Tasas DE Interes Y DE Descuento PDF

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EXPLICACION DE TASAS DE INTERES Y DESCUENTOS...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

TASAS DE INTERES Y DE DESCUENTO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS

Trabajo elaborado por el Profesor Adjunto de la cátedra de Matemática Financiera

Dr. Rodolfo Oscar Maurel

2007

Dr. Rodolfo Oscar Maurel

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

1.- TASAS EN GENERAL: Según define el diccionario de la Real Academia Española la tasa es “la relación entre dos magnitudes”. Por otra parte, el concepto de interés, se expresa como el “lucro producido por un capital”. En Matemática Financiera las tasas miden la relación entre el valor del interés ganado o pagado o del descuento practicado y el capital o valor nominal sobre el cual se calculó aquel valor. Para el caso de la tasa de interés la relación se produce entre el importe de los intereses obtenidos en una inversión con respecto al capital invertido. En la práctica comercial y financiera se utiliza como unidad de capital a la suma de $ 100 y como unidad de tiempo al año, motivo por el cual se expresa que la tasa o razón ( r ) es, por ejemplo, del 12% anual, cuando se quiere significar que por cada $ 100 de capital que se invierta se obtendrá, al cabo de un año, la suma de $ 12 en concepto de intereses. Se habla aquí de una tasa o razón expresada en tanto por ciento. El concepto de razón según el diccionario antes citado es: cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí. Es decir que razón y tasa son términos equivalentes. Sin embargo en Matemática Financiera siempre se trabaja, tanto en la demostración de las fórmulas aplicables, como en la resolución de problemas o casos prácticos, con una tasa de interés expresada en tanto por uno. Se divide la razón por 100 y se obtiene la tasa en tanto por uno (i). En el ejemplo dado, entonces, la tasa i estaría enunciada como 0,12 y significaría que por cada $ 1 de capital invertido se obtienen 12 centavos de intereses. En realidad no existe un solo tipo de tasa, dado que los diferentes métodos de cálculos aplicables (interés simple o compuesto con capitalizaciones periódicas, subperiódicas o continuas), o la manera de calcular los intereses (en forma vencida o adelantada), determina la necesidad de distinguir qué tasa se utiliza en cada caso o cuál es la tasa que efectivamente resulta en la operación financiera calculada.

1.1. TASA DE INTERES (i): La tasa de interés es la renta o rendimiento obtenido por cierta unidad de capital en determinada unidad de tiempo. Cuando hablamos de tasa de interés entendemos que el capital está referido al momento inicial de la operación (momento cero) y el interés se carga o suma en el momento final (momento uno). Es decir que los intereses son siempre vencidos. La tasa de interés determina, en función de su valor, del importe del capital y del tiempo durante el cual está colocado, la magnitud de los intereses que se adicionarán al final del plazo a ese capital en concepto de rendimiento o renta. Debe quedar bien en claro, entonces, que según nuestro concepto, en todos los casos cuando se trabaja con tasa de interés, los intereses se calculan al vencimiento de la operación y se suman al capital invertido (se dice que los intereses son vencidos). Al sumarse los intereses al capital se produce el fenómeno de la capitalización. Si la operación financiera tiene un solo período de plazo o si los intereses son cobrados por el acreedor en cada período, dejando para el período siguiente solamente el capital inicial, se dice que los intereses son simples. Para que los intereses se consideren compuestos la inversión de los fondos debe repetirse en uno o más períodos (después del primero) y el inversor debe dejar invertidos los intereses ganados en cada período anterior.

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1.2.- TASA DE DESCUENTO (d): Además de la tasa de interés existe la denominada tasa de descuento (d). El diccionario de la Real Academia Española define al descuento como la “cantidad que se rebaja de un crédito como retribución del contrato de descuento.” Y al contrato de descuento se lo conceptualiza como : “Aquel por el que se transmite un derecho de crédito, normalmente expresado en un documento, a cambio de un precio en dinero calculado mediante una rebaja o descuento sobre el valor de dicho crédito al tiempo de su vencimiento”. Es por ello que la tasa de descuento se utiliza cuando los intereses, en vez de abonarse al final de la operación (tasa vencida), son descontados por adelantado sobre el valor nominal o final de la deuda. En este caso se toma como referencia el momento uno y el tiempo se cuenta hacia atrás. Como sabemos, ello ocurre en las operaciones de descuento comercial y descuento con tasa de descuento. En el primero el descuento se practica sobre el valor nominal a interés simple y en el segundo también sobre dicho valor pero a interés compuesto . Podemos definir a la tasa de descuento como el descuento practicado a una unidad de valor nominal en una unidad de tiempo. Es sabido que el descuento comercial produce resultados absurdos ya que si el plazo de la operación es prolongado o si la tasa es alta el valor actual del documento puede ser nulo o negativo. De cualquier manera no se puede soslayar el estudio de la tasa de descuento puesto que la práctica bancaria la utiliza. En efecto, en la Comunicación "A" 3052 del B.C.R.A. (Última comunicación incorporada: “A” 4003. Texto ordenado al 22.08.03) en el punto 1.4. Modalidades de aplicación, expresa: “Las tasas se aplicarán en forma vencida, salvo en las operaciones de pago único a su vencimiento , en las que también podrá emplearse la forma adelantada, según se convenga con los clientes”. En el punto 3.2. Exposición en los documentos, se dice: En todas las operaciones, cualquiera sea su instrumentación, corresponde que en los contratos, recibos, notas de débito u otros documentos de relación con los clientes, donde se expliciten tasas o importes de intereses, se deje expresa constancia de los siguientes aspectos. 3.2.1. Tasa de interés o de descuento anual contractualmente pactada, en tanto por ciento con dos decimales. 3.2.2. Tasa de interés efectiva anual equivalente al cálculo de los intereses en forma vencida, en tanto por ciento con dos decimales. Queda claro entonces que las tasas pueden ser de interés o de descuento pero que la tasa de efectiva debe ser siempre una tasa de interés equivalente al cálculo de los intereses en forma vencida. La información que el B.C.R.A. exige es para que, en base al conocimiento de la tasa efectiva anual vencida de las distintas operaciones, los clientes tengan un índice de comparación o parámetro, a fin de decidir la conveniencia o no de realizar un depósito o solicitar un crédito bancario, aunque ese índice tenga sus defectos, puesto que parte del criterio implícito de que la operación se repetirá en las mismas condiciones que las iniciales hasta fin del año y que los intereses se capitalizarán durante ese plazo. También es importante señalar que la citada normativa determina, en cuanto al divisor fijo a utilizar que el divisor general es de 365 días pero que para los Préstamos hipotecarios sobre vivienda y prendarios sobre automotores, es de 360 días, “en las operaciones comprendidas en los manuales de originación y administración de esos préstamos”.

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RELACIONES ENTRE TASA DE INTERES Y TASA DE DESCUENTO:

Si se utiliza tasa de interés un capital de $ 1 cuyos intereses son pagaderos al final de la operación en el plazo de un período se transforma en:

0 $1

1 $ (1+i)

Si la operación se efectúa con tasa de descuento a interés simple el valor nominal que tenemos en el momento final se convierte en un valor actual al comienzo igual a:

0 $ (1 – d)

1 $1

Relacionando los valores del comienzo y del final de la operación:

1

1 i 

d



 1  i

1

d d i  1  d

1

1

d 

1  1

1 1 d  1  d

1

 1  i

1 1i  1   1 i  1 i i d  1  i

d 1 

Conociendo una de las dos tasas se halla la otra para el mismo plazo. Ejemplo: en una operación a interés simple para un plazo de 160 días se usa una tasa de interés nominal anual del 20%. Hallar la tasa de descuento nominal anual equivalente. La tasa de interés para el plazo de 160 días será= 0,20*160/365= 0,087671. Usando la segunda fórmula hallamos que d= 0.087671/1.087671= 0.0806045 para el mismo plazo de 160 días. La tasa nominal anual de descuento será= 0.080597*365/160 = 0.18387909 anual. Comprobación: $ 1 al final de 160 días a la tasa de interés anual del 20% produce un monto de $ 1.0877671. Si éste valor lo actualizamos con la tasa de descuento nominal anual del 18,386, produce un valor actual igual a: 1,0877671*(10.18386*160/365) = $1.

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1.3. FACTORES DE CAPITALIZACION Y ACTUALIZACION UTILIZANDO TASAS DE INTERES Y DE DESCUENTO: Cuando se utilizan tasas de interés y se trabaja con interés compuesto el factor de capitalización está dado por la siguiente expresión: n n

v ( i )  1  i 

y el de actualización por:

v(ni )  1  i 

 n

Se utiliza el subíndice (i) para denotar que se trata de los factores para el caso en que se utilizan tasas de interés. Cuando se trabaja con capitalizaciones subperiódicas y se utilizan tasas proporcionales esos índices se transforman en los siguientes:

  1  v nm i ( )  m  vnmi  1  ( )  m

nm

i   m  nm i   m

Recordemos que el factor de capitalización se aplica cuando se conoce el valor presente (actual) de una suma de dinero y se desea determinar el valor futuro de la misma. A la inversa, el factor de actualización para los casos en que, conociendo el valor futuro de la suma de dinero se desea determinar el valor presente (actual). Podemos agregar los factores de capitalización y actualización a interés simple en los que existe una única capitalización. Serían los siguientes:

v( i1)  1  in 1 1   1  in v1( i )   1  in  Si la operación se realiza con tasa de descuento (d) los factores de capitalización y actualización surgen de las fórmulas determinadas en el Descuento con tasa de descuento (es decir se trabaja con capitalización compuesta). Partiendo de esas fórmulas tenemos:

V5  N  1  d 

n

para un valor nominal de un peso, resulta el factor de actualización:

v(nd )  1  d 

n

En tanto que el factor de capitalización será:

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v( dn )  1  d 

n

Se utiliza el subíndice (d) para denotar que se trata de factores para tasas de descuento. Cuando se opera con tasas de descuento proporcionales

  1 v     1 v nm d ( )  m nm d ( ) m

nm

d  m   nm d  m 

En el caso del descuento comercial , como se trabaja con intereses simples existe una sola capitalización. Los factores son, para hallar el valor actual y valor nominal de los documentos, respectivamente, los siguientes:

v( d )  1  dn 1 1 v(d1)   1  dn  1 dn Ejemplo práctico utilizando los factores para tasas de interés y de descuento: Determinar el valor del siguiente flujo de fondos en el momento 2, utilizando factores de capitalización y actualización con tasas de interés y de descuento, al 10% nominal anual.

0 100

1 100

2 100

3 100

4 100

Valor del flujo de fondos con tasas de interés: =100*1.1^2 +100*1.10^1 + 100 + 100*1.1^-1 + 100*1.1^- 2= =100 (1,21 + 1.1 + 1 + 0.9090909 + 0.826446281) = $ 504,55 Valor del flujo de fondos con tasas de descuento: =100*(1-0.10) ^-2 +100*0,90^-1 + 100 + 100*0.90^1 + 100*0.90^ 2= =100 (1,234567901 + 1,1111111+ 1 + 0.90 + 0.81) = $ 505,57 Se observa que cuando se capitaliza el factor con tasa de descuento produce valores mayores que con tasa de interés y que cuando se actualiza son mayores los valores utilizando tasa de interés. En el total general tuvo más fuerza la capitalización que la actualización por lo cual el valor del flujo de fondos en el momento 2 es mayor con tasa de descuento.

2.- TASAS NOMINALES. Se denomina tasa nominal a aquella enunciada en los problemas que constituye uno de los datos que se tiene en cuenta para calcular el resultado de

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS una operación financiera y, en otros casos, no está enunciada por ser la incógnita que se debe despejar. La tasa nominal más utilizada habitualmente es la tasa anual o periódica. Vemos que en muchos textos de la materia no se señala el plazo de la tasa dando por sobreentendido que se trata de una tasa anual. Pero también se empezaron a utilizar en nuestro país, a raíz del proceso inflacionario que tuvimos que soportar, tasas nominales subperiódicas1 que son aquellas tasas nominales que se refieren a períodos inferiores al año. Es muy usada como tasa subperiódica la tasa nominal mensual, aunque para las operaciones financieras que se tramitan a través de la banca sea en realidad una tasa para 30 días y no mensual. La diferencia que existe entre expresar la tasa como mensual o una tasa para 30 días es que si trabajamos con la primera de ellas habrá 12 capitalizaciones anuales; en cambio si la tasa corresponde a 30 días habrá 365/30 = 12,1666…. capitalizaciones, con lo que los rendimientos efectivos al cabo de un año serán diferentes. ¿Por qué se llaman tasas nominales? Porque son las enunciadas en los problemas o en las operaciones de crédito y porque sirven de base para los cálculos. Según algunos autores, las tasas nominales que aquí se denominan subperiódicas por referirse a plazos inferiores al año, también pueden ser periódicas y las subperiódicas surgen de éstas cuando el plazo de la operación o la capitalización se realiza en un lapso inferior a esos subperíodos. Según ese criterio si se enuncia en un problema por ejemplo, la tasa del 2% bimestral, ésta sería una tasa periódica y para el caso en que la capitalización fuera mensual se trabajaría con una tasa subperiódica del 1%.

3.- TASAS PROPORCIONALES:

Habitualmente en los problemas se enuncia una tasa anual, de tal manera que cuando una operación se realiza a plazos inferiores al año o las capitalizaciones se efectúan en subperíodos anuales, es necesario expresar esa tasa como una fracción de la tasa anual. Debemos recordar que el principio de aplicabilidad de las fórmulas en Matemática Financiera determina que la tasa y el plazo de la operación siempre deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. De tal manera que si la tasa nominal es anual y el plazo de la operación o el de la capitalización es en períodos menores al año es necesario transformar la tasa anual proporcionándola a los citados plazos, de allí que se la denomine proporcional y se la simbolice i/m si los intereses se pagan al final del plazo de la operación o d/m si se descuentan por adelantado, siendo m el número de capitalizaciones existentes en el año. Si la operación o la capitalización se realizan, por ejemplo, a 3 meses y la tasa nominal anual es del 13%, la tasa proporcional para ese plazo se hallará haciendo: 0,12*3/12. Existiendo 4 trimestres en el año la tasa proporcional trimestral correspondiente al 12% mensual, es la cuarta parte de la anual, o sea 0,12/4 = 0,03 trimestral. En general, se da el nombre de tasas proporcionales a aquellas que corresponden a distintos períodos y una es parte alícuota de la otra, en la misma proporción en que se encuentran los períodos a que corresponden cada uno de ellas. Cuando se trabaja a interés simple, los intereses se calculan de una sola vez por todo el tiempo en que estuvo invertido el capital y son abonados, acreditados o capitalizados únicamente al término de la operación. Por ello un capital colocado durante n períodos a una tasa periódica i dará el mismo interés que al estar colocado a una tasa proporcional i/m durante los n.m períodos. En efecto, siendo I = C.i.n utilizando tasa proporcional i/m el Interés será igual a:

I = C. i/m. n.m = C. i. n

Esta demostración permite afirmar que en un régimen de capitalización a interés simple se puede trabajar con las tasas que corresponden a cualquier unidad de 1 GIANNESCHI, Mario Atilio: “Curso de Matemática Financiera”, página 103, Ediciones Macchi, Buenos Aires 2005.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS tiempo, siempre que sean proporcionales, pues el interés simple será el mismo. En cambio, cuando el interés es compuesto (o sea se producen más de una capitalización en el plazo de la operación) el hecho de que se utilice en la capitalización subperiódica una tasa proporcional i/m (según se demuestra analíticamente cuando se estudia la comparación de los montos con capitalización periódica y subperiódica) produce un mayor monto que usando la tasa i en la capitalización periódica.

4.- TASAS EFECTIVAS: a) Para tasas de interés: El hecho de que en las operaciones financieras se enuncie una tasa anual pero el plazo de la operación o la capitalización se refiera a períodos inferiores al año, modifica el rendimiento efectivo anual que se obtendrá ya que el procedimiento para obtener una tasa efectiva anual presupone la capitalización de intereses. Se denomina tasa efectiva al rendimiento que realmente se obtendría al cabo de un año cuando se utiliza una tasa proporcional en la capitalización subperiódica. Si en el problema tenemos una tasa de interés del 12% anual y se capitaliza trimestralmente, para hallar la tasa efectiva anual tenemos que capitalizar la tasa proporcional del 3% durante un año lo que arroja el siguiente resultado: m

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i  0.12    4 i'  1    1  1    1 1,03  1 1,12550881  1 0.1255 m 4    Ello significa que al cabo de un año el rendimiento que efectivamente se obtendría es del 12,55%. Pero, en realidad, puede generalizarse ese concepto de tasa efectiva ya que no es necesario que se apliquen tasas proporcionales a la capitalización subperiódica para que la tasa efectiva periódica deba ser calculada de la misma forma . Si enunciamos en el problema como tasa nominal subperiódica el 3% trimestral, obtendríamos como tasa efectiva la misma hallada más arriba. Con mucha razón dice Gianneschi en su libro citado que “la tasa efectiva es más un concepto que una fórmula” y que cualquier duda debería resolverse apelando a la definición general de tasa de interés. 2 Como es sabido, el monto con capitalizaciones subperiódicas a tasa proporcional es mayor que con capitalización periódica a tasa nominal y cuanto menor es el período de capitalización (por haber mayor número de capitalizaciones en el año) ese monto será cada vez mayor. La relación entre tasa nominal y efectiva es la siguiente: nm

n i    C0  1  i  C0  1   m  m i    1 i 1  m   m i   1 m  1  i   Siendo : m i   1     1  i' m  i'  i

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GIANNESCHI, Mario Atilio: opus cit., página 103.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS La anterior demostración que determina que la tasa efectiva es mayor que la nominal es aplicable siempre que la capitalización sea su...