Cadenas de Markov de tiempo Contínuo y Procesos de nacimiento y Muerte Ejercicios resueltos PDF

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1.- Se tiene un sistema en dos niveles, en el primer nivel usuarios se conectan a un sistema de apuestas computacionales. El número de personas que se conectan sigue una distribución de Poisson a tasa λ un/hr. Cada persona mientras está conectada realiza apuestas a un segundo nivel. Cada persona gen...

Description

1.- Se tiene un sistema en dos niveles, en el primer nivel usuarios se conectan a un sistema de apuestas computacionales. El número de personas que se conectan sigue una distribución de Poisson a tasa λ un/hr. Cada persona mientras está conectada realiza apuestas a un segundo nivel. Cada persona genera apuestas con distribución exponencial a tasa de β apuestas/hora. Las personas conectadas permanecen un tiempo exponencial co tasa µ un/hr. Las apuestas demoran en ser atendidas un tiempo exponencial a tasa α un/hr. Se pide a) Distribución de probabilidades del número de entidades en el nivel mas alto b) Distribución conjunta de probabilidades del número de entidades en el nivel mas bajo y el número de entidades en el nivel más alto. Desarrollo: a) Nivel

mas

alto

:

El proceso {X ((t ) : nº de usuarios conectados en t , t ≥ 0}es un proceso de nacimiento y muerte. λ (1) * λ (0 ) λ2 λ (0) λ P2 = P0 = P0 ; ; P1 = P0 = P0 µ (1) µ µ (2 ) * µ (1) 2µ * µ

λ (2 )λ (1)λ (0) λ3 P3 = P0 = P0 µ (3)µ (2)µ (1) 3µ * 2 µ * µ n

1λ Término general Pn =   P0 ; ∀n > 0 n!  µ  Obtención de P0 : −1

−1

n ∞    λ  ∞ 1  1 n    1 λ P0 = 1 + ∑    =  ∑    =  e µ  n =0 n!  n     n =1 n!  µ        Reemplazando P0 en el término general: n

−λ

   

−1

−λ

=eµ

1 λ Pn =   e µ ∀n ≥ 0 n!  µ  b) Sea Y (t ) : n º apuestas en el nivel mas bajo P{X (t ) = j; Y (t ) = k } = P Y (t ) = k * P{X (t ) = j} X (t ) = j P Y (t ) = k = ?? X (t ) = j

{

}

{

}

La variable aleatoria Y (t )

X (t ) = j

corresponde a un Proceso de Nacimiento

y Muerte Tasa de nacimiento λ (k ) = βj Tasa de muerte µ (k ) = αk Usando la distribución de probabilidades de la letra a

{

P Y (t ) = k

X (t ) = j

}= e

−

β j α

1  βj    k!  α 

k

Reemplazando

P{X (t ) = j , Y (t ) = k } = e

−

β j α

λ

1  βj  µ 1 λ      *e j!  µ  k!  α  k

j

2.- En un club de veraneo las personas pasan el tiempo entrando y saliendo de la piscina para capear el calor de la temporada de verano. Los bañistas entran a la piscina según un Proceso de Poisson a tasa promedio de 4 personas por minuto y permanecen en la piscina un tiempo exponencial con un tiempo medio de permanencia de 10 minutos. Suponga que la piscina tiene capacidad infinita para recibir a todas las personas que entren a ella. Se pide : a) Probabilidad de que la piscina esté vacía. b) Número medio de personas presentes en la piscina. c) Tiempo medio de permanencia en la piscina Desarrollo: Sea X (t ) :nº de bañistas presentes dentro de la piscina en el instante t.

{X (t ), t ≥ 0} es un Proceso de Nacimiento y Muerte

Tasas de nacimiento: λ( j) = 4 j ≥ 0 personas/minuto Tasas de muerte: Si cada persona permanece en promedio 10 minutos, la tasa de salida de una persona es de 6 personas por hora, luego 1 µ( j) =  j j ≥ 0 10 Calculo de las probabilidades λ (0) λ (1) 1 1 4 2 P2 = P1 = 40 P1 = (40) P0 P1 = P0 = P0 = 40 P0 1 2 2 µ (2 ) µ (1) 10 λ (2 ) 11 11 (40)3 P0 = 1 (40)3 P0 P3 = P2 = P2 = µ (3) 3! 32 32

Término general 1 n Pn = (40) P0 n ≥ 1 n! ∞   1 P0 = 1 + ∑ 40 n    n =1 n!

Pn = e − 40

40 n n!

n≥0

∞

∞

n =0

n =1

b) L = ∑ nPn = ∑ ne

L=e

− 40

2 ∞ (40) ∑ 3 n =1 (n − 1) n −1

∞

L = e −40 40∑ j =0

(40) j j!

 ∞ (40)n  P0 = ∑   n =0 n! 

−1

−1

= e − 40

esta es una distribución de Poisson con tasa media 40 .

− 40

(40)n n!

=e

− 40

n n −1 ∞ ( ( 40) 40 ) (40 ) − 40 n =e ∑ ∑ (n − 1)! n(n − 1)! n =1 n =1 ∞

haciendo el cambio de variables j = n − 1

= e −40 40 40 = 40

3.- Artículos a ser procesados llegan a dos procesos productivos 1 y 2, los que comparten una zona de almacenamiento de materias primas llamada buffer, en el cual se pueden almacenar a lo más N artículos. Los artículos tipo 1 deben ser procesados en el proceso 1 y los artículos tipo 2 en el proceso 2. La llegada de artículos para ambos procesos siguen sendos procesos de Poisson con tasas λ1 y λ2 respectivamente. Los tiempos de operación de cada proceso

productivo son exponenciales con tasas µ1 y µ 2 . Los artículos que llegan cuando el buffer está completo, son derivados a otros talleres. Formule un modelo que permita conocer, en el largo plazo, la proporción de artículos derivados a otros talleres. Desarrollo: Sea X (t ) : número de artículos en el buffer y

X 1 (t ) : número de artículos tipo 1, en el buffer X 2 (t ) : número de artículos tipo2, en el buffer

Es claro que X (t ) = X 1 (t ) + X 2 (t )

Sea p: proporción de artículos que se derivan a otros talleres.

p = P( X (t ) > N ) = 1 − P( X (t ) ≤ N ) = 1 −

N

∑ P(X (t ) = k ∧ X (t ) = N − k ) 1

2

k =0

N

p =1−

∑P P

1 2 k N −k

k =0 1 k : probabilidad de que en el buffer hayan k artículos tipo 2 N − k : probabilidad de que en el buffer hayan N-k artículos.

En que P

1 y

P

En el largo plazo, suponiendo la existencia de un estado estacionario se tiene que se cumple la ecuación de equilibrio para las variables X 1 (t ) y X 2 (t ) , esto es

v j Pj =

∑P v P k k

kj

k≠ j

Además como los cambios de estado ocurren solo a los estados j y j+1, se tiene que X 1 (t ) y X 2 (t ) corresponden a sendo procesos de Nacimiento y Muerte: Ecuación de equilibrio

[λ ( j ) + µ ( j )]Pj = λ ( j − 1)Pj −1 + µ ( j + 1)Pj +1 λ1 0

Tasa de nacimiento X 1 (t ) : λ ( j ) = 

X 0

P1 =

λ (0) λq(0) P0 = P µ (1) µ +φ 0

P2 =

λ (1) λq(1) λq(1) λq(0) P1 = P1 = P µ (2 ) µ + 2φ µ + 2φ µ + φ 0

Termino general :

n −1

Pn = λ

n

q( j )

∏ µ + jφ P

n ≥1

0

j =0

 En que P0 = 1 + 

∞

n −1

n =01

j =0

∑∏

q( j )   µ + jφ 

−1

1.- Se tiene un sistema de apuestas electrónicas en línea, en el cual los usuarios se conectan en forma remota. Sea X (t ) el número de personas conectadas al sistema en el instante t. El número de personas que se conectan sigue una distribución de Poisson a tasa λ un/hr. Las personas conectadas permanecen un tiempo exponencial con tasa α un./hr. Obtenga la distribución de probabilidades del número de personas en el sistema....