Capitulo-1 - Matemática diferencial PDF

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Matemática diferencial...

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INTRO DUC C IÓ N A LA S ECUA CIO NES DIFERENC IALES

1.1

1.2 1.3

Definiciones y terminología Problemas de valor inicial Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Ejercicios de repaso

Las palabras ecuaciones y diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contenga derivadas. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como

= 0 con la variable x,

en este curso vamos a resolver ecuaciones diferenciales como y” +

+

0, para

conocer la función y. Pero antes de comenzar cualquier cosa, el lector debe aprender algo de las definiciones y terminología básicas en este tema.

1

1

2

A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIONES Y n n n n

Ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales n de una ecuación Ecuaciones lineales y no lineales de una ecuación diferencial Soluciones explícitas e implícitas n Solución n Familia de soluciones Solución particular n Solución general n Sistemas de ecuaciones diferenciales

Ecuación diferencial y =

en sí, otra función de entonces =

En cálculo aprendimos que la derivada, de la y = se determina las reglas adecuadas; por ejemplo, si Al reemplazar por el símbolo y se obtiene = 2xy.

El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y su derivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación método por el cual podamos llegar a la función desconocida y =

determinar algún

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y

Clasificación según el tipo Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo 4

y

-

-

son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo, - = - -

Y

son ecuaciones en derivadas parciales,

Clasificación según orden El orden de una diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo, segundo

orden

primer

orden

Sección 1

es una ecuación diferencial de segundo orden. Como la ecuación (y escribir en la forma

Definiciones y

x)

0 se puede

si se divide entre la diferencial es un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Una ecuación diferencial ordinaria general de orden se suele representar mediante los símbolos . .

= 0.

En las explicaciones y demostraciones de este libro supondremos que se puede despejar la derivada de orden máximo, de una ecuación diferencial de orden como la ecuación (2); esto es, =

y, y’, . . . ,

Clasificación según la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuación diferencial de la forma y, y’, . . es lineal cuandofes una función lineal dey, .. Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma +

+..+

+

y = g(x).

En esta última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es Ca& coeficiente sólo depende de que es la variable independiente. Las funciones dey como sen y o las funciones de las derivadas dey, como e no pueden aparecer en una ecuación lineal. Cuando una diferencial no es lineal, se dice que es no Las ecuaciones

son ecuaciones lineales ordinarias de primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Por otro lado, el coeficiente depende dey

(

función no lineal dey

potencia distinta de 1

1

son ecuaciones diferenciales no lineales de primero, segundo y cuarto

respectivamente.

4

1 INTRO DUC C IÓ N A LA S ECUAC IO NES DIFERENC IA LES

Soluciones soluciones

de

Como dijimos, uno de los objetivos de este curso es resolver o hallar las las ecuaciones diferenciales. Solución de una

Cuando y transforma esa intervalo.

diferencial

definida en intervalo se sustituye en una en una identidad, se dice que es una

de

En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación función con al menos derivadas y . .

0

para todo

es

en

Se dice que y satisface la ecuación diferencial. El intervalo puede ser intervalo abierto, b), cerrado, b], infinito, etcétera. Para nuestros fines, también supondremos que una solución es una función de valores reales.

Comprobación de una solución

Comprobar que y =

en el intervalo

6 es una solución de la ecuación no lineal

CO).

SOLUCIÓN

Un modo de comprobar que la función dada es una solución es escribir la ecuación diferencial en la forma = 0, y ver, de sustituir, si la suma es cero para toda en el intervalo. Con, dyldx

vemos que

0

4

para todo numero real. Obsérvese que negativa de 6.

16

=

4

es, por definición, la raíz cuadrada

Comprobación de una solución

La función y =

es

solución de la ecuación

4

lineal

Se c c ió n 1 .l De finic io ne s y

Para demostrarlo, sustituimos

en el intervalo

=

y

=

+

Vemos que +

,

+

+

para todo número real.

n

No toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene, necesariamente, una solución. Para resolver el problema 5 1 de los ejercicios 1.1, el lector debe meditar en lo anterior. Al estudiar cálculo uno se familiariza con los términos funciones explícitas e implícitas. Como algunos métodos de solución de ecuaciones diferenciales pueden llevar directamente a estas dos formas, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en soluciones explícitas o implícitas. Una solución en que la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explícita. Para nuestros fines, podemos decir que una solución explícita es una fórmula explícita y que podemos manipular, evaluar y diferenciar. En la descripción inicial vimos que y = es una solución explícita de En los ejemplos 1 y 2, y = y y = son soluciones explícitas de = y y” + y = 0, respectivamente. Obsérvese que, en los ejemplos 1 y 2, cada ecuación diferencial tiene la solución constante y Una solución explícita de una ecuación diferencial, que es idéntica a cero en 0, un intervalo se llama solución trivial. Una relación y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación en un intervalo siempre y cuando exista al menos una función que satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en En otras palabras, y) = 0 define implícitamente a la función

Soluciones explícitas e implícitas

Comprobación de una solución implícita

La relación

+

4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial

en el intervalo -2

2. Derivando implícitamente obtenemos d dx

Al despejar el símbolo de la última ecuación se obtiene la ecuación (3). Además, el lector debe comprobar que las funciones = = satisfacen la relación (en otras palabras, que 4= 0y 4 = 0) y son soluciones de la ecuación diferencial en -2 ‘Toda relación de la forma c 0 satisface formalmente la ecuación (3) para constante c; sin embargo, se sobreentiende que la relación siempre debe tener sentido

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1 INTRO DUC CIÓN A LA S ECUAC IO NES DIFERENC IA LES

en el sistema de los números reales. Así, por ejemplo, no podemos decir que + 4 0 sea una solución implícita de la ecuación. qué no?) Debe quedar intuitivamente clara la distinción entre una solución explicita y una implícita, porque en lo sucesivo ya no haremos la aclaración “es una solución explicita (o

Más terminología

El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del cálculo integral. A veces, a una solución se le llama integral de la ecuación y a su gráfica, integral o de solución. En cálculo, al evaluar una antiderivada o una integral indefinida empleamos una sola constante c de integración. En forma parecida, al resolver una ecuación y’) 0, por lo general obtenemos una solución con una sola diferencial de primer orden, constante arbitraria, o parámetro Una solución con una constante arbitraria representa un conjunto c) = de soluciones y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden y’, . , = 0, se busca una familia , . . , c,) 0. Esto sólo quiere decir que una sola n-paramétrica de soluciones ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros. solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, demostrar que, por directa, toda función de la familia = también satisface la ecuación (1). La solución original y = corresponde a c por consiguiente, es una solución particular de la ecuación. La figura 1.1 muestra algunas de las curvas integrales de esta familia. La solución trivial y = 0, que corresponde a c = 0, también es una solución particular de la ecuación

FIG U RA 1 . 1

Soluciones

particulares

La función y = + es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación lineal de segundo orden y” y = 0. Algunas de las soluciones particulares 0 (cuando En todos los ejemplos anteriores hemos usado y y para representar las variables independiente y dependiente, respectivamente. Pero en la práctica, esas dos variables se

1.1 De finic ione s

mediante muchos símbolos distintos. Por ejemplo, podríamos representar con la variable independiente y con la variable dependiente. Uso de distintos símbolos Las funciones = 4t y x = sen soluciones de la ecuación diferencial

donde y

son constantes arbitrarias, son

Para = las primeras dos derivadas con respecto a son -16 4t. Al sustituir y se obtiene, = Análogamente, para x =

sen

4t +

vemos que

=

sen 4t +

sen

y

4t) = 0.

sen

y así

sen 4t)

0.

Por último, es fácil comprobar que la combinación lineal de soluciones sea, la familia n biparamétrica x = 4t + sen es una solución de la ecuación dada. En el próximo ejemplo mostraremos que una solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida por tramos. Solución

definida

por

tramos

El lector debe comprobar que toda función de la familia monoparamétrica solución de la ecuación diferencial xy’ = 0 en el intervalo -Fig. función definida por tramos

es una La

es una solución particular de la ecuación, pero no se puede obtener a partir de la familia y n = escogiendo sólo una c (Fig. En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa se so luc ió n sing ula r.

So luc ió n sing ula r

En la sección 2.1 demostraremos que y = + proporciona una familia de soluciones dey’ Cuando c = 0, la solución particular que resulta es y 6. En este caso, la solución trivial y 0 es una solución singular de la porque no se n puede obtener partiendo de la familia y eligiendo algún valor del parámetro c.

8

1 INTRO DUC CIÓN A LA S ECUAC IO NES DIFERENC IA LES

Y

X

c=-1

FIG URA 1.2

Solución general Si solución de una ecuación de orden y’, = 0, en un intervalo se puede obtener partiendo de una familia n-paramétrica . . 0 con valores adecuados de los parámetros = . . n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Al resolver las ecuaciones diferenciales lineales vamos a imponer restricciones relativamente sencillas a los coeficientes de esas ecuaciones. Con estas restricciones siempre nos aseguraremos no sólo de que exista una solución en un intervalo, sino también de que una familia de soluciones contenga todas las soluciones posibles. Las ecuaciones no lineales, a excepción de algunas de primer orden, son difíciles de resolver -e incluso resultan irresolubles-, en términos de las funciones elementales comunes (combinaciones finitas de potencias o raíces enteras de de funciones exponenciales y logarítmicas, o funciones trigonométricas o trigonométricas inversas). Además, si en cierto momento nos encontramos con una familia de soluciones de una ecuación no lineal, no es obvio cuando la familia es una solución general. Por lo anterior, y en un nivel práctico, el nombre “solución general” sólo se aplica a las ecuaciones diferenciales lineales. Sistemas de ecuaciones diferenciales Hasta ahora hemos descrito ecuaciones diferenciales aisladas con una función desconocida; pero muchas veces, en teoría y en muchas aplicaciones, debemos manejar sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es un conjunto de dos o más ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente; por ejemplo, si x y representan variables dependientes y es la variable independiente, el conjunto siguiente es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

Se c c ió n 1

De finic io ne s

te rmino lo g ía

Una solución de un sistema como el anterior es un par de funciones que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común

y

Es ne c e sa rio e xp o ne r a lg uno s c o nc e p to s fina le s a c e rc a d e la s so luc io ne s im p líc ita s d e la s e c ua c io ne s d ife re nc ia le s. A m e no s q ue se a im p o rta nte o a d e c ua d o , p o r lo g e ne ra l no e s ne c e sa rio tra ta r d e y d e una so luc ió n im p líc ita , y ) = 0, p a ra q ue a p a re zc a una fo rma

e xp líc ita

e n té rm ino s d e

En e l e je mplo

0, e n té rm ino s d e d e la e c u a c ió n d if e re n c ia l Una

so luc ió n im p líc ita ,

y)

po d e mo s de spe ja r fá c ilme nte y de

la re la c ió n

p a ra lle g a r a la s d o s so luc io ne s, = = p e ro n o d e b e m o s e n g a ñ a rn o s c o n e st e ú n ic o e je m p lo . = = 0, p ue d e

d e finir una

func ió n

pe rfe c ta m e nte

d ife re nc ia b le

que

se a una so luc ió n d e una e c ua c ió n d ife re nc ia l; p e ro inc luso a sí re sulte imp o sib le d e sp e ja r e n y ) = 0 c o n m é to d o s a na lític o s c o m o lo s a lg e b ra ic o s. En la se c c ió n 2.2 v e re m o s q ue

sen

+

+ c = 0 e s una so luc ió n im p líc ita d e una e c ua c ió n d ife re nc ia l d e p rim e r o rd e n. La

t a re a d e d e sp e ja r y d e e st a e c u a c ió n , e n té rm in o s d e

de m a nip ula r sím b o lo s,

p re se n t a m á s p ro b le m a s q u e e l te d io

ya q ue no e s p o sib le .

En los problemas 1 a 10, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal. Indique el orden de cada ecuación.

3.

+ 2y = 1 + dy + (y

=

9.

2

+

(1

dy = 0

En los problemas ll a 40, compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. En algunos casos, suponga un intervalo adecuado de validez de la solución. Cuando aparecen, los símbolos y indican constantes.

=

13.

= 17. y’

y=

+

14.

+

y= y =

y=

+

= 24; y =

1

A LA S ECUA C IO NES DIFERENCIALES

18.

+

+ 2y)

+

= 0;

=

20.

19. 21. y = 22. y’ =

+

=

= y; y =

1

+

y =

23. 1 25.

= (2

X);

26. 27. 28. 29.

= +

+

+

+ y’

= 0; y = = 0; y =

+

+

xy) dy = 0;

=

+

30. + senh x 31. y” = y; y = 32. y” + = 0; y = 33. y” ( y = 0; y = + + 34. + y = tan y= ln(sec 35. 36. 37. 38. y 39.

+

= 0; xy’ + + +

y=

tan x) 0

= 0; y = cos(ln x), 0 = 0; y = + 0 = 0; y = sen +

+

40. En los problemas 41 y 42, compruebe que la función definida por tramos sea una solución de la ecuación diferencial dada. 41. 0 , 42. 43. Una familia monoparamétrica de soluciones dey’ = 1 =

1 es

1.1 De finic ione s y te rm ino lo g ía

44.

Determine por inspección una solución singular de esa ecuación diferencial. = son soluciones de intervalo Explique por

11

en el

no es una solución de esa ecuación diferencial en el intervalo. En los problemas 45 y 46, determine valores de m ecuación diferencial respectiva. 45. y”

+

= 0

46. y” +

que y = +

En los problemas 47 y 48, determine los valores de m ecuación diferencial respectiva. 47.

= 0

que y +

y = 0

sea una solución de la

sea una solución de la

= 0

En los problemas 49 y 50 compruebe que cada par de funciones sea una solución del sistema respectivo de ecuaciones diferenciales. 4 9

dt =

+ 3y; +

50.

=

=

+

2t

sen 2t +

1

y =

2t -sen 2t

1

Pro b le m a s p a ra d isc usió n

51. a) Forme, cuando menos, dos ecuaciones diferenciales que no tengan soluciones reales. b) Forme una ecuación diferencial cuya solución real única sea y = 0. 52. Suponga que y = es una solución de una ecuación diferencial de orden 0, en un intervalo Explique por qué . . deben ser continuas en I. 53. Suponga que y = es una solución de una ecuación diferencial donde y son constantes positivas. Determine por inspección dos soluciones constantes de la ecuación. b) Use sólo la ecuación diferencial para determinar en el eje y intervalos en que una solución y = no constante sea decreciente y los intervalos en que y = sea creciente.

1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

12

c) Use sólo la ecuación diferencial, explique por qué y = es la ordenada de un punto de inflexión de la gráfica para la solución y = no constante. d) En los mismos ejes coordenados trace las gráficas de las dos soluciones con...