x + 3)(x − 3) = 0 !soit! x = 3 !ou! x = −3 !

•

! 4.3!Résolution!d’équations! On!veut!trouver!toutes!les!valeurs!de!l’inconnue!qui!vérifient!l’égalité.! ! • Equation!du!1er!degré!(l’inconnue!est!à!la!puissance!1)! Exemples!!:!! 3x + 2 = x − 7

3x − x + 2 = x − x − 7 2x + 2 = −7 2x + 2 − 2 = −7 − 2 ! 2x = −7 − 2 2x = −9 9 x=− 2 ! • Exemple!de!mise!en!équation!:! ! On!achète!des!DVD!à!3€/unité!avec!unncoût!de!transport!fixe!de!12€.!Combien!puis-je! acheter!de!DVD!avec!162€!?! Inconnue!:!nombre!de!DVD!noté!x,!on!a!alors!:!! 3x +12 = 162 3x = 162 − 12 ! 3x = 150 150 = 50 x= 3 On!peut!donc!acheter!50!DVD! ! • Equation!du!2eme!degré!(l’inconnue!est!au!carré)! Ex!emple!:! 3x 2 + 5x − 2 = 0 !! C’est!de!la!forme!!!! ax 2 + bx + c = 0 !avec! a = 3 ,! b = 5 ,! c = −2 !

On!calcule! Δ = b 2 − 4ac = 52 − 4 × 3× (−2) = 25+ 24 = 49 ! Δ!est!positif,!il!y!a!donc!2!solutions!:!! −b − Δ −5 − 49 −5 − 7 = = = −2 2×3 2a 6 ! ! −b + Δ −5+ 49 −5+ 7 1 x2 = = = = 6 3 2×3 2a ! Propriétés!:!! • Si!Δ!>!0!,!il!y!a!deux!solutions!distinctes! • Si!Δ!...