Cap. 17 - Resolução Um curso de cálculo, Volume 2 HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI PDF

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Resolução Um curso de cálculo, Volume 2 HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI...

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CAPÍTULO 17 Exercícios 17.2 1. a) Sejam Ê 3ˆ Ê 1ˆ r r 1 3 v1 ⫽ Á ˜ e b ⫽ Á ˜ Á 2˜ Á 1˜ Á ˜ Á ˜ Ë 3¯ Ë 2¯

Solução LSQ: r r 3 ⭈ 1 ⫹ 1 ⭈ 3 ⫹ 2 ⭈ 1 ⫹ 3 ⭈ 2 14 b ⭈v ⫽ x ⫽ r r1 ⫽ 1 ⭈ 1 ⫹ 3 ⭈ 3 ⫹ 1 ⭈ 1 ⫹ 2 ⭈ 2 15 v1 ⭈ v1 ÏÔx ⫽ 3t 2. Sejam P ⫽ (2, 1, 3) e r: Ìy ⫽ t . ÔÓz ⫽ 2t

O ponto procurado é (3t1, t1, 2t1), onde t1 é a solução LSQ do sistema ÏÔ3t ⫽ 2 Ì t⫽ 1 ÔÓ2t ⫽ 3. t1 ⫽

13 ( 3, 1, 2) ⭈ ( 2, 1, 3) . ⫽ ( 3, 1, 2) ⭈ ( 3, 1, 2) 14

ÏÔx ⫽ t ⫹ 1 3. Sejam P ⫽ (1, 1, 1) e r: Ì y ⫽ 2 t ÓÔz ⫽ t ⫹2

O ponto procurado é (t1 ⫹ 1, 2t1, t1 ⫹ 2), onde t1 é a solução LSQ do sistema ÏÔt ⫹ 1 ⫽ 1 ou seja Ì2t ⫽ 1 ÓÔt ⫹ 2 ⫽ 1 t1 ⫽

ÏÔt ⫽ 0 Ì2t ⫽ 1 ÓÔt ⫽ ⫺1.

1 ( 1, 2, 1) ⭈ ( 0, 1, ⫺ 1) ⫽ . (1, 2, 1) ⭈ (1, 2, 1) 6

Exercícios 17.3 1. Ê 1ˆ r

Ê 1ˆ

1¯

Ë 2¯

r

Ê2ˆ

a) Sejam v1 ⫽ Á 1˜ , v2 ⫽ Á⫺ 1 ˜ e b ⫽ Á 1 ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë r

Ë3¯

r r Os vetores v1 e v2 são l.i.: o sistema será compatível determinado. Escrevendo S na forma vetorial:

r r r x v1 ⫹ y v2 ⫽ b . A solução LSQ de S é a solução do sistema auxiliar: r r r r r r Ï x v1 ◊ v1 ⫹ y v2 ◊ v1 ⫽ b ◊ v1 r r S.A. Ì r r r r Óx v1 ◊ v2 ⫹ y v2 ◊ v2 ⫽ b ◊ v2 r r onde vr1 ◊ rv1 ⫽ 3; rv1 ◊ rv2 ⫽ 2; b rv1 ⫽ 6; rv2 ◊ rv2 ⫽ 6 e b ◊ rv2 ⫽ 7

3x ⫹ 2y ⫽ 6 S.A. ÏÌ2x 6y 7 ⫽ Ó ⫹

Ê 11 9 ˆ cuja solução é Ë , ¯ 7 14

Ê 11 9 ˆ , . [Não atende ao sistema no sentido habitual.] Ë 7 14 ¯ No sentido habitual o sistema proposto não admite solução (da Álgebra Linear: o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz aumentada).

Solução LSQ é

Ê 1 ˆ Ê 3ˆ Ê 2ˆ ⫺1 ˜ Á 0˜ 1˜ Á ⫽ ⫹y Á b) Seja o sistema: x . ÁÁ 2 ˜˜ ÁÁ 3˜˜ ÁÁ 1˜˜ Ë ⫺ 2 ¯ Ë 1¯ Ë 3¯ Na forma vetorial:

r r r x v1 ⫹ y v2 ⫽ b r r r r r r Ï x v ◊ v ⫹ y v2 ◊ v1 ⫽ b ◊ v1 r r S.A. Ì r1 r1 r r Óx v1 ◊ v2 ⫹ y v2 ◊ v2 ⫽ b ◊ v2 r r onde rv1 ◊ rv1 ⫽ 15; rv1 ◊ rv2 ⫽ ⫺3; b◊ rv1 ⫽ 12; rv2 ◊ rv2 ⫽ 1 0 e b ◊ rv2 ⫽ 7.

Ï15 x ⫺ 3 y ⫽ 1 2 Portanto, S.A.: Ì 3 x 1 0 y 7 , ⫽ Ó⫺ ⫹

cuja solução é (1, 1).

158

A solução, no sentido LSQ, é (1, 1), que também é solução do sistema no sentido habitual. c) Seja o sistema: Ê2ˆ Ê 1ˆ Ê 4ˆ x Á 4 ˜ ⫹ y Á 2˜ ⫽ Á1˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë6¯ Ë 3¯ Ë 4¯

r r r na forma vetorial: x v1 ⫹ y v2 ⫽ b .

Os vetores v1 e v2 são l.d.: o sistema admite uma infinidade de soluções LSQ (Sistema compatível indeterminado). r

Como v1 ⫽ 2 v2 segue 2x v2 ⫹ y v2 ⫽ b r r r r r Daí, (2 x ⫹ y ) rv2 ⫽ b. Então, t v2 ◊ v2 ⫽ b ◊ v2 e daí r

r

r

r

1 424 3 t

r 9 b v t ⫽ r ◊ r2 ⫽ 9 . Logo, as soluções LSQ são todos os pares (x, y) tais que 2x ⫹ y ⫽ . v2 ◊ v2 7 7 No sentido habitual, o sistema não admite solução. r

ÏÔx ⫽ 2 u ⫹ v 2. Sejam ␣: Ìy ⫽ u ⫺ v ÓÔz ⫽ u ⫹ v

e

B ⫽ (3, 0, 1).

O ponto procurado é (2u1 ⫹ v1, u1 ⫺ v1, u1 ⫹ v1), onde (u1, v1) é a solução LSQ do sistema ÏÔ2u ⫹ v ⫽ 3 r r r Ìu ⫺ v ⫽ 0 que é equivalente a u v1 ⫹ v v2 ⫽ b. ÔÓu ⫹ v ⫽ 1 r r r r r r Ï u v1 ⭈ v1 v v2 ⭈ v1 ⫽ b ⭈ v1 r r , que é equivaEntão, (u1, v1) é a solução do sistema auxiliar Ì r r r r Ó u v1 ⭈ v2 v v2 ⭈ v2 ⫽ b ⭈ v2 13 5 36 3 23 ˆ 6u 2v 7 e v1 ⫽ . O ponto procurado é Ê , lente a ÏÌ ⫹ ⫽ . Assim, u1 ⫽ , . Ë 14 14 14 ¯ 7 Ó 2u ⫹ 3v ⫽ 4 14 A distância do ponto ao plano é 2 2 2 3 14 126 Ê36 3 ˆ Ê 3 ˆ Ê 23 1ˆ . ⫺ ⫹ ⫹ ⫺ ⫽ ⫽ ¯ Ë14 ¯ Ë 14 ¯ Ë 14 14 14

Exercícios 17.4 1. a) O diagrama de dispersão é a representação gráfica dos pontos da tabela.

159

b) Reta dos mínimos quadrados. Seja yˆ ⫽ mx ⫹ q a reta procurada. Temos q ⫽ ⫺1 Ï Ô m ⫹q ⫽2 Ô 2 m ⫹ q ⫽ 1, 5 S: Ì 3m ⫹ q ⫽ 3, 5 Ô 4 m q 3, 8 ⫹ ⫽ Ô Ó 5m ⫹ q ⫽ 4, 5

r r r Em forma vetorial, S: {m v 1 ⫹ q v 2 ⫽ b

Ê 0ˆ Á1˜ onde rv1 ⫽ Á 2˜ , Á 3˜ Á 4˜ Ë 5¯

Ê1ˆ Á1˜ r v2 ⫽ Á1˜ Á1˜ Á1˜ Ë1¯

e

Ê1 ˆ 2 r Á 1, 5˜ b⫽ Á ˜ Á 3, 5˜ Á 3, 8˜ Ë 4 , 5¯

O sistema auxiliar é: r r

Ï S.A.: Ì mrv1 ◊ rv1 ⫹ qrv2 ◊ rv1 ⫽ br ◊ rv1 r

r

r

r

Óm v1 ◊ v 2 ⫹ q v 2 ◊ v2 ⫽ b ◊ v 2

Temos r r r r v1 ◊ v1 ⫽ 55; v1 ◊ v2 ⫽ 15; r r r r b ◊ v1 ⫽ 5 3 ,2; v2 ◊ v2 ⫽ 6; r r b ◊ v2 ⫽1 4 , 3

{1555mm⫹⫹615qq⫽⫽14,353,2 Daí, m ⫽

23 349 eq⫽⫺ . 210 350

160

Portanto, yˆ ⫽

349 23 x⫺ . 350 210

c) Para determinar o coeficiente de determinação 6

 ( yˆi ⫺ y )2

i ⫽1 6

R2 ⫽

 ( yi ⫺ y )2

i ⫽1

precisamos da seguinte tabela: xi

yi

0 1 2 3 4 5

⫺1 2 1,5 3,5 3,8 4,5

ˆy i

⫺0,1095 0,8876 1,8847 2,8819 3,8790 4,8762

(yˆi ⫺ y )2

( yi ⫺ y )2

6,2140 2,2371 0,2486 0,2486 2,2371 6,2145

11,4467 0,1467 0,7802 1,2470 2,0070 4,4804

349 23 x⫺ onde ˆy ⫽ 350 210 ⫺ 1 ⫹ 2 ⫹ 1, 5 ⫹ 3, 5 ⫹ 3, 8 ⫹ 4, 5 ⫽ 2,3833 . y⫽ 6 Coeficiente de determinação: 6

 ( yˆi ⫺ y) 2

R2 ⫽

i⫽ 1 6

Â( yi ⫺ y) 2

⫽

17, 399 @ 0, 8653 20, 1082

i⫽1

2. a) Reta dos mínimos quadrados: Seja yˆ ⫽ m x ⫹ q Temos

ou

Ï⫺ 6m ⫹ q ⫽ 2 Ô⫺ 5m ⫹ q ⫽ 2, 4 S: ÔÌ⫺ 4 m ⫹ q ⫽ 1,9 ⫺ 3m ⫹ q ⫽ 1, 8 Ô⫺ 2 m ⫹ q ⫽ 2 , 1 Ô⫺ m ⫹ q ⫽ 2 ,2 Ó

Ê⫺6 ˆ Ê 1ˆ Ê2 ˆ Á⫺5 ˜ Á 1˜ Á 2 , 4˜ m Á⫺4 ˜ ⫹ q Á 1˜ ⫽ Á 1, 9 ˜ Á⫺3 ˜ Á 1˜ Á 1, 8 ˜ Á⫺2 ˜ Á 1˜ Á 2,1 ˜ Ë⫺1 ¯ Ë 1¯ Ë 2, 2¯ { 12 12 r r3 r3 v2 v1 b

161

r

Na forma vetorial m v1 ⫹ q v2 ⫽ b. r

r

O sistema auxiliar é: r r r r r r Ï m v ◊ v ⫹ q v1 ◊ v2 ⫽ b ◊ v1 r r S.A.: Ì r 1 r 1 r r Ó m v1 ◊ v2 ⫹ q v2 ◊ v2 ⫽ b ◊ v2 r r r onde vr1 ◊ rv1 ⫽ 91; rv1 ◊ rv2 ⫽ ⫺ 21; b ◊ rv1 ⫽ ⫺ 43 , 4; rv2 ◊ rv2 ⫽ 6 e b ◊ v2 ⫽ 12 , 4.

91 m ⫺ 21 q ⫽ ⫺43, 4 Então, S.A.: ÏÌ 21 m 6 q 12, 4 ⫹ ⫽ Ó⫺

A solução LSQ é m ⫽ 0 e q ⫽

31 15

ˆy ⫽ 31 é a reta dos mínimos quadrados. 15 b) Para x ⫽ 0, temos yˆ ⫽

c) y ⫽

31 . 15

2 ⫹ 2, 4 ⫹1, 9 ⫹1, 8 ⫹ 2,1 ⫹ 2, 2 12, 4 124 31 . ⫽ ⫽ ⫽ 6 6 60 15

Logo, ˆyi ⫺ y ⫽ 0. Portanto, R2 ⫽ 0.

162...