Capítulo 16 - exercicios resolvidos do livro halliday PDF

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exercicios resolvidos do livro halliday ...

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C apítulo 16 1. Seja y1 = 2,0 mm (correspondente ao instante t1) e seja y2 = –2,0 mm (correspondente ao instante t2). Temos kx + 600t1 + f = sen-1(2,0/6,0) e kx + 600t2 + f = sen-1 (–2,0/6,0). Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos 600(t1 – t2) = sen-1(2,0/6,0) – sen-1(–2,0/6,0), o que nos dá t1 – t2 = 0,011 s = 1,1 ms. 2. (a) Como a velocidade de uma onda é a distância percorrida dividida pelo tempo necessário para percorrê-la, temos v

853 assentos 39 s

 21,87 assentos/s  22 assentos/s.

(b) Como a largura L é igual à distância percorrida pela onda durante o tempo médio que o um espectador leva para se levantar e voltar a se sentar, temos L  vt  (21,87 assentos/s)(1,8 s)  39 assentos. 2 2  3,49m 1. 3. (a) O número de onda é k     1,80 m (b) A velocidade da onda é v   f 

1,80 m110 rad s  2

 31,5m s. 2  4. A distância d entre o besouro e o escorpião está relacionada à velocidade transversal vt e à velocidade longitudinal v através das equações



d  vttt e d  vt nas quais tt e t são os instantes de chegada da onda transversal e da onda longitudinal, respectivamente. Para vt = 50 m/s e v = 150 m/s, temos tt  v 150 m/s   3,0 . t vt 50 m/s Assim, se t  tt  t 3,0t t   2,0t  4,0 103 s 

t 2,0 103 s,

Então d  vt  (150 m/s)(2,0103 s)  0,30 m  30 cm. 5. (a) A distância entre o ponto de deslocamento máximo e o ponto de deslocamento zero corresponde a um quarto de ciclo. Se um quarto do período é 0,170 s, o período é T = 4(0,170 s) = 0,680 s. (b) A frequência é o recíproco do período: f 

1 1, 47 Hz.  T 0,680s 1

MAT E RI A L S U P LE ME N TA R PA RA ACOM PA N H A R

(c) Como uma onda senoidal percorre uma distância igual a um comprimento de onda em um intervalo de tempo igual a um período, 1,40m v   2,06 m s. T 0,680s 6. A inclinação mostrada no gráfico da Fig. 16-30 é a inclinação real da corda (que não deve ser confundida com a “inclinação” abstrata da curva que representa a posição de um ponto da corda em função do tempo; a inclinação real é a derivada em relação a x, enquanto a outra “inclinação” é a derivada em relação a t). Assim, quando o gráfico mostra uma inclinação máxima (adimen- sional) de 0,2, está se referindo ao máximo da seguinte função: dy dx



d

 y sen(kx   t)  y k cos(kx  t). m dx 

O problema informa ainda que a inclinação foi medida no instante t = 0, mas esse dado não é necessário para resolver o problema. O máximo da expressão anterior é ymk, em que 2 2 15,7 rad/m. k   0,40 m Assim, como sabemos que o produto ymk é igual a 0,2, temos 0, 2  0,0127 m 1,3 cm. y  m 15,7 rad/m 7. (a) De acordo com as equações do MHS, um = ymw; portanto,

Como f = 2p/w, f = 64 Hz. (b) Como l = v/f, l = (80 m/s)/(64 Hz) = 1,26 m  1,3 m. (c) A amplitude do deslocamento transversal é ym = 4,0 cm = 4,0  102 m. (d) O número de onda é k = 2p/l = 5,0 rad/m. (e) Como foi visto no item (a), a frequência angular é 400 rad/s = 4,0  102 rad/s. (f) A equação que descreve a onda pode ser escrita na forma

em que a distância está em metros e o tempo está em segundos. A constante de fase f deve satisfazer a condição de que, no ponto x = 0, y = 0,040 no instante t = 0. Para isso, devemos ter sen f = 1 e, portanto, f = p/2, o que nos dá

(g) O sinal que precede w é negativo. 8. Fazendo x = 0 na equação u = –w ym cos(k x – wt + f) (veja a Eq. 16-21 ou a Eq. 16-28), temos u = –w ym cos(–w t+f), que é a função plotada no gráfico da Fig. 16-31. Note que a função apresenta uma inclinação (ou seja, uma derivada) positiva no ponto t = 0: du dt

d    y mcost     y 2 sen( t    0  dt 

em t = 0. Isso significa que –sen f > 0 e, portanto, que f está no terceiro ou no quarto quadrante. De acordo com o gráfico, u = 4 m/s para t = 0 e umáx = 5 m/s. Sabemos que umáx = ym w. Assim, u =  umáx cos( w t + f)|t = 0  f = cos-1  =  0,6435 rad. Como f deve estar no terceiro ou no quarto quadrante, a solução correta é f = 0,64 rad, que corresponde a um ângulo de aproximadamente 37° e, portanto, está no quarto quadrante. A outra solução, f = +0,64 rad, corresponde a um ângulo de apro- ximadamente +37 oe está no primeiro quadrante. 9. (a) Como a amplitude ym é metade do deslocamento total de 6,00 mm mostrado no gráfico da Fig. 16-32, ym = 3,0 mm. (b) Como, de acordo com o gráfico, o comprimento de onda é l = 0,40 m, 2 k    16 rad/m.



(c) Uma vez que, de acordo com o gráfico, a velocidade da onda é v = d/t = (0,060 m)/(0,0040 s), a frequência angular é w = k v = (16 rad/m)(15 m/s) = 2,4 × 102 rad/s. (d) O sinal que precede w é o sinal negativo, já que a onda está se propagando para a direita (no sentido positivo do eixo x; veja a Seção 16-5). Assim, em unidades do SI, a equação da onda é y = ym sen(kx  wt)  0,0030 sen(16 x  2,4  102t) . 10. (a) A amplitude é y m = 6,0 cm. (b) l = 2p/0,020p = 1,0  102 cm. (c) f = w/2p = 4,0p/2p = 2,0 Hz. (d) v = lf = (1,0  102 cm)(2,0 Hz) = 2,0 × 102 cm/s. (e) A onda está se propagando no sentido negativo do eixo x, já que o argumento da função trigonométrica é da forma kx + wt e não da forma kx – wt, como na Eq. 16-2. (f) u máx = ym w = 6,0  4,0p = 75 cm/s (g) y(3,5 cm, 0,26 s) = (6,0 cm) sen[0,020p (3,5) + 4,0p (0,26)] = –2,0 cm. 11. De acordo com a Eq. 16-10, a expressão geral de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo x é y(x,t)  ym sen(kx t  ). (a) Como se pode ver na Fig. 16-33, a função y(0,t)  y m sen(t  ) é uma função seno positiva, ou seja, y(0, t)   ym sen t. Isso significa que a constante de fase é f = p; portanto, y(x,0) 

ym sen(kx  )   ym sen kx,

que é uma função seno negativa. O gráfico de y(x, 0) é mostrado na figura ao lado (b) Como se pode ver na figura, a amplitude é ym = 4,0 cm. (c) O número de onda é k = 2p/l = p /10 = 0,31 rad/cm. (d) A frequência angular é w = 2p/T = p/5 = 0,63 rad/s. (e) Como foi visto no item (a), a constante de fase é f = p.

(f) O sinal que precede w é o sinal negativo, já que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x. (g) Uma vez que a frequência da onda é f = 1/T = 0,10 s, a velo cidade da onda é v = fl = 2,0 cm/s. (h) De acordo com os resultados anteriores, a onda pode ser descrita pela equação  x  t  .   x t    4,0sen  y(x,t)  4,0sen   10 5   10 5     Derivando y em relação a t, obtemos u(x,t) 

x t    4,0  cos       t 10 5    

y



que nos dá u(0, 5,0) = –2,5 cm/s. 12. Derivando a equação dada em relação ao tempo, obtemos u = du/dt = 225p sen (px  15pt) . Elevando ambos os membros ao quadrado e somando a ambos os membros o quadrado de 15 py, obtemos u 2 + (15py)2 = (225p )2 [sen2 (px  15p t) + cos 2 (px  15p t)], o que nos dá u  (225 )2 (15 y)2

152  y2 .

15 Assim, para y = 12, u =  135p e a velocidade escalar de um ponto da corda é 135p = 424 cm/s = 4,24 m/s. 1 3 . O comprimento de onda é l = v/f = 350/500 = 0,700 m = 700 mm e o período é T = 1/f = 1/500 = 2,00  10–3 s = 2,00 ms. (a) Como 2p radianos correspondem a um comprimento de onda, p/3 rad correspondem a l/6. A distância pedida é, portanto, l/6 = 700/6 = 117 mm. (b) Como um intervalo de 1,00 ms corresponde a meio período, e um período corresponde a uma diferença de fase de 2p radianos, a diferença de fase é (1/2)2p = p rad. 14 . (a) Comparando a equação dada com a Eq. 16-2, vemos que k = 20/m e w = 600/s. Assim, de acordo com a Eq. 16-13, a ve- locidade da onda é v = w/k = 30 m/s. (b) De acordo com a Eq. 16-26,



 v2

15.



15 302

 0,017 kg m 17 g m.

PENSEMuitas propriedades físicas de uma onda progressiva podem ser determinadas a partir da função de onda.

FORMULEDe acordo com a Eq. 16-10, uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo x pode ser descrita pela expressão

em que y m é a amplitude, k = 2p/l é o número de onda e f é a constante de fase. A velocidade da onda é dada por v

que t é a força de tração a que a corda está submetida e m é a massa específica linear da corda. ANALI SE(a) A amplitude da onda é ym = 0,120 mm. (b) O comprimento de onda é l = v/f =  / /f e o número de onda é

 /  , em

(c) A frequência angular é (d) Podemos usar o deslocamento da corda na forma y = ym sen(kx + wt). O sinal que precede w é positivo porque a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x. APRENDADe acordo com os resultados anteriores, o deslocamento da corda pode ser expresso pela seguinte equação:

16. Como v 

 /



 , temos

v

2

 

2

180 m/s 2

 120 N    135N. 170 m/s

2

1

 v 



17. (a) A velocidade da onda é dada por v = l/T = w/k, em que l é o comprimento de onda, T é o período, w é a frequência angula r (2p/T) e k é o número de onda (2p/l). Com o o desloca mento é da forma y = ym sen(kx + wt), k = 2,0 m –1 e w = 30 rad/s. Assim, v = (30 rad/s)/(2,0 m–1) = 15 m/s. (b) Como a velocidade da onda é dada por v  a tração é

 /  , em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda,

   v 2   1,6 10 4 kg m 15m s  0,036 N. 2

18. O volume de um cilindro de altura  é V = pr2 = pd2/4. As cordas são cilindros longos e estreitos, um de diâmetro d1 e outro de diâmetro d2 (as massas específicas lineares correspondentes são m1 e m2). Uma vez que a massa é igual à massa específica (volu- métrica) multiplicada pelo volume (m = rV), a massa específica linear pode ser escrita na forma 2 2   m  d /4   d 4  

e a razão das massas específicas das duas cordas é



 d 2  d 2 4 1   1  . 1    d 2 4  d  2 2 2

Assim, a razão dos diâmetros é d1

 1 2

3,0  3, 2. 0, 29

 d2 19. PENSEA velocidade de uma onda transversal em uma corda depende apenas da tração a que a corda está submetida e da massa específica linear da corda. FORMULEA velocidade da onda é dada por v   /  , em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda, definida como massa por unidade de comprimento da corda: m = m/L. ANALI SEPara uma massa específica linear a velocidade da onda é

APRENDAComo v ~ 1/  , quanto mais grossa é a corda (o que resulta em um maior valor de m), menor é a velocidade da onda. 20. Como v 

  , temos

vnova   nova nova  2. vantiga  antigaantiga

21. Os pulsos têm a mesma velocidade v. Suponha que um dos pulsos parte da extremidade esquerda do fio no instante t = 0. A coordenada do pulso no instante t é x1 = vt. O outro pulso parte da extremidade esquerda, situada no ponto x = L, sendo L o com- primento do fio, no instante t = 30 ms. Se esse tempo for chamado de t0, a coordenada do pulso no instante t é x2 = L – v(t – t0). No instante em que os pulsos se encontram, x1 = x2, o que significa que vt = L – v(t – t0). Assim, o instante em que os pulsos se encon- tram é dado por t = (L + vt0)/2v, e a coordenada do ponto de encontro é x = vt = (L + vt0)/2. A velocidade dos pulsos é dada por v  L m (250 N)(10,0 m) 158m/s. 0,100 kg A coordenada do ponto em que os pulsos se encontram é, portanto, 10,0 m  (158m/s) (30,0103s)  7,37 m. x  2 Essa é a distância da extremidade esquerda do fio. A distância da extremidade direita é L – x = (10,0 m – 7,37 m) = 2,63 m. 22.

(a) A expressão geral de uma onda progressiva senoidal é y (x, t) = ym sen(kx  wt),

que, para x = 10 cm, se torna y (10, t) = ym sen[k(10  wt)]. Comparando com a expressão dada, vemos que w = 4,0 rad/s e f = w/2 p = 0,64 Hz. (b) Como k  10 = 1,0, o número de onda é k = 0,10 cm1 e l = 2 p/k = 63 cm. (c) A amplitude é ym = 5,0 cm. (d) Como foi visto no item (b), k = 0,10 cm1. (e) Como foi visto no item (a), w = 4,0 rad/s. (f) O sinal que precede w é o sinal negativo. (g) Como

a tensão da corda é 2 1 2     (4,0 g/cm) (4,0 s )

k2



(0,10 cm1 )2



2

 6400 g cm/s

 0,064 N.

23. PENSEVárias propriedades de uma onda senoidal podem ser determinadas a partir de um gráfico do deslocamento em função da posição. FORMULEPara analisar as propriedades da onda, devemos nos lembrar de que, de acordo com a Eq. 16-10, uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo x pode ser descrita pela equação

em que y m é a amplitude, k = 2p/l é o número de onda, w = 2 p/T é a fr equênci a angu la r e f é a constante de fase . A velocidade da onda é dada por v   /  , em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda.

ANALI SE(a) A amplitude pode ser diretamente do gráfico; ym  5,0 cm.

(b) O comprimento de onda pode ser lido no gráfico. Como a curva intercepta o eixo x no ponto x  15 cm e volta a interceptálo, com a inclinação oposta, no ponto x  35 cm, l  2(35  15) = 40 cm. (c) A velocidade da onda é

(d) A frequência da onda é f = v/l = (12 m/s)/(0,40 m) = 30 Hz, e o período é (e) A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda é (f) O número de ond a é k = 2 p/l = 2p/(0,40 m) = 16 m –1. (g) A frequência angular é w = 2pf = 2p(30 Hz) = 1,9×102 rad/s. (h) De acordo com o gráfico, no instante t = 0, o deslocamento no ponto x = 0 é 4,0  10–2 m. De acordo com a função de onda, y (0, 0) = y m sen f. Assim, o valo r de f deve s er tal que A equação anterior tem duas soluções: 0,93 e 2,21 rad. Para o primeiro valor, a curva tem uma inclinação positiva em x = 0; para o segundo valor, a curva tem uma inclinação negativa. Como no gráfico da Fig. 16-35 a curva tem uma inclinação positiva em x = 0, optamos pelo primeiro valor, f = 0,93 rad. (i) A equação que descreve o deslocamento da corda é da forma y(x, t) = y m sen(kx + wt + f). Como a onda está se movendo no sentido negativo do eixo x, o sinal que precede w é positivo. APRENDADe acordo com os resultados anteriores, o deslocamento da corda pode ser descrito pela seguinte equação:

24. (a) Como a tensão de cada corda é dada por t = Mg/2, a velocidade da onda na corda 1 é

 (500g) (9,80 m/s2)  28,6 m/s. v1    Mg  2(3,00g/m) 21 1 (b) A tensão na corda 2 é (500g) (9,80 m/s2) v2  Mg   22,1m/s. 2(5,00g/m) 22 (c) Vamos fazer v1  M1g / (21 )  v2 M 2 g / (22 ) e M1 + M2 = M. Explicitando M1, temos 500 g M 187,5 g 188 g.  M  1 1 5,00/3,00 / 1  2  1 (d) M2 = M – M1 = (500 g – 187,5 g)  313 g. 25. (a) A velocidade da onda em qualquer ponto da corda é dada por v    , em que t é a tração nesse ponto e m é a massa específica linear da corda. Como a corda está pendurada, a tensão vai de ponto para ponto. Considere um ponto da corda a uma distância y da extremidade inferior. As forças a que esse ponto está submetido são o peso do trecho da corda que está abaixo do ponto, que aponta para baixo, e a tensão da corda, que aponta para cima. Como a corda está em equilíbrio, as duas forças são iguais em módulo. Como o peso do trecho da corda abaixo do ponto é mgy, a tração é t = mgy e, portanto, a velocidade da ondaégy/ v   gy.

(b) Como o tempo dt que a onda leva para percorrer uma distância dy, situada a uma distância y da extremidade inferior da corda, é dt  dy v  dy gy , o tempo que a onda leva para percorrer toda a corda é L L L dy gy  2 y g  2 . t 0

26.

0

g

De acordo com as Eqs. 16-26 e 16-33, temos 1 f 2 y 2Pméd m  m/L

2(85,0 W)  1 3  2 (7,70 10 m)

(36,0 N)(0,260 kg/2,70 m)  198 Hz.

27. Como se pode observar nos gráficos da Fig. 16-36, a frequência da onda é f = 1/(2 ms) = 500 Hz, e o comprimento de onda é l = 0,20 m. Os gráficos também mostram que o valor máximo de dK/dt é 10 W. Igualando este valor ao valor máximo de dK/dt na Eq. 16-30 [que é obtido fazendo cos 2(kx  wt) = 1], temos, em unidades do SI, mvw 2y m 2/2 = 10. Explicitando y m e fazendo w = 2p f e v = fl , o btemos ym 10 2 2 f 3 0,0032 m. 28. Comparando y (x ,t) (3,00 mm)sen[(4,00 m 1)x  (7,00 s1)t] com a expressão geral y (x ,t) m y sen(kx  t), vemos que k = 4,00 m1 e w = 7,00 rad/s. A velocidade da onda é v   / k  (7,00 rad/s)/(4,00 m1) 1,75 m/s. 29. A onda y (x ,t)  (2,00 mm)[(20 m1)x  (4,0 s1)t]1/2 é da forma h(kx  t) com número de onda k = 20 m1 e frequência angular w = 4,0 rad/s. Assim, a velocidade da onda é v /k (4,0 rad/s)/(20 m1)  0, 20 m/s. 30. A onda y (x ,t)  (4,00 mm) h[(30 m1)x  (6,0 s1)t] é da forma h(kx  t) com número de onda k = 30 m1 e frequência angular w = 6,0 rad/s. Assim, a velocidade da onda é v  /k  (6,0 rad/s)/(30 m1)  0, 20 m/s. 31.

PENSEDe acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é a soma algébrica das duas ondas.

FORMULEO deslocamento da corda é dado por

em que usamos a identidade trigonométrica

ANALI SEComo a diferença de fase entre as duas ondas é f = p/2, a amplitude da onda resultante é APRENDAA interferência de duas ondas pode ser construtiva ou destrutiva, dependendo da diferença de fase. 32. 

2 ym

(a) Seja f a diferença de fase. De acordo com a Eq. 16-52, 2ym cos(f/2) = 1,50ym , o que nos dá 

  2cos1

 1,50 ym  



 82,8.

(b) Convertendo para radianos, obtemos f = 1,45 rad. (c) Em termos de comprimentos de onda (um comprimento de onda corresponde a 2 p rad), essa diferença de fase equivale a 1,45 rad/2p = 0,230l. 33. (a) De acordo com o enunciado do problema, a amplitude da segunda onda é ym = 9,00 mm. (b) De acordo com a Fig. 16-37, l = 40 cm = 0,40 m, o que significa que o número de onda é k = 2p/0,40 = 16 m1. (c) De acordo com o enunciado, a velocidade da onda é v = d/t = (56,0 cm)/(8,0 ms) = 70 m/s. Assim, usando o valor de k calcu- lado no item anterior, w = kv =1100 rad/s = 1,1103 rad/s. (d) Como é dito no enunciado, a Fig. 16-37 mostra a onda resultante de duas ondas progressivas de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda, que se propagam no mesmo sentido. Na figura, a amplitude da onda resultante é ym  4,00 mm. Assim, de acordo com a Eq. 16-52, y'm = 2y m cos(f2 /2)  f2 = 2cos1 (2,00/9,00) = 2,69 rad  2,7 rad. (e) Como as ondas estão se propagando no sentido negativo do eixo x, o sinal que precede w é o sinal positivo. Para resumir, as equações das duas ondas, em unidades do SI, são y1 = (0,00900) sen(16x + 1100t) e y2 = (0,00900) sen(16x + 1100t + 2,7). 34. (a) De acordo com as Eqs. 16-26 e 16-33, Pméd = mvw2ym 2/2 = 10 W. (b) Como as ondas se propagam em cordas separadas, não há interferência, e a potência é duas vezes maior que do item (a): P = 20 W. (c) Quando as ondas se propagam na mesma corda, existe interferência. Se a diferença de fase é 0, a interferência é totalmente construtiva (como na Fig. 16-13a), a amplitude da onda resultante é o dobro da amplitude de uma das ondas, e a potência é quatro vezes maior. Assim, P = 40 W. (d) Se a diferença de fase é 0,4 p rad, a amplitude da onda resultante, de acordo com a Eq. 16-52, é 2 ymcos(0,2p) = 1,618 ym. Isso significa que a potência é (1,618)2 = 2,618 vezes maior. Neste caso, portanto, P = 26 W. (e) Se a diferença de fase é p, a interferência é totalmente destrutiva, como na Fig. 16-13b, e P = 0. 35. PENSEPodemos usar fasores para somar as duas ondas e calcular a amplitude da onda resultante. FORMULEA figura a seguir mostra um diagrama fasorial em que y1m e y2m representam as ondas originais, e ym representa a onda resultante. Como os fasores que representam as ondas originais são perpendiculares, o triângulo mostrado na figura é um triângulo retângulo.

ANA...