Rappels fonctions ln et e PDF

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Résumé- L1S1 Economie et gestion - Mathématiques...

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Rappels sur les foncions logarithme népérien, exponentielle et puissance Fonction logarithme népérien :ln Domaine de définition : la fonction ln est définie sur ℝ∗+. Continuité : continue sur son ensemble de définition ; Formules importantes : ln (1) = 0

et ln(e) = 1 ∗

∗

∀ (a,b) ∈ ( ℝ+x ℝ+) :

ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln (𝑏 ) ln

𝑎 = ln 𝑎 − ln (𝑏 ) 𝑏

ln 𝑎𝛼 = αln 𝑎 De plus, ln 𝑎0 = ln 1 = 0 = 0 ln 𝑎 ln 𝑎1 = 1ln 𝑎 = ln(𝑎) 𝑝 𝑝 1 (𝑎) ln 𝑎 𝑞 = ln 𝑎𝑝 = ln q 𝑞

Limites : lim ln 𝑥 = + ∞ +∞

ln 𝑥 = − ∞ lim + 0

lim +∞

𝑥 𝑟 ln 𝑥 = 0 lim + 0

lim 0

ln 1 + 𝑥 =1 𝑥

Représentation graphique :

ln (x) 𝑥𝑟

=0

Fonction exponentielle : e ou exp C’est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien : ∀ (x,y) ∈

∗ ℝx ℝ+ , 𝑦 = 𝑒𝑥 ⇔ ln 𝑦 = 𝑥

Domaine de définition : la fonction exp est définie sur ℝ. Continuité : continue sur son ensemble de définition. Formules importantes : E(0) = 1

et

e ln y =y

∀ (a,b) ∈ ℝ :

ea+b = 𝑒 𝑎 . eb

2

ea−b =

𝑒𝑎 𝑒𝑏

𝑒 𝑟𝑎 = (𝑒 𝑎 )𝑟 Mêmes formules pour la fonction puissance, en remplaçant « e » par « a » : a x+y =a x+b y ,

a x-y =

, a xy=(ax) y

, avec ax = exp(x lna)

Limites : lim ex = 0 −∞

lim ex = + ∞ +∞

lim +∞

ex =+∞ 𝑥𝑟

lim |𝑥|𝑟 ex = 0 −∞

lim 0

Représentation graphique :

ex − 1 =1 𝑥

car ax =exp(ln (ax))...