Exercicios Cap 2 - Exercícios Resolvidos Cap 2 do Livro do Airton Ramos PDF

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Exercícios Resolvidos Cap 2 do Livro do Airton Ramos...

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Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 Exercícios do Capítulo 2 1) Mostre que a inclusão da corrente de deslocamento na lei de Ampere é compatível com o princípio da continuidade e com a lei de Gauss para o campo elétrico. A lei de ampere incluindo a corrente de deslocamento proposta por Maxwell pode ser escrita na seguinte forma no vácuo:

 B   o j c +  o o

E t

(1)

Apliquemos o operador divergente em todos os termos desta equação. No lado esquerdo, o resultado é nulo uma vez que para qualquer campo vetorial é sempre válido que B=0. Então, do lado direito, obtemos:

  j c = o

   E  t

(2)

Onde aplicamos a comutação entre os operadores () e (/t). Agora, substituindo o divergente do campo elétrico de acordo com a lei de Gauss, E=v/o, obtemos:

v (3) t Que é a equação da continuidade. Isso mostra que a inclusão da corrente de deslocamento na lei de Ampere compatibiliza esta lei com a equação da continuidade e lei de Gauss.  jc = 

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 2) Considere um fio condutor de seção circular com raio a no qual circula corrente elétrica com densidade j(,z,t) = jo e/ sen(t-z) uz a partir de t = 0, onde ,  e  são constantes. Calcule a densidade de carga elétrica no condutor. Calcule a carga elétrica total armazenada no comprimento L do condutor. A equação da continuidade relaciona o divergente da densidade de corrente com a taxa de variação da densidade volumétrica de carga. Uma vez que a densidade de corrente tem componente apenas na direção z ao longo do fio, seu divergente envolve apenas a derivada nessa direção. Temos, então:

 v     jo e/  sen(t   z)   jo e/ cos(t  z) t z

(4)

Obteremos a densidade de carga a partir da integração no tempo da equação acima: t

 v  t   joe/   cos( t   z) dt  v  0  0

j t  o e/   sen( t   z)0  v  0  j  o e/ sen( t   z) 

(5)

Uma vez que o problema especifica uma distribuição de corrente em regime permanente sem definir as condições iniciais para a densidade de carga, estamos assumindo condições iniciais que simplificam a resposta:

v  0  

jo   / e sen(z) 

(6)

A carga acumulada no comprimento L do condutor é obtida a partir da integração volumétrica da densidade de carga. L a

Q  L, t     v 2 d dz  0 0

  a  /  2jo  L sen( t z)dz        e  d   0  0 

a 2jo   cos(t  z)  L0     e /  0  2jo    cos(t  L)  cos( t)  a  e a /    



(7)

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3) Considere a Figura abaixo na qual existe um interstício no condutor mas, circula uma corrente elétrica permanente dada por ic(t)=Io sen(t). Considere puntiformes as extremidades do fio no interstício e calcule a densidade de corrente de deslocamento no plano transversal tracejado da figura e demonstre que o fluxo elétrico garante a continuidade.

Figura 1 Nas extremidades dos condutores ocorre a acumulação de carga elétrica e, de acordo com a definição de corrente elétrica, a taxa de acumulação de carga é igual a corrente elétrica nos condutores:

dq1 dq   2  ic (t) dt dt

(8)

As cargas elétricas acumuladas são iguais em módulo, mas têm sinais contrários. Os campos gerados por essas cargas sobre o plano transversal mediano na Figura 1 se cancelam na direção paralela ao plano e se somam na direção perpendicular (direção x). Assim, o campo resultante sobre esse plano é obtida da seguinte forma:

   q1  q1 x /2   E( )  2  u ux cos 2  x  2  2  2 2 2   4 x / 2  4o r            x / 2  o  (9) q1 x  3/2 u x 2 4 o   2  x / 2     A densidade de corrente de deslocamento sobre o plano é então calculada a partir da taxa de variação da indução elétrica:

jd ()  o

dE( ) x dq1 x ic (t)  ux  ux 3/2 2 2 3/2 dt dt 4 2  x / 2  4 2  x / 2 

(10)

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Integrando a densidade de corrente de deslocamento sobre o plano transversal mediano obtemos a corrente total de deslocamento, que é igual a taxa de variação no tempo do fluxo elétrico total através do plano. 

I d   jd  d S   S



x i c(t) 2

0 



0

x ic (t) 2 4  2   x / 2     d

x / 2      2

2

3/2

2  d  (11)

3/2

 x i (t) 1  c  2 2     x / 2 2 



   i (t) c  0

Assim, verificamos que a corrente total de deslocamento através do ar é igual a corrente total de condução nos condutores. Com isso, a continuidade do circuito é garantida.

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4) Mostre que uma distribuição estática e localizada de carga elétrica produz potencial elétrico no espaço que pode ser descrito pela equação a seguir:. V r  

1 4 o

v r   dV r  r V



(12)

Consideremos inicialmente uma carga puntiforme q na origem do sistema de coordenadas. O campo elétrico criado por essa carga é esfericamente simétrico e facilmente calculado segundo a lei de Coulomb na seguinte forma: E  r 

qr

(13)

4 o r

3

O potencial elétrico em um ponto do espaço pode ser definido como o trabalho necessário para se deslocar, com velocidade constante, uma carga elétrica unitária do infinito até essa posição. Sabendo que a força resultante sobre a partícula de carga unitária deve ser nula, a força externa aplicada deve compensar a força elétrica, ou seja, deve ser Fext=-E. Assim, em termos do campo elétrico existente no espaço, esse cálculo pode ser realizado da seguinte forma: r

V(r)    E r  d r 



r q q  d r 3  4o r r 4 o



 r

dr q  2 r 4 o

  



1 q   r r 4 o r

(14)

Agora, o potencial elétrico de uma distribuição de partículas carregadas pode ser calculado como a soma das contribuições individuais de cada partícula. V (r) 

1 4 o

qn

 r r n

(15)

n

Onde rn é o vetor de posição da partícula de carga qn. Quando a quantidade de partículas é muito grande e estão fortemente concentradas no espaço, pode-se usar o conceito de distribuição contínua de cargas, substituindo qn por v dV e realizar uma integração no volume ocupado pela distribuição. V (r) 

1 4 o

 v  r dV  r  r V

(16)

Esta forma de cálculo de potencial elétrico é correta apenas para distribuições estáticas e localizadas de carga (cargas distribuídas em volumes finitos) e para posições do espaço externas ao volume ocupado pela distribuição.

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5) Considerando fontes estáticas, calcule o potencial elétrico associado ao campo elétrico e à condição de contorno indicada (k é uma constante): a) E  k

r , V  r   , ,   0 r3

k 2cos  ur  sen u  , V  r   , ,   0 3  r k c) E  u  , V   a, , z  Vo 

b) E 

(17)

d) E  k 1u x  k 2u y  k 3u z , V  x  0, y  0, z  0   0

Em todos os casos, o cálculo do potencial elétrico a partir do campo elétrico baseia-se na forma integral a seguir: r

V (r ) V (ro )   E  dL

(18)

ro

a) Substituindo o campo elétrico descrito em 17a e dL=dr com integração na direção radial e V(r=) =0: 



r

(19)

dr k r  1 V (r )  k  3  dr = k  2  k    r r r  r r  r

b) Substituindo o campo elétrico descrito em 17b e dL=dr com integração na direção radial e V(r=) =0: 

V (r)   r





k dr k cos  1 ur sen u   dr = 2k cos  3  k cos   2   3  2cos (20) r r2  r r r r

c) Substituindo o campo elétrico descrito em 17c e dL=d u com integração na direção radial e V(=a) =Vo:    a k d V ( )  Vo   u  d u  Vo  k   Vo  k ln      a a

(21)

d) Substituindo o campo elétrico descrito em 17d e dL=dx ux no intervalo de (0,0,0) a (x,0,0), dL=dy uy no intervalo de (x,0,0) a (x,y,0) e dL=dz uz no intervalo de (x,y,0) a (x,y,z) e V(0,0,0) =0: x, y,0

x,0,0

V (x, y, z)  



0,0,0

k1dx 



x,0,0

x, y,z

k 2dy 



k 3dz  k 1 x  k 2 y  k 3 z

x, y,0

(22)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 6) Mostre que a expressão abaixo para o potencial magnético provém da lei de Biot-Savart e satisfaz a equação de Poisson. A

o j  r  dV  4  V r r 

(23)

A indução magnética segundo a lei de Biot-Savart pode ser calculada pela seguinte expressão: B

 o j( r  r) dV 4 V r r  3

(24)

Sabendo que:  1   r  r 

 ( r  r)    3 r  r 

(25)

O integrando na equação (24) pode ser reescrito na seguinte forma: j (r r ) r r 

3

 1    r  r 

   j 

(26)

Podemos usar a seguinte fórmula vetorial para simplificar esta expressão: (27)  f F  f  F  f  F Onde f é uma função escalar e F é uma função vetorial. Aplicando esta fórmula e reconhecendo que j =0, uma vez que a densidade de corrente não é função de r e sim de r, obtemos:  j j  (r r )    3  r  r  r  r

  

(28)

Assim, a fórmula de Biot-Savart pode ser reescrita na seguinte forma:   j dV B    o   4  r  r  V  

(29)

Observe que o operador rotacional pode ser retirado do integrando uma vez que ele opera nas coordenadas de r e que a integral é realizada nas coordenadas de r. De acordo com definição de potencial magnético segundo a qual, B=A, deduzimos da equação anterior que o potencial pode ser calculado por:

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A

o j r  dV 4  V  r  r

(30)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 7) Considere que o campo elétrico no espaço seja descrito pela seguinte equação:

E  E o e zcos( t z) ux

(31)

Encontre a expressão do campo magnético. Usando a lei de Faraday e verificando que o campo elétrico tem componente apenas na direção x, teremos a seguinte equação diferencial a resolver para o campo magnético no vácuo:

1 1  E x  H E uy  x uz     E =   t o o  z y 

(32)

Contudo, o campo elétrico não depende da coordenada y, portanto o campo magnético tem componente apenas na direção y.

E  z H  o  e cos ( t   z ) uy t o  z  E   o  e z cos(t  z )  e zsen( t  z)  uy o

(33)

Efetuando agora a integração no tempo, obtemos: t t  Eo   z  z   uy   e cos t z e sen t z ( ) dt ( ) dt           0 0 o    z  z E  e e t  t sen( t   z) 0  cos (t   z ) 0  u y  H(0)  o     o   

H  H(0) 

 H(0) 

(34)

E o z e  sen ( t   z )  sen( z)    cos( t  z) cos ( z) u y  o

Uma vez que o problema especifica a distribuição em regime permanente de campo elétrico sem definir as condições iniciais, faremos uma escolha arbitrária que simplifica a resposta.

H(0) 

E o z e   cos(z)   sen( z) uy o

(35)

Com isso, o campo magnético resultante é dado por:

H

E o z e  sen ( t  z)  cos( t z) u y o

(36)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 8) Um disco metálico de raio R gira com velocidade angular  em torno do eixo z na presença de um campo magnético uniforme H=Ho uz. Calcule a força eletromotriz induzida entre o centro e a periferia do disco.

(a)

(b) Figura 2

Para este cálculo podemos imaginar que o disco é constituído de condutores idênticos com a forma de filamentos cônicos com ângulo muito pequeno (Figura 2b), de modo que dispostos lado a lado, preenchem completamente a superfície do disco. Cada filamento gira com velocidade angular  e por isso o ponto localizado na distância radial  se desloca com velocidade linear v=u. A força eletromotriz no disco pode ser calculada pela seguinte equação associada à lei de Faraday: R

R

1 U m   v  B  dL =  u  oH ou z  du  =  oH o d   oR 2H o 2 L 0 0

(37)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 9) Dois fios condutores de comprimento L estão dispostos paralelamente. Em um deles circula uma corrente elétrica constante Io. Se o segundo é movido radialmente para longe do primeiro com velocidade v, mantendo a orientação paralela, calcule a força eletromotriz induzida nesse fio.

Figura 3 Usaremos a expressão da indução magnética do fio reto obtida no livro.

B

  oI o  4   

 z  z1   z  z2   u    z  z1  2   2 z  z2 2   2 

(38)

A força eletromotriz no fio que se move pode ser calculada a partir da seguinte integração: z2

U m   v  B  dL =  vu  B u dz u z L

z1

z z2  z  z 2  dz vo Io  2  z  z 1  dz    4   z  z  z  2   2 z  z  z  2   2 1 1 2 1 z2 vo Io  2 2 2 2  z z z z        =  1  2  z1 4   v I  o o L2   2   2  =





   

(39)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 10) Considere a Figura abaixo na qual o campo magnético é gerado por uma corrente em um condutor retilíneo longo e uma espira quadrada encontra-se posicionada conforme indicado. Calcule a força eletromotriz induzida na bobina nas situações descritas a seguir: a) a corrente no fio varia no tempo segundo a equação i(t)=Io sen(t) e a bobina está parada; b) a corrente no fio é constante com valor Io e a bobina gira em torno do eixo indicado com velocidade angular  constante.

Figura 4 A situação descrita na Figura 4a é bastante simples, uma vez que a espira é estacionária. A indução magnética é facilmente obtida com o uso da lei de Ampere.

B

 oi (t) u 2 

(40)

O fluxo magnético na espira estacionária é calculado por meio da seguinte integração:

m =  B  dS  S



o bi (t) 2

o  a/2

oi (t) u   bdu  o  a/2 2 



o a/2

d  o bi (t)  o  a /2   ln     2  o  a /2  o a/2

(41)

A força eletromotriz é obtida por meio da lei de Faraday:

 b    a /2  d i(t) d m =  o ln  o  dt 2  o  a /2  dt  b Io    a /2  = o ln  o  cos   t  2  o  a /2  Um  

(42)

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016 Para o estudo do caso (b) da Figura 4, consideremos a Figura abaixo que mostra uma visão de cima para que possamos analisar a posição instantânea da espira em relação ao campo magnético estático.

Figura 5 A distância entre uma posição qualquer sobre espira e o fio é calculada a partir das projeções do vetor de posição nos eixos coordenados:

r

 o  l cos 

2

 l 2 sen2   2o  l 2  2 ol cos

(43)

Para cálculo do fluxo magnético precisamos definir os vetores unitários nas direções normal à espira (un) e azimutal em relação ao fio (u). De acordo com a figura acima, esses vetores são descritos por:

u n  sen u x  cos  u y

(44)

u   senu x  cos u y

(45)

Onde os ângulos  e  estão relacionados por:

cos  

o  l cos  r

sen 

l sen r

(46) (47)

Reescrevemos agora a equação (40) de acordo com a geometria da Figura 5 e considerando a corrente constante.

Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1a edição, 2016

B

 oI o u 2r

(48)

Além disso, escrevemos a área diferencial para cálculo do fluxo magnético na espira.

dS  bdl un

(49)

Onde ds, como mostra a Figura 5, é um deslocamento ao longo da aresta superior da espira. O fluxo magnético pode ser então calculado:

m =  B d S  S

 a/2



a/2

oI o  bI u   bdl u n  o o 2r 2

 a/2



sen sen cos  cos  d l

a /2

r

(50)

Onde foram usadas as equações (44) e (45) na obtenção do último termo. Usando agora as relações (43), (46) e (47) para substituir r, sen e cos, resulta:

m =

o bIo 2

a /2



a /2

l   o cos  dl   l  2 o l cos 2 o

2



a /2 o bIo  2 2  ln 2 cos      l l   o o  a/2 4 

  2o   a /2    oa cos    bI  o o ln 2  2   4   o   a /2    oa cos   2

(51)

Aplicamos agora a lei de Faraday para obter a força eletromotriz. Uma vez que o ângulo  varia com velocidade constante , temos:

Um  

dm d   2    abo Io  12   22   bI =  o o   ln  22    o  2 2  sen   t  dt 4 d    1   4   1 2 

(52)

Onde 1 e 2 são os valores extremos instantâneos de r na Figura 5.

1  2o   a /2   oa cos  t 

(53)

2  2o  a /2    oa cos  t 

(54)

2

2...