Exercice sur les factorisations. Cours sur le second degré - rappels de notion PDF

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Exercices avec des factorisations A) Brevet Asie, 2010 QCM L’expression 9x² −144 a pour forme factorisée (un seul choix possible parmi les trois proposés) (3x −12)(3x +12) ou (3x −12)² ou (9x −12)(9x +12) B) Brevet Guyane 2008 On considère l’expression D= (2x +3)² + (x −5)(2x +3). 1. Développer et réduire l’expression D. 2. Factoriser l’expression D. 3. Résoudre l’équation D = 0. C) Brevet Amérique du Sud, 2009 On pose I = (7x −3)²−5². a. Factoriser I. b. Résoudre l’équation I = 0.

D) Brevet Antilles, 2009 On pose E = 16−(5x −3)². a. Calculer la valeur de E pour x = −1. b. Développer et réduire E. c. Factoriser E.

E) Et, en souvenir, Brevet Polynésie 2010 Sur la figure dessinée ci-contre, ABCD est un carré et ABEF est un rectangle. On a AB = BC = 2x +1 et AF = x +3 où x désigne un nombre supérieur à deux. L’unité de longueur est le centimètre. Partie A : Étude d’un cas particulier x = 3. 1. Pour x = 3, calculer AB et AF. 2. Pour x = 3, calculer l’aire du rectangle FECD. Partie B : Étude du cas général : x désigne un nombre supérieur à deux. 1. Exprimer la longueur FD en fonction de x. 2. En déduire que l’aire de FECD est égale à (2x +1)(x −2). 3. Exprimer en fonction de x, les aires du carré ABCD et du rectangle ABEF. 4. En déduire que l’aire du rectangle FECD est : (2x +1)²−(2x +1)(x +3). 5. Les deux aires trouvées aux questions 2 et 4 sont égales et on a donc : (2x +1)²−(2x +1)(x +3) = (2x +1)(x −2) Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation? Correction A) 9x² −144 = (3x −12)(3x +12) B1) Développons D B2)Factorisons D en prenant (2x+3)en facteur D = (2x +3)²+(x −5)(2x +3). D = (2x +3)²+(x −5)(2x +3) D = 4x² + 12x + 9 + 2x² + 3x – 10x – 15 D = (2x + 3)( 2x + 3 + x – 5) D = 6x² + 5x – 6 D = (2x + 3)(3x – 2) B.3)Résolvons l’équation D= 0. (2x + 3)(3x – 2) = O revient à dire 2x + 3 = 0 ou 3x – 2 = 0 2x = - 3 ou 3x = 2 x=

2 2 −3 −3 ou x = . Les solutions sont et . 3 3 2 2

C) I = (7x −3)²−5². On pose I = (7x −3)²−5². a. Factorisons I = (7x −3)²−5²=(7x – 3 + 5)(7x – 3 – 5) et donc I = (7x + 2)(7x – 8). b. Résolvons l’équation (7x + 2)(7x – 8) = 0. (...) Les solutions sont −

8 2 et 7 7

D) On pose E = 16−(5x −3)². a. Si x = −1, E = 16 – (– 5 – 3)² = 16 – (– 8)² Et donc E = 16 – 64 = 1 – 48 b. Développons et réduisons E= 16 – (5x – 3)² E = 16 – (25x² – 30x + 9) = 16 – 25x² + 30x – 9 E = – 25x² + 30x + 7 c. Factorisons E = 16 – (5x – 3)² = 4² – (5x – 3)² E = (4 + 5x – 3)(4 – (5x – 3)) = (5x + 1)(4 – 5x + 3) E = (5x + 1)(– 5x + 7)

E) Partie B, dernière question... c'est une factorisation bien sûr ! Avec (2x + 1) pris comme facteur commun....