Cálculo Recta DE Regresión (Esquema teórico) PDF

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Cálculo Recta DE Regresión (Esquema teórico)...

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Joan Munné Llorens

CÁLCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Intentamos determinar una recta

𝑦𝑡 𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖

próxima a la nube de puntos, minimizando el error que se comete entre los valores observados 𝑦𝑖 y los teóricos dados por la recta 𝑦𝑡 𝑖 aplicando los mínimos cuadrados de las diferencias 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

∑( 𝑦𝑖 − 𝑦𝑡 𝑖 )2 = ∑(𝑦𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑥𝑖 ) lo que nos permite determinar los valores, en nuestro problema 𝜷𝟏 =

𝑛 ∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 · 𝑦𝑖 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖)(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖) 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 𝜷𝟎 =

∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝛽1 ∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛

El coeficiente de correlación lineal de Pearson es 𝒓=

𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 · 𝑦𝑖 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖)(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖)

√𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖)2 √𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 2 − (∑ 𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 )2

Y el coeficiente de determinación

𝑹𝟐 = (𝑟)2 =

(𝛽󰆹 )2 (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 )2 /𝑛) 2

∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 2 − ( ∑ 𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ) /𝑛

Para determinar si las variables están relacionadas linealmente se hace el contraste de hipótesis (EBR-sección 10.3) efectuando el test óptimo de nivel 𝛼 para contrastar 𝐻 : 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 siguiente { 0 𝐻1 : 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 • •

Se acepta 𝐻0 si 𝐹 < 𝐹1,𝑛−2;𝛼 Se rechaza 𝐻0 si 𝐹 ≥ 𝐹1,𝑛−2;𝛼

representando 𝐹1,𝑛−2;𝛼 la función 𝐹 de Snedecor con (1, 𝑛 − 2) grados de libertad a un nivel 𝛼 .

La tabla del análisis de varianza (ANOVA 1) para la regresión lineal simple (ver adenda Fórmulas y tablas estadísticas pág. 26) es

1

Del inglés “ANalysis Of VAriance”, en castellano ADEVA.

Joan Munné Llorens

T. de variación Regresión lineal

Suma de cuadrados 𝑛

𝑆𝑆𝐸𝑋 = 𝛽󰆹 2 (∑ 𝑥𝑖 2 𝑖=1

Residual Total

−

𝑛 𝑖=1

(∑

𝑛

)2

𝑥𝑖 )

𝑆𝑆𝑁𝐸𝑋 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐸𝑋 𝑛

𝑆𝑆𝑇 = ∑ 𝑦𝑖 2 − 𝑖=1

c. medios

1

𝑆𝑆𝐸𝑋

𝑛−2

(∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖)2 𝑛

2 = la estimación de la varianza común es 𝜎

g.l.

𝑛−1

𝑆𝑆𝑁𝐸𝑋 𝑛−2

Estadístico 𝑆𝑆𝐸𝑋 𝑆𝑆𝑁𝐸𝑋 𝑛−2

𝑆𝑆𝑁𝐸𝑋 𝑛−2

.

Un contraste alternativo consiste testar la nulidad de 𝛽1 , es decir, contratar 𝐻0 : 𝛽1 = 0 frente a 𝐻1 : 𝛽1 ≠ 0 • •

Se acepta 𝐻0 si |𝑡| < 𝑡𝑛−2;𝛼 ⁄2 Se rechaza 𝐻0 si |𝑡| ≥ 𝑡𝑛−2;𝛼 ⁄2

donde 𝑡𝑛−2;𝛼 ⁄2 es la t de Student con 𝑛 − 2 grados de libertad a un nivel de significación 𝛼 ⁄2 ; siendo el estadístico del contraste 𝑡=

𝑆𝑏 2 =

𝑆𝑆𝐸𝑋 (𝑛 − 2) 𝛽󰆹1 =√ 𝑆𝑏 𝑆𝑆𝑁𝐸𝑋

𝜎2 𝜎2 = − 𝑥 )2 𝑆𝑆𝐸𝑋 2 𝛽󰆹1

∑ 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖...