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Reglas para calcular probabilidades Como ya sabemos el concepto de probabilidad tuvo su origen en los juegos de dados, cartas y el tiro de la moneda. Luego se implementó en problemas sociales y económicos. Las probabilidades son muy útiles para tomar decisiones de posibles resultados futuros. Para utilizarlas es necesario seguir ciertas reglas generales. Existen aproximadamente nueve reglas para calcular probabilidades, en esta investigación veremos las siguientes: 

Regla de la Adición.



Regla de la Multiplicación.



Regla de la Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes.

Cabe destacar que el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) y el francés Abraham de Moivre (1667-1754) quien abundó en las reglas de probabilidad. Estas reglas ayudan mucho en el cálculo de probabilidades y algunas de sus utilidades son las siguientes: 

Permitir la sumar, restar, división y multiplicación de la probabilidad de un evento o suceso.



Relacionar la probabilidad de un evento dependiente o independiente.



Obtener la probabilidad condicional de un segundo evento.

A continuación definiremos las reglas de probabilidad en las que se centra esta investigación:

1. Regla de la Adición: Las reglas simplifican el cálculo de probabilidades y la regla de la adición se aplica a uniones de dos o más eventos. (Anexo 1). 

La regla de la adición consiste en lo siguiente:

La probabilidad de un evento compuesto E es igual a la suma de las probabilidades de los eventos elementales que lo forman (su espacio muestral). Si E=(A,B,C) Entonces P(E)=P(A)+P(B)+P(C) Por otro lado, al momento de utilizar esta regla para calcular probabilidad es muy necesario tener en cuenta si los eventos son mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes. 

Regla de la suma para eventos mutuamente excluyentes:

La regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes o desarticulados, es decir, que no pueden suceder al mismo tiempo y que no tienen puntos en común, se aplica sumando las probabilidades de los eventos considerados. En otras palabras, la probabilidad de que ocurran los eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades individuales. (Anexo 1,2). Es decir: P(A U B) = P(A) + P(B) 

Regla de la adición para eventos no mutuamente excluyentes:

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad (Anexo 4,5): P(AoB) = P(A) + P(B) – P(AyB) O P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) También es importante señalar que este tipo de problemas se pueden resolver realizando un diagrama de Venn-Euler. (Anexo 6). 2. Regla de la Multiplicación: En la solución de algunos problemas es necesario considerar la probabilidad de que ocurra un suceso A en primer ensayo y el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Esto se presenta con la expresión: P(AyB), donde primero ocurre el suceso A y después ocurre el suceso B. En la probabilidad P(A o B) se asocia “o” con sumar. En este caso P(AyB), “y” se asocia con la operación de multiplicación. 

Regla de la multiplicación para eventos dependientes:

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (u otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la

probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. P(A|B) = P(AyB)/P(B) O P(B|A) = P(AyB) / P(A) Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A) Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. (Anexo 7, 8). P(A y B) = P(A) · P(B) Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales: (Anexo 9). P(A y B) = P(A) · P(B) 3. Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes: 

Probabilidad Condicional:

La probabilidad condicional consiste en lo siguiente:

P ( A /B )=

P (A ∩ B) P(B)

P(A/B) = Probabilidad que suceda A si consideramos que estamos en B La explicación intuitiva seria (Anexo 10):

P ( A /B )=→

N A∩ B N A ∩B/ N P( A ∩ B) → = P(B) NB NB

Una excelente manera de explicar mejor esta regla es con algunos ejemplos:  Probabilidad de morir de accidente cardiovascular (C) en los hombres (H) con

antecedentes familiares (A)

→

 Probabilidad de morir de accidente cardiovascular (C) en los hombres (H) hipertensos (T) con antecedentes familiares (A) de problemas cardiovasculares e

hipertensión (h)

→

 Probabilidad de morir de accidente cardiovascular (C) en las mujeres (M)

hipertensas (T) y en edad menopáusica (P) 

→

. (Anexo 11).

Teorema de Bayes:

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes ( 1702-1761) en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. (Anexo 11).

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

P ( A i|B )=

P ( B| Ai ) P( A i) n

….

∑ P ( B| A k ) P( Ak ) k=1

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional de los eventos

P( Ai ) , dado

B

P ( B|A i )

de cualquiera

. Esta fórmula "ha originado muchas

especulaciones filosóficas y controversias".  Aplicaciones:

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras

que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso. Otra aplicación se encuentra en la fusión de datos, combinando información expresada en términos de densidad de probabilidad proveniente de distintos sensores. n

Como observación, se tiene y

∑ ( A i|B ) =1 i=1

su demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:

1. El diagnóstico de cáncer. 2. Evaluación de probabilidades durante el desarrollo de un juego de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh. 3. Probabilidades a priori y a posteriori. 4. Un uso controvertido en La ley de sucesión de Laplace. 5. Muchos casos judiciales de tipo forense acuden a este teorema para la dictación de las sentencias por parte de los jueces.

Bibliografías [

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/mwiper/docencia/Spanish/Teoria_Est_El/t

ema4_orig.pdf

http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas %20especiales/Probabilitat/1.2.Probabilidad%20condicionada.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas %20especiales/Probabilitat/1.2.Probabilidad%20condicionada.pdf http://probabilidad2013a.blogspot.com/2013/05/eventos-dependientes-eindependientes.html http://es.slideshare.net/gevalbe/fundamentos-de-probabilidad-regla-de-la-multiplicacin http://www.monografias.com/trabajos88/regla-general-adicion-probabilidades/reglageneral-adicion-probabilidades.shtml#ixzz3quLtWCuq http://www.google.com/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CD0QFjAFahUKEwiOw5nC_oDJAhX E5yYKHduRAD8&url=http%3A%2F%2Fwww1.uprh.edu%2Fccc%2FADEM%2FLas %2520reglas%2520de%2520probabilidad %2FADEM_LRDP.pps&usg=AFQjCNEpj9KoPRNTwvcEYxM8FJhW6YdLtQ

http://www.monografias.com/trabajos88/regla-general-adicion-probabilidades/reglageneral-adicion-probabilidades.shtml#ixzz3quPuR77Y http://www.monografias.com/trabajos88/regla-general-adicion-probabilidades/reglageneral-adicion-probabilidades.shtml#ixzz3quRFM9LX http://www.monografias.com/trabajos89/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades.shtml#reglaparta#ixzz3qugWbDHn

http://www.monografias.com/trabajos89/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades.shtml#reglaparta#ixzz3quf1xDXV http://www.monografias.com/trabajos89/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades/regla-general-y-particular-multiplicacionprobabilidades.shtml#reglaparta#ixzz3quh8w3OD

Anexos Anexo 1: Evento

Probabilidades de la unión

s A,B A,B,C A,B,C,D

P(A U B) = P(A) + P(B) P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)

Anexo 2:

Anexo 3:

Anexo 4:

Anexo 5: Ejemplo: 1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción. Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo. Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo? Solución:

Anexo 6: Diagrama de Venn-Euler

Anexo 7:

Ejemplo: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes. P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

Anexo 8: Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla:

Nota: La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P (B/A). Ejemplo: De una tómbola que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, Mathías extrae tres bolas, sin volver a la tómbola la bola extraída, calcular la probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean: 6.1) Rojas 6.2) 2 rojas y una blanca 6.3) Una roja y 2 blancas 6.4) 3 blancas Solución: 6.1) Rojas En 3 sucesos la fórmula de la regla general de probabilidades es:

Reemplazando valores en la regla general de la multiplicación se obtiene:

O también, elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

En el diagrama de árbol, la probabilidad correspondiente a cada rama del árbol corresponde a la probabilidad condicional de que ocurra el evento específico, dado que han ocurrido los eventos de las ramas precedentes. Al describir un evento mediante una trayectoria a través del diagrama de árbol, la probabilidad de que ocurra dicho evento es igual a producto de las probabilidades de las ramas que forman la trayectoria que representa al mencionado evento. La solución empleando el diagrama de árbol para RRR, es decir

es multiplicando las ramas

Anexo 9: Ejemplo 1: Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes. P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

Ejemplo 2: Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito en tener hombre

en el primer nacimiento, mujer en el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento. Solución: M = mujer H = hombre Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

Entonces,

Anexo 10:

Anexo 11:

Glosario

Adición: Agregar, incorporar algo a otra cosa. Desde el punto de vista matemático, operación de sumar. Compuesto: Que está formado por dos o más elementos. Condicional: Que incluye y lleva consigo una condición o requisito. Dependiente: Que depende de alguien o de alguna cosa. Ensayo: Probar algo antes de un resultado o reconocer algo antes de usarlo. Excluyente: Que excluye, deja fuera o rechaza alguna cosa. Intersecantes: Dicho de dos líneas, dos superficies o dos sólidos: Cortarse o cruzarse entre sí. Muestral: Parte o porción extraída de un conjunto por métodos que permiten considerarla como representativa de él. Ocurrencia: Encuentro, suceso casual, ocasión o coyuntura. Probabilidad: En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Conclusión

Existen reglas que se utilizan para poder calcular dichas probabilidades, es decir, los sucesos de la misma se cumplen llevándolas a cabo de forma correcta. Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales; la regla de la multiplicación, establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales y la regla de Laplace, establece la probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.

Recomendación

Se puede también crear su propia probabilidad subjetiva que se basa en tus opiniones sobre la posibilidad de que ocurra un evento en particular. La interpretación subjetiva de una probabilidad será diferente para cada persona. Asignar cualquier número de eventos, pero tienen que ser probabilidades correctas, lo que significa que deben seguir las reglas básicas que se aplican a todas las probabilidades y se pueden conocer las

probabilidades de algunos de estos sucesos. Con la ayuda de ciertas propiedades que se deducen de manera inmediata a partir de la axiomática es posible calcular las probabilidades de más sucesos....