Calculo Diferencial - Rene Jimenez PDF

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Summary

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial,
cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato general.
Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión de
los conceptos, esencia de...

Description

TRIGONOMETRíA

(x, y) 1

y

θ x

GRÁFICAS

x2 + y2 = 1 y sen θ = = y 1 x cos θ = = x 1 sen 2 θ + cos2 θ = 1

Derivadas de funciones algebraicas

0

90 180 270 360

1 cscθ = sen θ csc2 θ = 1 + ctg2 θ cos θ = sen ( 90º −θ

dx 1.

0

d dx

90 180 270

csc x

6.

2

) tan θ = ctg ( 90º −θ ) sen θ = cos (90º −θ

0

90 180 270

0

h

h→ 0

c=0

2.

()

d x=1 dx

()

)

cot x sec x

) = lím f ( x − h) − f ( x )

d d d d n cf x = c f x 4. v = n vn −1 v dx dx dx dx d ⎡ f (x + g (x − h (x ⎦⎤ = f ⬘(x + g ⬘(x − h ⬘(x 5. dx ⎣

0 90 180 270

tan x

sec θ = 1 + tan θ 2

)

0

df ( x

90 180 270 360

3.

sen θ tanθ = cos θ 1 sec θ = cos θ

cosθ ctgθ = sen θ

cos x

sen x

Identidades trigonométricas

sen 2 θ + cos 2 θ = 1

FÓRMULAS MATEMÁTICAS

90 180 270

7.

)

)

)

)

d ⎡ f (x ⋅ g (x ⎤⎦ = f (x g ⬘( x + g (x f ⬘ (x dx ⎣

)

)

)

)

)

)

)

( ) = g (x ) f ' (x )− f (x )g ' (x ) dx g ( x ) ⎡ g ( x) ⎤ ⎦ ⎣ d f x

2

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

) sen (x − y ) = sen x cos y − cos x sen y cos(x + y ) = cos x cos y −sen x sen y cos( x − y ) = cos x cos y +sen x sen y sen (x + y = sen x cos y + cos x sen y

(

)

tan x + y =

tan x + tan y 1 − tan x tan y

(

)

tan x − y =

tan x − tan y 1 + tan x tan y

FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES

Fórmulas de medio ángulo

1 − cos 2x sen x = 2

cos2 x =

1.

a b c = = sen A sen B sen C

2 2 2 2 cos2 x = cos x − sen x = 2 cos − 1 = 1 − 2 sen x 2 tan x tan 2x = sen 2 x = 2 sen x cos x 1 − tan2 x

2

Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

1 + cos 2x 2

2.

d dx

ln u =

1 d u u dx

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Ley de cósenos. El coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el cuadrado del lado opuesto, todo dividido entre dos veces el producto de los lados que lo forman

1.

b2 + c 2 − a2 cos A = 2bc a 2 + c 2 −b 2 cos B = 2ac a 2 +b 2 −c 2 cosC = 2 ab

1.

B a c

d dx

a u = a u ln a

d dx

u

2.

d dx

eu = eu

d dx

u

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

3.

C 5.

b 6.

A

log a e d d u log a u = u dx dx

2.

d d cosu = − sen u u dx dx

u 4.

d d ctg u = − csc 2 u u dx dx

d d sen u = cos u u dx dx d dx d dx

tan u = sec 2 u

d dx

sec u = sec u tan u

d dx

u

d d csc u = − csc uctgu u dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

INTEGRALES

1 d arcsen u = u dx 1 − u2 1 d d arccos u = − u dx 1 − u 2 dx d 1 d arctan u = u dx 1 + u2 dx 1 d d arcctg u = − u dx 1 + u 2 dx 1 d d arc sec u = u 2 dx dx u u −1 1 d d arc csc u = − u 2 dx dx u u −1

Las funciones anteriores también se escriben así: sen −1u , cos−1 u , tan −1 u , ctg−1 u , sec−1 u , etcétera. Geometría

Círculo

Triángulo

r

Sector de círculo r

s

h q 1 2

∫ dx = x + C

2.

∫ cdu = c ∫ du

3.

∫ (du + dv − dw ) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw

4.

∫ u du = n + 1 + C ,

5.

∫

P = 2π r

bh

A = π r2

1 2 rθ 2 s = θ r rad

y = cos x ⇒ x = cos−1 y

y = tan x ⇒ x = tan −1 y ;

y = ctg x ⇒ x = cgt− 1 y

y = sec x ⇒ x = sec

−1

y;

y = csc x ⇒ x = csc −1 y

u

u

2

19.

∫u

2

19a.

∫a

2

du

2

2 −a

=

1 2a

ln

u−a u+ a

+C

1 a+ u du +C = ln − u2 2 a a − u du

u = arcsen + C a a −u

20.

∫

21.

∫

22.

∫

a2 − u2 du =

23.

∫

u ± a du =

2

2

du u2 ± a2

(

= ln u +

a

u

+C

8.

∫ sen udu = − cos u + C

9.

∫ cos udu = sen u + C

10.

2 ∫ sec udu = tan u + C

11.

2 ∫ csc udu = −ctg u + C

12.

∫ sec u tan udu = sec u + C

13.

∫ csc u ctgudu = − csc u + C

14.

∫ tan udu = ln sec u + C

15.

∫u

)

u2 ± a2 + C

u

∫ e du = e

u

n≠1

= ln u + C

7.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

y = sen x ⇒ x = sen −1 y;

du

un +1

∫ a du = ln a + C

A=

( )

n

6.

r

b A=

1.

1 u arctan + C = a a +a

du

18.

∫ ctg udu = ln sen u + C

16.

∫ sec udu = ln sec u + tan u + C

17.

∫ csc udu = ln csc u − ctg u + C

2

2

u 2 a2 u a − u 2 + arcsen + C 2 2 a

(

)

u 2 a2 2 2 u ± a2 ± ln u + u ± a + C 2 2

INTEGRACIÓN POR PARTES

∫ udv=

uv−

∫ vdu

Geometría

Esfera

Cilindro

Cono

r

h

h r

r A = 4π r 2 V=

V = π r2 h

4 π r3 3

1 2 V= π r h 3

Formulario elaborado por: René Jiménez

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A L

C Á L C U L O D I F E R E N C I A L

René Jiménez Colegio de Bachilleres

JIMÉNEZ, RENÉ Cálculo diferencial PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1019-9 Área: Matemáticas Formato: 19 × 23.5 cm

Páginas: 152

Editor:

Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editora de desarrollo: Claudia Celia Martínez Amigón Supervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1019-2 ISBN 13: 978-970-26-1019-9 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07

A g r a d e c i m i e n t o

Ser maestro es una gran responsabilidad, sin duda dejamos huella en nuestros alumnos y usted profesor René, dejó esa inquietud en mí: el gusto por las matemáticas; y por ello, me decidí a estudiar ingeniería. Al igual que usted, hoy me dedico a la docencia; Dios nos pone en el camino en donde Él nos necesita y por eso, le doy las gracias por haberlo puesto en el mío. Gracias por ser un buen maestro, por preocuparse por allegar a sus alumnos de los conocimientos necesarios para continuar con su camino. Ex alumna del Colegio de Bachilleres plantel núm. 1 y Tecnológico de Chihuahua Ing. Lucía Guadalupe Muñoz Calderón Coordinadora académica ESFER Salesianos

C o n t e n i d o

IN T R ODU CCIÓN

IX

U N IDAD 1

1 2 3 4 6 6 8 9 12

U N IDAD 2

L ÍMIT E S Y CON T IN U IDAD Introducción Presentación preliminar Límites y continuidad Límite de una variable Límite de una función. Límites laterales Teoremas fundamentales de los límites Límites de funciones polinomiales Límites de funciones racionales Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.,) Continuidad Teorema del valor intermedio Teorema del valor extremo R AZÓN DE CAMB IO Y L A DE R IVADA La derivada como razón de cambio Interpretación geométrica de la derivada Diferenciabilidad La velocidad como una razón de cambio Reglas para derivar Regla de la cadena Regla para derivar un producto

20 26 31 32 35 36 38 41 43 48 55 59

x • Contenido Regla para derivar un cociente Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas inversas Derivadas de funciones exponenciales Derivadas de funciones logarítmicas Derivadas de funciones implícitas Ecuaciones de la tangente y de la normal U N IDAD 3

MÁX IMOS Y MÍN IMOS R E L AT IVOS Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo Funciones crecientes y decrecientes Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada Derivadas de orden superior Aceleración Concavidad y punto de inflexión Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada Trazado de curvas Más aplicaciones de la derivada

63 70 80 85 90 95 97 105 106 116 118 123 125 128 129 131 134

P r ó l o g o

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial, cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato general. Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión de los conceptos, esencia de toda asignatura. Es importante mencionar que los temas se tratan de acuerdo con cuatro aspectos fundamentales en las matemáticas: el algebraico, el numérico, el geométrico y el verbal o descriptivo. El material se divide en tres grandes áreas del cálculo diferencial: los límites, la derivada y las aplicaciones de ésta. Los límites como un antecedente fundamental en la comprensión de la derivada, la derivada como una razón de cambio de un proceso o un fenómeno natural y la importancia de las aplicaciones para resolver problemas que se presentan en los diversos campos del conocimiento. A continuación, se mencionan algunas características relevantes: • • •

• •

Los temas se abordan de una forma clara y precisa para una mejor comprensión. La estructura didáctica tiene como propósito facilitar la tarea de los estudiantes y apoyar el trabajo docente. El rigor matemático que se aplica no representa ningún obstáculo para que el estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo pueda acercarse enteramente a éste y comprender del todo los teoremas, justificaciones y métodos empleados. Donde ha sido necesario se han incluido ilustraciones que permiten visualizar, reflexionar y resolver mejor los ejemplos y ejercicios propuestos. Se ha procurado equilibrar la teoría del Cálculo con sus aplicaciones a fin de que el estudiante constate la importancia que tiene el Cálculo en la solución de problemas.

Finalmente, quiero agradecer a todas aquellas personas que me animaron y apoyaron para que este proyecto fuese posible, especialmente quiero mencionar a mis compañeros profesores y alumnos, porque es de ellos de quien más he aprendido. Y a quienes dediquen un poco de su tiempo a la lectura y reflexión del Cálculo: gracias. René Jiménez

U N I D A D

1 L Í M I T E S

Y

C O N T I N U I D A D

Introducción

2

Presentación preliminar

3

Límites y continuidad

4

Límite de una variable

6

Límite de una función. Límites laterales

6

Teoremas fundamentales de los límites

8

Límites de funciones polinomiales

9

Límites de funciones racionales

12

Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos, funciones exponenciales, trigonométricas, etc.)

20

Continuidad

26

Teorema del valor intermedio

31

Teorema del valor extremo

32 1

2 • UN IDAD 1

I

Límites y continuidad

N T R O D U C C I Ó N ¿Qué es el cálculo? Para los romanos en tiempos del Imperio el calculus era una pequeña piedra utilizada para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje coloquial médico. Siglos más tarde, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era moderna, en todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación de las matemáticas elementales potenciadas con el concepto de límites; en otras palabras, el cálculo toma las ideas fundamentales de la matemática elemental y las extrapola a situaciones más generales. Veamos algunos ejemplos en la tabla siguiente.

Matemática elemental

Pendiente de una recta y=mx+b

Cálculo

Pendiente de una curva y=f(x)

Recta tangente a una circunferencia

Recta tangente a una curva más general

Velocidad media

Velocidad instantánea

Aceleración media

Área de una región limitada por curvas

Longitud de un segmento de recta

Longitud de una curva

Suma de una colección finita de números

Suma de una colección infinita de números

1

+a

2

+ ... + a

Movimiento a lo largo de una recta con velocidad constante

Cálculo

Movimiento a lo largo de una curva con velocidad variable

Volumen de un sólido rectangular

Volumen de un sólido limitado por una superficie curva

Área de la superficie de un cilindro

Área de la superficie de un sólido más general

Plano tangente a una esfera

Plano tangente a una superficie más general

Aceleración instantánea

Área de una región limitada por segmentos rectilíneos

a

Matemática elemental

n

a1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅

Centro de una esfera

Centro de gravedad de un sólido más general

Presentación preliminar

P

R E S E N T A C I Ó N

P R E L I M I N A R

El concepto de límite ha sido parte fundamental en el desarrollo del cálculo y, en términos generales, de toda la estructura matemática; para comprenderlo será necesario abrir nuestra mente y hacer uso del razonamiento. Por ejemplo, al estirar un cable hasta romperlo, se dice que éste sobrepasó su límite de resistencia; si no hubiera fuerza de fricción, un péndulo seguiría oscilando y su movimiento no tendría fin; un globo se revienta cuando alcanza el límite de su capacidad, etcétera.

Hace por lo menos 2 500 años que surgió el cálculo; los antiguos griegos hallaban áreas mediante el “método del agotamiento”. Esta técnica consistía en dividir el área A de un polígono en varios triángulos, y luego sumar las áreas de estos triángulos. La figura 1 nos muestra el método.

A1 A5 A2 A3

A4

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

Figura 1

Sin lugar a dudas, era mucho más difícil obtener el área de una figura curva. En este caso, el método del agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en torno a la figura y a continuación hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. La figura 2 nos muestra el método en el caso de un círculo, con polígonos regulares inscritos.

A1

A2

A4

A3

Figura 2

A5

•

3

4 • UN IDAD 1

Límites y continuidad

Llamemos A el área del círculo y An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n de manera indefinida, parece que An se aproxima cada vez más al área del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y escribimos A = lím A n n→∞

Es conveniente aclarar que los griegos no aplicaron explícitamente los límites.

L

Í M I T E S

Y

C O N T I N U I D A D

Para comprender mejor el concepto de límite en matemáticas, analicemos el siguiente experimento. El triángulo de la figura 1 es equilátero y las figuras sucesivas son réplicas de éste, sólo que trazamos a partir de los puntos medios triángulos equiláteros invertidos, pero aumentamos cada vez más el número de ellos. El resultado es el triángulo de Sierpinski, un ejemplo de fractal. Supongamos que A = 1 y enseguida calculemos el valor de a1 , a 2 , y a 3 etcétera:

a1

? a2 =

= 1 4

? a3 =

a2 A=1

Figura 1

a3

a1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Si siguiéramos trazando triángulos de manera indefinida y en la última figura sumamos todas las áreas sombreadas a1 con todas las áreas a2 y así sucesivamente hasta an en donde n es un número muy grande, es decir que n tiende hacia el infinito n → ∞ en lenguaje simbólico esta idea se escribe así;

(

)

∞

∑a n =1

n

= a1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an

y se lee ‘’la suma de todas las a subíndice n desde n = 1 hasta n = ∞. Con todo esto sería pertinente formular las siguientes preguntas.

Límites y continuidad

(

)

1. ¿Hacia dónde tiende el valor de an cuando n tiende al infinito n → ∞ ?

Respuesta

2. ¿Cuál es el valor aproximado de

∞

∑a= n= 1

n

a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ? Respuesta

3. ¿Cuál es el límite del valor de la diferencia A−

∞

∑a

n =1

n

?

Respuesta

Por cierto, esta última idea se escribe de la siguiente manera; n

lím A − ∑ ak n →∞

k =1

n

y se lee “el límite del valor absoluto de la diferencia A − ∑ ak cuando n tiende al k= 1 infinito”. Analiza la tabla siguiente para confirmar tus respuestas a las preguntas 1, 2 y 3 anteriores.

n

an

2

3

4

1

1 1 1 ⋅ = 4 4 16

1 64

1...