Calcular el límite: lim(x→0)⁡ (1-cos⁡3x)/(1-cos⁡4x ) PDF

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Calcular el límite:
lim(x→0)⁡ (1-cos⁡3x)/(1-cos⁡4x )...

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Calcular el límite: lim

𝑥→0

=

1 − cos 3𝑥 1 − cos 4𝑥

1 − cos(3 ∙ 0) 1 − cos 0 1 − 1 0 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = = = 1 − cos(4 ∙ 0) 1 − cos 0 1 − 1 0

Para levantar la indeterminación: 1 − cos 3𝑥 1 + cos 3𝑥 1 + cos 4𝑥 ∙ ∙ 1 − cos 4𝑥 1 + cos 3𝑥 1 + cos 4𝑥

= Todo por:

1

(1 + cos 4𝑥)(1 − cos2 3𝑥 ) (1 + cos 4𝑥)(sin2 3𝑥) = (1 + cos 3𝑥)(1 − cos2 4𝑥) (1 + cos 3𝑥)(sin2 4𝑥)

𝑥2

2 sin2 3𝑥 1 (1 + cos 4𝑥 )(sin2 3𝑥) ∙ 2 (1 + cos 4𝑥) ( 2 ) (1 + cos 4𝑥) (sin 3𝑥) 𝑥 𝑥 = 𝑥 = 2 2 4𝑥 = 1 sin (1 + cos 3𝑥 )(sin2 4𝑥) ∙ 2 (1 + cos 3𝑥) ( 2 ) (1 + cos 3𝑥) (sin 4𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥

Dentro del paréntesis al cuadrado en el numerador por

3

3

sin 3𝑥 2 3 sin 3𝑥 2 (1 + cos 4𝑥) (3 ∙ (1 + cos 4𝑥) ( ∙ ) 3 𝑥 3𝑥 ) = = 2 2 sin 4𝑥 3 sin 4𝑥 (1 + cos 3𝑥) ( 𝑥 ) (1 + cos 3𝑥) ( ∙ 𝑥 ) 3

2 sin 3𝑥 2 sin 3𝑥 (1 + cos 4𝑥)(3)2 ( 3𝑥 ) 9 ∙ (1 + cos 4𝑥) ( 3𝑥 ) = = sin 4𝑥 2 sin 4𝑥 2 (1 + cos 3𝑥) ( (1 + cos 3𝑥) ( ) ) 𝑥 𝑥

Dentro del paréntesis al cuadrado en el numerador por

4

4

sin 3𝑥 2 sin 3𝑥 2 9 ∙ (1 + cos 4𝑥) ( 3𝑥 ) 9 ∙ (1 + cos 4𝑥) ( 3𝑥 ) = sin 4𝑥 2 4 sin 4𝑥 2 (1 + cos 3𝑥) (4 ∙ (1 + cos 3𝑥) ( ∙ ) ) 4 4𝑥 𝑥

sin 3𝑥 2 sin 3𝑥 2 sin 3𝑥 2 (1 + cos 4𝑥) ( 9 ∙ (1 + cos 4𝑥) ( ) ) 9 3𝑥 ) 3𝑥 3𝑥 = = = ∙ 2 sin 4𝑥 2 sin 4𝑥 sin 4𝑥 2 16 (1 + cos 3𝑥) ( (1 + cos 3𝑥)(4)2 ( 4𝑥 ) ) 16 ∙ (1 + cos 3𝑥) ( 4𝑥 ) 4𝑥 9 ∙ (1 + cos 4𝑥) (

Se calcula el límite: 2 sin 3𝑥 2 sin 3𝑥 (1 + cos 4𝑥) ( 3𝑥 ) 9 9 (1 + cos 4𝑥) ( 3𝑥 ) ∙ = lim ∙ lim 𝑥→0 16 sin 4𝑥 2 sin 4𝑥 2 16 𝑥→0 (1 + cos 3𝑥) ( (1 + cos 3𝑥) ( ) ) 4𝑥 4𝑥

Se sabe que: sin 𝑘𝑥 =1 𝑥→0 𝑘𝑥 lim

sin 3𝑥 2 ) 9 2 1 9 9 1 + 1 (1)2 9 1 + cos(4 ∙ 0) (lim = ∙ ∙ = ∙ 𝑥→0 3𝑥 2 = ∙ ∙ ∙ = 2 16 2 1 16 1 + 1 (1) 16 16 1 + cos(3 ∙ 0) sin 4𝑥 (lim ) 𝑥→0 4𝑥...