Capitulo V - Tasas de interes - Equivalencias PDF

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CAPITULO V LA TASA DE INTERÉS. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS 

La Tasa de Interés. Generalidades

Hasta aquí hemos utilizado la tasa de interés como un dato en los distintos métodos de cálculo financiero para hallar otros valores desconocidos, y en ocasiones, conociendo otros valores hallar la tasa de interés de la operación. Pero en todo momento la tasa actuó como un dato de la operación. Sin embargo, la variedad de métodos para hallar el interés de una operación y las variaciones entre los sistemas de capitalización conllevan el problema de incluir tasas de interés que no pueden ser comparadas, es decir, tasas no homogéneas. Al utilizar distintos regímenes de capitalización podemos encontrar que una tasa de interés menor a otra puede resultar más cara para la operación, lo que a simple vista puede llevar a errores en la toma de decisiones, por ejemplo, a la hora de decidir por distintos tipos de financiación. En este capítulo analizaremos algunos métodos que permiten comparar tasas de interés a fin de hallar el verdadero costo financiero o el rendimiento efectivo que encierra una determinada operación. La existencia de capitalizaciones entre dos momentos implica la perdida de homogeneidad en la tasa de interés, ya que una determinada tasa se aplica a un capital que varía en los distintos momentos, tantos como capitalizaciones haya. Por tal motivo es que buscaremos hallar las tasas que realmente generan intereses en los distintos períodos y también la equivalencia entre las distintas tasas. En general, diremos que dos tasas son equivalentes si con diferentes períodos de capitalización y en el mismo plazo, producen el mismo interés. 

Tasas Nominales y Proporcionales

Se llama tasa nominal a la tasa que, junto al método de cálculo, forma parte de una convención para realizar una operación financiera. Por ejemplo, una operación cuya tasa es el 10% anual. Es decir, se refiere a la tasa que se enuncia en la operación, aunque ésta puede no reflejar el costo efectivo del dinero. Las entidades financieras generalmente hacen mención a la tasa nominal expresada en forma anual (TNA), aunque puede estar referida a cualquier otro período de tiempo distinto. Utilizaremos la “i” para designar a la tasa nominal. La tasa proporcional es el resultado de considerar que, para un subperíodo, si la nominal es una tasa periódica, corresponderá dividir a la nominal por la cantidad de subperíodos que tiene el plazo de la operación. Para el ejemplo anterior, cuando la capitalización es semestral la tasa que corresponde para el subperíodo es la del 10% dividido por dos, que es la cantidad de semestres que tiene un año. En el capítulo II hicimos mención a la tasa proporcional como tasa que se aplica al subperíodo de capitalización y que actúa como una tasa efectiva para el subperíodo. Utilizaremos la letra “ip” para representar a la tasa proporcional. ip = i/m = i’s

(5.1)

Tasas de Interés



Tasa Efectiva

Cuando en la capitalización Subperiódica se aplican tasas proporcionales el interés obtenido por este sistema difiere del que se obtendría con igual tasa nominal en la capitalización periódica. La tasa que está implícita en la capitalización Subperiódica denominamos tasa efectiva, y conceptualmente podemos decir que es aquella tasa que aplicada a un régimen de capitalización periódica produce, para un mismo capital y en el mismo plazo, un monto igual al que se obtiene utilizando tasas proporcionales en la capitalización Subperiódica. Igualando montos, tomando capitales unitarios y simbolizando con i´ podemos llegar a una fórmula para calcular la tasa efectiva: por definición :

i   (1 i´) 1   m 

m

i   i´1   m 

m



(5.2) 1

i'  1  i p  m  1

o bien

Ej.: calcular la tasa efectiva anual (TEA) para la TNA del 8% capitalizable trimestralmente: m

i  i´  1   1 m   4

0,08  i´  1    1  0,08243216 4  

Dividimos la TNA por 4 ya que es la cantidad de trimestres que hay en el plazo de la TNA. Y elevamos a la 4ª potencia ya que es la cantidad de veces que se capitalizan intereses en el plazo de la operación (en este caso un año).

Significa que un capital puesto al 8% capitalizable trimestralmente durante un año, generará lo mismo que colocado al 8,243216% de interés con capitalización anual. Vemos entonces que la tasa efectiva es el interés que realmente genera una unidad de capital en un período cuando se aplican tasas proporcionales a la capitalización Subperiódica. Se puede generalizar el concepto de tasa efectiva, ya que no es necesario que se apliquen tasas proporcionales a la capitalización Subperiódica para que la tasa efectiva periódica deba calcularse de la misma forma. Dijimos antes que la tasa nominal es la que se enuncia para la operación, de modo que, si decimos la tasa del 2% mensual con capitalización mensual, dicha tasa es la tasa nominal para el subperíodo. En la formula (5.2) reemplazamos la tasa proporcional por la efectiva para el subperíodo y llegamos a igual resultado. Resulta obvio entonces que la tasa proporcional es la tasa efectiva para el subperíodo. Podemos entonces expresar a estas tasas como equivalentes y ser “TES” la tasa efectiva Subperiódica (la cual puede ser una tasa efectiva mensual, bimestral, etc.), donde m será la cantidad de subperíodos de capitalización al que estará colocado la TES para ser equivalente a la tasa efectiva anual (TEA): (5.3) 2

Tasas de Interés

(1 + TES) m = (1 + TEA) Despejando podemos obtener otras dos fórmulas: TEA = (1 + TES) m - 1

(5.4)

TES = (1 + TEA) 1 / m - 1

(5.5)

Por ejemplo, sea una TNA del 6% aplicada a un régimen de capitalización cada 45 días. La TEA será: i   i '  1   m  

m

0.06    1 1   365 / 45  

365 / 45

 1  6.16%

Obtenida la TEA podemos hallar la tasa efectiva para 45 días: TE45 = (1 + TEA) 1 / m - 1 = (1 + 0.0616) 45/365 – 1 = 0.007397 ≡ 0.74% 

Tasas Equivalente

Se denomina tasa equivalente a aquella que aplicada a un régimen de capitalización Subperiódica produce, para el mismo capital y en el mismo tiempo, el mismo monto que la tasa nominal con capitalización periódica. Se trata de una tasa nominal Subperiódica. De acuerdo a la definición dada, igualamos fórmulas y denominando im a la equivalente tendremos: (1 + im) m = (1 + i) (1 + im) m = (1 + i)

(5.6) 

i m (1  i) 1 / m  1

Para el ejemplo dado con anterioridad, la tasa trimestral nominal equivalente al 8% anual será: i4 = (1 + 0,08)1/4 – 1 = 0,019426546 = 1,94% Pero para hallar la tasa para 30 días equivalente al 8% anual será: i365/30 = (1 + 0,08)30/365 – 1 = 0,006345613 = 0,635% Cuando se utiliza el interés compuesto capitalizable subperiódicamente con tasa nominal y plazo expresado en el período de la tasa se obtiene el mismo resultado que si se usara la tasa equivalente. Por ejemplo, un capital unitario colocado al 10% nominal anual capitalizable semestralmente, el monto para el semestre será. M = 1,11/2 = 1,048808848 con tasa nominal

3

Tasas de Interés

i2 = 1,11/2 – 1 = 0,048808848 entonces el monto calculado con tasa equivalente será: M = 1 + 0,48808848 = 1,048808848 con tasa equivalente 

Tasa Convertible

La tasa convertible se obtiene multiplicando la tasa nominal Subperiódica por el número de subperíodos dentro del año. Simbolizando con j m a la convertible y considerando la tasa Subperiódica como la equivalente de una nominal desconocida, tendremos: (5.7)

Jm = m . im im 

jm m

Si hablamos de la tasa del 5% cuatrimestral, la tasa convertible anual será el 5% multiplicado por 3, es decir, la tasa será del 15% convertible anual. 

Tasa Instantánea

La tasa instantánea es aquella que aplicada a un régimen de capitalización continua produce el mismo monto que la tasa nominal con capitalización periódica cuando el capital y el plazo son iguales. Simbolizando con δ a la tasa instantánea será: V e δ = V (1 + i) aplicando logaritmos naturales y como ln e = 1, resulta: δ = ln (1 + i) Existen las siguientes relaciones entre:

(5.8)

Las tasas periódicas: i´ > i > jm > δ Las tasas Subperiódica: ip 



i  im m

Relaciones entre Tasas de Interés

Las tasas antes vistas se relacionan de la siguiente manera:

im

ip 4

nominal de

i

i’

Jn 

equivalente de

proporcional de

efectiva de

Tasas de Interés

Tasa Media

Si varios capitales son invertidos a distintas tasas y todos se colocan a igual plazo y con el mismo período de capitalización, el monto final logrado será igual a la suma de los montos individuales, esto es: k

M  Vh (1  i h )n h1

Podemos hallar la tasa media a la que fueron colocados los distintos capitales a fin de tener una idea aproximada de cuál fue el rendimiento promedio de la operación, para ello todos los capitales deben ser colocados durante el mismo plazo. Si hacemos que la suma de los k

distintos capitales sea un solo capital,

V

h

V

y que la suma de los montos individuales

h1 k

sea un solo monto

 V (1  i h

h

) n M y simbolizamos con i a la tasa media tendremos que la

h1

tasa media será aquella que colocada para un capital “C” (la suma de los distintos capitales) al plazo “n” permitirá obtener un monto “M”: V(1  i ) n M M (1  i ) n  V  M i    V

1 n

1

(5.9)

Por ejemplo, un capital de $9.000 al 5% anual, otro de $7.000 al 6,5% anual y otro de $10.000 al 8% anual con capitalización anual durante 5 años. Calcular la tasa media anual de rendimiento de la inversión. M = 9.000 x 1,055 + 7.000 x 1,0655 + 10.000 x 1,085 = 35.770,42  35.770, 42  i    26.000 

1 5

 1 0, 065884479 6,6%anual

5

Tasas de Interés

Cuando el período de capitalización es distinto para todos o algunos de los capitales, si el plazo de la operación es el mismo, entonces se podrá resolver el cálculo de la tasa media. Para el mismo ejemplo si el primer capital estuvo colocado a capitalización bimestral y el segundo a capitalización cuatrimestral, se calcula: 0,05   M  9.000 1  6    36.235, 48 i    26.000 

1 5

30

0,065    7.000 1   3  

15

 10.000  1,085 5 36.235, 48

 1 0, 0686441742 6,86 %anual

Si un solo capital estuvo invertido durante un tiempo a tasas variables, se puede hallar la tasa única para el plazo que hubiera proporcionado el mismo monto, a la cual se denomina tasa media en el plazo. Es aplicable la fórmula (5.9). Por ejemplo, un capital unitario colocado al 18% anual durante dos años y al 25% el último año, con capitalización semestral: es decir que si se invierte durante tres años con capitalización semestral a las tasas del 18% y 25% anual se obtendrá el mismo monto que invertir durante el mismo plazo con igual capitalización a la tasa del 10,15% semestral o del 21,34% anual. 4

0,25  0,18   M  1    1  2  2    i 1, 786532975 i 1, 786532975



1

6

1/ 3

2

1, 786532975

 1 0,101543975 10,15%semestral  1 0, 213399129  21,34%anual

La Tasa Efectiva en el Interés Adelantado Simple

De acuerdo a lo visto en el capítulo 2 una tasa puede calcularse tomando la variación del capital y comparándolo con el capital original. Si utilizamos el descuento comercial la tasa vencida del período del préstamo sería equivalente a una tasa adelantada, y despejando para el monto tendríamos la siguiente igualdad: i

M V V



M  ( M  Mdn ) dn  M  Mdn 1  dn

(5.10) 6

Tasas de Interés

Si además consideramos la cantidad de veces que esta tasa se capitalizaría en un año de acuerdo a la fórmula 5.2 y reemplazando por la 5.10 la efectiva tasa efectiva anual para una tasa adelantada se podría calcular: i ''a 1 i 'v



m

1 m

dn   i''a  1    1 1  dn    1  dn  dn  i''a    1 dn   1  i''a    1  dn 

m

1

m

1

(5.11) En este caso la tasa efectiva se incrementa con el plazo, por ello se establecen tasas nominales decrecientes. Ejemplo: calcular la tasa efectiva anual para la TNAa (adelantada) del 110% para operaciones de a) 30 días b) 90 días c) 180 días 365 / 30

i''a

    1   30  1  1,1x    365  

365 / 90

i''a

    1    1  1,1x 90    365  

365 / 180

i''a

    1     1  1,1x 180    365  



 1 2,1675

 1 2,6081

 1 3,8819

Tasas de Interés Simple y Compuesto Equivalentes

Anteriormente vimos que dos tasas son equivalentes cuando aplicadas a distintos regímenes de capitalización o a métodos de cálculo distintos producen para el mismo capital y en el mismo tiempo, iguales montos. Relacionando las tasas de interés simple (i s) e interés compuesto (ic) la equivalencia se dará cuando los montos obtenidos con los dos sistemas sean iguales: V (1 + ic) nc = V (1 + is ns) (1 + ic) nc = (1 + is ns) Despejando para hallar cada una de las tasas ic = (1+ is ns) 1 / nc – 1

(5.12) 7

Tasas de Interés

is 

1  ic  nc  1

(5.13)

ns Aquí debe indicarse siempre el plazo de la operación ya que ambas tasas son función del tiempo.

Ejemplo: un préstamo a tres años al 8% anual capitalizable trimestralmente. Calcular la tasa de interés simple que sea equivalente. is 

1  0.08 / 4 12  1  0,0894139 3

Esto significa que una TNA del 8,94% colocada a interés simple durante 3 años genera un monto igual al que se obtendría con una TNA del 8% capitalizable trimestralmente. Sea calcular la tasa de interés compuesto con capitalización trimestral equivalente a la tasa de interés simple (TNA) del 8% para un plazo de tres años. ic = (1 + 0,08 x 3)1/12 – 1 = 0,01808758 Esto significa que una TNA del 8% colocada a interés simple durante 3 años genera el mismo monto que una tasa de interés compuesto trimestral del 1,81% (o una TNA de 7,24%) En todos los casos al comparar las tasas debe hacerse referencia al plazo al que están referidas las mismas. 

Tasas de Interés Simple Vencido y Descuento Comercial Equivalente

Resulta importante poder comparar las tasas de interés vencidas y adelantadas que resultan equivalentes. En el primer capítulo vimos como calcular tasas vencidas y adelantadas equivalentes y las habíamos denominado i y d respectivamente. Aquí ampliamos lo visto anteriormente ya que incorporamos más de un período de cálculo, en general n períodos, es decir el plazo para la operación será mayor a 1. V 1 - dn 1 (1  in)  1 - dn d i 1  dn i d 1  in

V(1 in) 

(5.14)

(5.15)

Ambas tasas resultan función del plazo, es decir que existen tantas tasas equivalentes como plazos puedan convenirse.

8

Tasas de Interés

Ejemplo: calcular la tasa adelantada que equivale al 110% anual de interés simple para operaciones a) 30 días b) 180 días a) d 

1,10

1,0088 30 1  1,10x 365 1,10 0,7131 b) d  180 1  1,10x 365

Vemos que la tasa adelantada es decreciente cuando el plazo aumenta. Sea calcular la tasa de interés vencido equivalente al 90% de interés adelantado para a) 30 días b)180 días a) i 

0,90 1 0,90x

b) i 

30 365

0,90 180 1 0,90x 365

 0,9719

1,6182

Aquí se observa que la tasa vencida es creciente cuando al plazo aumenta.  Tasas Nominales Equivalentes en el Interés Simple Vencido Aquí analizaremos la equivalencia entre tasas nominales de interés simple aplicadas a distintos plazos. Como los montos obtenidos en estas condiciones son distintos debemos recurrir a las tasas efectivas, es decir, que la equivalencia será entre tasas efectivas. Simbolizando con distintos números en el subíndice para diferenciar plazos y tasas tendremos: (1 + i1n1)1/n1 – 1 = (1 + i2n2)1/n2 – 1 (1 i1 n1 )n2/n1  1 (5.16) n2 Ejemplo: calcular la tasa para 90 días equivalente a la TNA del 40% para 30 días. i2 

i2 

(1 0,40x30 / 365)90 / 30  1  0,413294812 90 / 365

Para comprobar si el cálculo fue bien realizado utilizamos la tasa efectiva, i1’= (1+ 0,40x30/365)365/30 – 1 = 0,4823 i2’= (1+ 0,413294812x90/365)365/90 – 1 = 0,4823 Ejemplo: Sea calcular la tasa nominal anual vencida aplicable a un plazo de 180 días, dada la tasa del 45% nominal anual para 30 días con descuento comercial. 9

Tasas de Interés

Primero debe hallarse la tasa vencida equivalente al 45% adelantado, para 30 días, utilizando la fórmula (5.14): i

0,45 0,467283 ésta es la tasa vencida equivalente para 30 días 1 0,45x30 / 365

luego pasamos de la vencida para 30 días a la tasa para 180 días aplicando la fórmula vista: i

(1 0,467283x30 / 365)180 / 30  1  0,514515 180 / 365

Para comprobar si se procedió bien se calculan las tasas efectivas para el 45% adelantado para 30 días y para el 51,4515% vencido a 180 días, las que tienen que ser iguales. 1   i '    1  0,45x 30 / 365 

365 / 30

 1  0,58175

i ' (1 0,514515x180 / 365) 365 /180  1  0,58175



Tasas Nominales Equivalentes en el Interés Simple Adelantado

Como en el caso anterior también debemos partir de igualar tasas efectivas ya que las nominales están referidas a plazos distintos. Utilizando la fórmula (5.13):   1    1 d n 1 1  

1 / n1

  1   1   1 d n 2 2  

1  (1  d 2n 2 ) d1  n1

1/ n2

1

n1 / n 2

(5.17)

Ejemplo: dada la tasa del 36% anual nominal para 30 días, calcular la equivalente para 90 días, ambas con descuento comercial. d1 

1 (1 0,35x30,365) 90 / 30  0,34002805 90 / 365

Como en el caso anterior la comprobación se realiza acudiendo al cálculo de la tasa efectiva para el 35% a 30 días y para el 34,003% para 90 días. Si la tasa nominal anual para operaciones con intereses simples a 30 días de plazo es del 50%. Hallar la tasa nominal anual equivalente para el plazo de 120 días con descuento comercial. Primero hallamos la tasa adelantada para 30 días a partir de la (5.19)

10

Tasas de Interés

d

0,50 0,480263157 1  0,50x30 / 365

Luego la tasa adelantada para 120 días. d1 

1 (1 0,48026315x30 / 365 0,452567 120 / 365

es la tasa adelantada para 120 días equivalente al 50% nominal vencido a 30 días. § Tasas de Interés y de Descuento Compuesto Equivalentes Los valores actuales de los descuentos compuestos corresponden a las siguientes fórmulas: V3 

N ; (1  i) n

V5 N(1  d) n

Igualando valores actuales: N  N (1 d)n (1 i) n 1  1 d 1 i i d 1 i d i 1 d

(5.18) (5.19)

Puede observarse que las tasas no dependen del tiempo para su cálculo, pero los períodos de capitaliza...