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RAPPELS SUR LE FONCTIONS Chapitre 1

I.

Les ensembles de nombre Définitions :  st une fonction de la variable de x s i pour tout x c hoisi dans un - f (x ) e ensemble E , f (x) f ait correspondre une valeur bien déterminée de l’ensemble F . f : E ↦F -

Le domaine de définition d’une fonction f e  st l’ensemble noté ฀ƒ. Il est formé par les réels x pour lesquels il existe une image. Ex : f (x) = 2x g(x) = √x h(x) = √x² + 1 Df = ℜ

D g = ℜ+

x ∈ D h ssi x² + 1 ≥ 0 et x ∈ ℜ Donc D h = ℜ

Remarques : - Les 3 cas qui posent généralement problème sont : la log(☐) -

☐ ☐ ,

la √☐ et le

[a ; b ] = {x ∈ ℜ / a ≤ x ≤ b} ]a ; b [ = {x ∈ ℜ / a < x < b}

II.

Le graphe d’une fonction Définitions : - Le graphe d’une fonction f noté Γ est l’ensemble des point M qui ont pour coordonnées (x ; f (x)). Autrement dit, si f (U ) = ℜ alors Γ = {x ∈ U / (x ; f (x)} Ex : f (x) = 1x ∀ x ∈ ℜ*

-

Soit I un intervalle. on dira que la fonction f est paire s i f (− x) = f (x) et impaire s i f (− x) = − f (x). Ex : f (x) = x2n n ∈ ℵ f (− x) = (− x) 2n = ((− x) 2) n = (x²) n = x2n = f(x) ⇒ paire g(x) = x2n+1 n ∈ ℵ = x2n × x g(− x) = (− x) 2n × (− x) = x2n × (− x) =− x2n+1 =− g(x) ⇒ impaire

Remarque : - Graphiquement, une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. Définition : - Soit f ℜ↦ℜ et T ∈ ℜ *+ . f est une fonction périodique de période T , si f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ ℜ.

Les f onctions cos et sin sont 2π − périodiques.

III.

Rappels sur la dérivation Définition : - f est dérivable en x , et on note f ′(x) sa dérivée, si la limite suivante existe :

lim

k→0

-

f (a+k)−f (a) k

− f ′(a)

Soit f , g , I → ℜ 2 fonctions dérivables sur I . Alors : - (f + g) ′(x) = f ′(x) + g ′(x) -

(λf ) ′(x) = λ · f ′(x), λ ∈ ℜ

Fonction

Dérivée

xn

nx n−1

1 x

−

1 x²

√x

1 2√x

ex

ex

ln x

1 x

cos x

− sin x

sin x

cos x 1 + tan² (x) =

tan x

1 cos²(x)

Propriété : - Si f est dérivable en x et g en f (x) , alors g 0 f (composé de 2 fonctions) est dérivable en x et sa dérivée est : (g 0 f ) ′ = g ′(f (x)) × f ′(x) Ex : f (x) = ln (1 + x²)

∀x ∈ ℜ , f ′(x) =

1 1+x²

Df = ℜ

× 2x =

2x 1+x²

Dérivées de fonctions composées u est une fonction.

un (x)

nun−1(x) × u′(x)

1 u(x)

−u′(x) u′(x)

√u

u′(x) 2√u

eu(x)

u′(x)eu(x)

ln u

u′(x) u(x)

cos u

− u′(x) × sin (u(x))

sin u

u′(x) × cos (u(x))

Ex : f (x) = 2 x + c os x

f ′(x) = 2 − s in x Propriété : Soit f une fonction dérivable sur I . Alors : -

Si f ′(x) > 0 alors f est croissante sur I Si f ′(x) < 0 alors f est décroissante sur I

-

Si f ′(x) = 0 alors f est constante sur I Ex : f (x) = ex²+3x+1 ∀x ∈ ℜ, f ′(x) = (2x + 3)e

1 g(x) = x²+3 2x g′(x) =− (x²+3)²...