Cours sur le circuit LC PDF

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Electricité Dipôle LC Terminale S Dipôle LC : association en série d’un condensateur chargé de capacité C et de charge initiale 𝑞0 et d’une bobine d’inductance L et de résistance négligeable. 1. Eude expérimentale (1) (2) K (1) (2) i K i E 𝑢𝐶 C L 𝐸 L 𝑢𝐿 C 𝑢𝐶 𝑢𝑅 R Figure1 Figure 2  Quand l’interrupt...

Description

Electricité Dipôle LC Terminale S Dipôle LC : association en série d’un condensateur chargé de capacité C et de charge initiale 𝑞0 et d’une bobine d’inductance L et de résistance négligeable. 1. Eude expérimentale (1)

(2) K

(1)

i

(2) K i

𝑢𝐶

E

L

C

𝐸 𝑢𝐶

C

𝑢𝑅

L

𝑢𝐿

R Figure1

Figure 2

 

Quand l’interrupteur est en position 1 (voir figure 1) on charge le condensateur Lorsqu’on bascule l’interrupteur K en position 2 (voir figure 2), le condensateur se décharge dans la bobine idéale d'inductance L et de résistance nulle r=0 (ce qui est difficile de réaliser pratiquement car quel que soit la bobine, sa résistance est non nulle, donc c'est un circuit idéal).  Lorsque l’on regarde l’évolution de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) du condensateur ; on observe alors l’apparition d’oscillations électriques non amorties (oscillations électriques harmoniques). 2. Equation différentielle Pour établir l’équation différentielle, on utilise la figure 2. Conditions initiales : à l’instant t=0, 𝑞(0) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝐸 Appliquant la loi d’additivité des tensions, on a : 𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 = 0 𝑑𝑞 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑑 2 𝑢𝐶 (𝑐𝑎𝑟 𝑟 = 0) ⟹ 𝑢𝐿 = 𝐿𝐶 𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑞 = 𝑢𝐶 𝐶 avec 𝑖 = =𝐶 𝑒𝑡 𝑢𝐿 = 𝐿 + 𝑟𝑖 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2  Variable 𝑢𝐶 : 𝑑𝑖 𝑑 2 𝑢𝐶 𝑑 2 𝑢𝐶 1 1 𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 ⟹ 𝑢𝐶 + 𝐿𝐶 =0⟹ + 𝑢𝐶 = 0 ⟺ 𝑢̈ 𝐶 + 𝑢 = 0 (1) 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝐿𝐶 𝐶  Variable q 𝑑𝑖 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑖 𝑑2 𝑞 𝑞 𝑑2𝑞 𝑑2 𝑞 1 𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝐶 = 𝑒𝑡 𝑖 = ⟹ = 2 ⟹ +𝐿 2 =0⟹ 2 + 𝑞 = 0 (2) 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿𝐶 3. Equation horaire ou solution de l’équation différentielle Soit 𝑢𝐶 (𝑡) la variable, la solution de l’équation différentielle est : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑈𝑚𝑎𝑥 : Amplitude (valeur maximale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡)) 𝜔0 : Pulsation propre [rad/s] 𝜑 : Phase initiale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) à la date t=0 3.1. Détermination de la pulsation propre 𝜔0 Remplaçons la solution et sa dérivée seconde dans l’équation différentielle (1) : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ ⟹

𝑑2 𝑢𝐶 𝑑𝑡 2

1

𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡

= −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹

𝑑2 𝑢𝐶 𝑑𝑡 2

= −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑)

1

+ 𝐿𝐶 𝑢𝐶 = 0 ⟹ −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 1

1

⟹ (−𝜔0 2 + 𝐿𝐶) 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 𝑜𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ≠ 0 ⟹ −𝜔0 2 + 𝐿𝐶 = 0 [email protected]

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Electricité 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝜔0 2 = Pulsation propre : 𝜔0 =

1 1 ⟹ 𝜔0 = 𝐿𝐶 √𝐿𝐶

Dipôle LC Terminale S 2 2 𝑑 𝑢𝐶 1 𝑑 𝑢𝐶 ( 2 + 𝑢𝐶 = 0 ⟺ + 𝜔0 2 𝑢𝐶 = 0) 𝑑𝑡 𝐿𝐶 𝑑𝑡 2

1

avec : L : inductance Henry [H] ;

√𝐿𝐶

2𝜋

C : Capacité du condensateur farad [F]

Période propre : 𝑇0 = 𝜔 = 2𝜋√𝐿𝐶 0

3.2. Détermination de 𝑈𝑚𝑎𝑥 et 𝜑 Conditions initiales : à t=0 : - Le condensateur est chargé et 𝑢𝐶 (0) = 𝑈0 = 𝐸 - 𝑖(0) = 0 : le circuit est ouvert Avec : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑒𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐶

𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡

= −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑)

On trouve : 𝑢𝐶 (0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝐸 (1) et 𝑖(0) = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜑) = 0 (2) (2) : sin(𝜑) = 0 ⟺ 𝜑 = 0 𝑜𝑢 𝜑 = 𝜋 (1) : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝑈

𝐸

𝑚𝑎𝑥

> 0 ⟹ 𝜑 = 0 𝑒𝑡 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝐸

L’équation horaire peut s’ecrire : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 3.3. Expressions de l’intensité du courant et de la charge Pour l’intensité du courant : 𝑖=𝐶

𝑑𝑢𝐶 = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 = 𝜔0 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑡 Or 𝜔0 =

1

𝐶 ⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 √ 𝐿 √𝐿𝐶

Pour la charge q(t) : 𝑞(𝑡) = 𝑢𝐶 (𝑡)𝐶 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 3.4. Courbes de 𝑢𝐶 (𝑡) , i(t) 𝒖𝑪 (𝒕), 𝒊(𝒕) 𝑼𝒎𝒂𝒙

𝑻𝟎

𝑰𝒎𝒂𝒙

0

-𝑰𝒎𝒂𝒙 -𝑼𝒎𝒂𝒙

t(ms) 0

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Electricité Dipôle LC 4. Etude énergétique des oscillations non-amorties

Terminale S

L’énergie totale 𝐸 emmagasinée dans un circuit LC est à tout instant la somme de l’énergie électrique 𝐸𝑐 dans le condensateur et de 𝐸𝑚 l’énergie magnétique dans la bobine. 1 𝑞2 1 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸𝑐 = = 𝐶𝑢𝐶 2 𝑒𝑡 𝐸𝑚 = 𝐿𝑖 2 2𝐶 2 2

𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 Conservation de l’énergie totale E

Pour montrer que l’énergie totale se conserve, deux approches sont possibles :  A partir des expressions instantannées de i(t) et 𝑢𝐶 (𝑡) 1

1

On a : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 + 2 𝐿𝑖 2 𝑜𝑟 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) et 𝑖(𝑡) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝐸= ⇒ 𝐸=

1 1 × 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝜔0 𝑈𝑚𝑎𝑥 2 2

1 1 1 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 2 𝜔0 2 𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝜔0 2 = ⇒ 𝐿𝐶𝜔0 2 = 1 2 2 𝐿𝐶 1 1 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 2 2 1 1 ⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)) = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 2 2 2 2 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 𝐼𝑚𝑎𝑥 1 1 1 = ⟹𝐸= 𝐶× 2 2= = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 ⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 2 𝐶𝜔0 2 𝐶 𝜔0 2 𝐶𝜔0 2 2 2 ⇒ 𝐸=

𝑂𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥

 En dérivant l’énergie totale 1 2 1 2 𝑑𝐸 1 𝑑𝑢2 1 𝑑𝑖 2 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑖 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 ⟹ = 𝐶 + 𝐿 = 𝐶 × 2𝑢 + 𝐿 × 2𝑖 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑2𝑢 ⟹ = 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶 ⟹ =𝐶 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢2 𝑑𝑢2 ⇒ = 𝐶𝑢 + 𝐿𝐶 ×𝐶 2 =𝐶 (𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) or 𝑢 + 𝐿𝐶 2 = 0 (équation differentielle) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐸 ⇒ = 0 ⟹ 𝐸 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑡

Remarque : on peut également retrouver l’équation differentielle en utilisant la conservation de l’énergie 1

1

totale : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢2 + 2 𝐿𝑖 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹

𝑑𝐸 𝑑𝑡

1

= 2𝐶

𝑑𝑢2 𝑑𝑡

1

+ 2𝐿

𝑑𝑖 2 𝑑𝑡

=0

1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑𝑢 𝑑𝑖 𝑑2𝑢 ⟹ 𝐶 × 2𝑢 + 𝐿 × 2𝑖 = 0 ⟹ 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 = 0 𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶 ⇒ =𝐶 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑2 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢2 𝑑𝑢 ⟹ 𝐶𝑢 + 𝐿𝐶 × 𝐶 2 = 𝐶 (𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) = 0 𝑜𝑟 𝐶 ≠0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢2

⟹ 𝑢 + 𝐿𝐶 𝑑𝑡 2 = 0 ⟹

𝑑𝑢2 𝑑𝑡 2

1

+ 𝐿𝐶 𝑢 = 0 (équation differentielle)

5. Graphe d’énergie 5.1.En fonction de 𝑖 1

L’énergie émmagasinée dans la bobine 𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 peut s’écrire sous la forme : 1

𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une parabole [email protected]

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Electricité Dipôle LC L’énergie électrique émmagasinée dans le condensateur :

Terminale S

1

𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’un parabole.

Remarque :  

𝑢𝐶 = ±𝑈𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑖 = 0 donc 𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐿 = 0 𝑖 = ±𝐼𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑢𝐶 = 0 donc 𝐸𝐿 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐶 = 0 5.2. En fonction de 𝑖 2 1

𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une droite linéaire croissante 1

1

𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’une droite afine décroissante car 𝑎′ = − 2 𝐿 < 0

5.3. En fonction du temps t 1

1

𝐸𝐶 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 (𝑡) = 2 × 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) =

𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 2

(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 =

1+cos(2𝑎) 2

1 1 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 1 − cos(2𝑎) 𝐸𝐿 = 𝐿𝑖 2 (𝑡) = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) = (1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 = 2 2 2 2 𝐸𝐿 , 𝐸𝐶 sont deux fonctions périodiques de pulsation 𝜔é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 2𝜔0 et de période 𝑇é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 1⁄2 𝑇0 . Avec 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 = 𝐸

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