Caso de factoreo - Factor Común Evaluativo de ingreso para practicar de matematicas PDF

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Evaluativo de ingreso para practicar de matematicas, leve recopilacion de datos para practicar sobre matematicas para el ingreso a ingeniería, cursillo de ingreso...

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Factor Común

3𝑥 3 + 3 · 4 · 𝑥 2 − 3 · 3 · 𝑥 3𝑥 · (𝑥 2 + 4𝑥 + 3) 3𝑥 3 = 𝑥 3−1 = 𝑥 2 3𝑥 3 · 4 · 𝑥2 = 4𝑥 3𝑥 3·3·𝑥 =3 3𝑥

P(x)= 2 x4- x3-6 x2

𝑃(𝑥) = 2𝑥 4 − 𝑥 3 − 6𝑥 2 𝑥 2 (2𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Factor común por grupos

2𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏2 + 4𝑎𝑚 − 6𝑏𝑚

(2𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏2 ) + (4𝑎𝑚 − 6𝑏𝑚)

𝑎𝑏 · (2𝑎 − 3𝑏) + 2𝑚 · (2𝑎 − 3𝑏) Trinomio cuadrado perfecto

(𝑎𝑏 + 2𝑚) · (2𝑎 − 3𝑏)

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2 · 𝑏 · 𝑎 + 𝑏 2 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1

𝑎2 = 4𝑥 2 → 𝑎 = 2𝑥 𝑏2 = 1 → 𝑏 = 1

2 · 𝑏 · 𝑎 = 2 · 1 · 2𝑥 = 4𝑥 ( 2𝑥 + 1)2

𝑎2 = 4𝑥 5 → 𝑎 = √4𝑥 5 = 2 𝑏2 = 1 → 𝑏 = 1

2 · 𝑏 · 𝑎 = 2 · 1 · 2𝑥 = 4𝑥 ( 2𝑥 + 1)2

𝑎2 = 25𝑥 6 → 𝑎 = √25𝑥 6 = 5𝑥 3

𝑏2 = 4

→

𝑏 = √4 = 2

2 · 𝑏 · 𝑎 = 2 · 2 · 5𝑥 3 = 20𝑥 3 ( 5𝑥 3 + 4)2

𝑎2 = 𝑥 2

𝑏2 = Comprobación

1 9

→

→ 𝑎 = √𝑥 2 = 𝑥 1 1 𝑏=√ = 9 3

1 2 2·𝑏·𝑎 =2· ·𝑥 = 𝑥 3 3

Resultado

1 2 ( 𝑥− ) 3

9𝑥 2 − 12𝑥 + 4

𝑎2 = 9𝑥 2

𝑏2 = 4

→ 𝑎 = √9𝑥 2 = 3𝑥

→

𝑏 = √4 = 2

2 · 𝑏 · 𝑎 = 2 · 2 · 3𝑥 = 12𝑥

Resultado

Cuatrinomio cubo perfecto

( 3𝑥 − 2)2

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 + 3 · 𝑎2 · 𝑏 + 3 · 𝑎 · 𝑏2 + 𝑏3

𝑎3 = 8𝑥 3 → 𝑎 = √8𝑥 3 = 2𝑥 3 3 𝑏 = −1 → 𝑏 = √−1 = −1 3

3 · 𝑎2 · 𝑏 = 3 · (−1) · (2𝑥)2 = −12𝑥 2 3 · 𝑎 · 𝑏2 = 3 · (−1)2 · 2𝑥 = 6𝑥 ( 2𝑥 − 1)3

(3𝑥 − 1)3

𝑎3 = 27𝑥 3 → 𝑎 = √27𝑥 3 = 3𝑥 3 𝑏 3 = −1 → 𝑏 = √−1 = −1 3

3 · 𝑎2 · 𝑏 = 3 · (−1) · (3𝑥)2 = 3 · −1 · 9 · 𝑥 2 = −27𝑥 2 3 · 𝑎 · 𝑏2 = 3 · (−1)2 · 3𝑥 = 9𝑥 ( 3𝑥 − 1)3

Diferencia de cuadrados

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏) · (𝑎 + 𝑏) 𝑏2

𝑎2 = 𝑥 2

9 𝑏2 = 25

1 + 4𝑥 2

Es una expresión prima,

→

→ 𝑎 = √𝑎 2 = 𝑎 → 𝑏 = √𝑏 2 = 𝑏

𝑎2

→ 𝑎 = √𝑥 2 = 𝑥 3 9 𝑏=√ = 25 5

2 2 ( − 𝑥) · ( + 𝑥) 5 5 1 + 4𝑥 2 = 0 4𝑥 2 = −1

𝑥2 = − Suma o diferencia de potencias de igual grado

Primero despejo x

Completar el polinomio

1 4

𝑥3 − 1

𝑥3 = 1 → 𝑥 = 1

3 3 (𝑥 − ) · (𝑥 + ) 5 5

𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 − 1

𝑥 =1 → 𝑥−1=0

(1𝑥 2 + 1𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

Casi siempre el polinomio de segundo grado, no se resuelve, es decir no tiene para resolvente y tampoco trinomio cuadrado perfecto

Primero despejo x

Completar el polinomio

𝑥3 + 8 𝑥 3 = −8 → 𝑥 = −2 𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 + 8

𝑥 = −2 → 𝑥 + 2 = 0

Teorema de Gauss

(1𝑥 2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 + 2)

ejemplo del libro

𝑝 = 4 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑞 = 3 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

Evalúo la función con cada divisor

𝑝 = ±1; ±2 …. 𝑞 𝑓(−1) = 10 𝐹(1) = 0

Hago Ruffini con el divisor que me dio cero el polinomio. Tener en cuenta que el polinomio debe estar completo y ordenado. 3𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 + 4 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝑥 − 1) · (3𝑥 2 + 4𝑥 − 4)

𝑥1 /2 =

−𝑏±√𝑏2 −4·𝑎·𝑏 2·𝑎

𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 3𝑥 + 4𝑥 − 4 2

2

𝑎=3 → 𝑏=4 𝑐 = −4

−4 ± √16 − 4 · 3 · (−4) 2·3

−4 ± 8 = 6

−4 ± √64 6

−4 + 8 2 = 6 3 −4 − 8 = −2 𝑥2 = 6 𝑥1 =

2 (𝑥 − 1) · (𝑥 − ) · (𝑥 + 2) 3

Ejercicio

𝑥=2 →

𝑥−2=0

ℎ(𝑥) = 4𝑥 3 − 12𝑥 2 − 𝑥 + 3 𝑝=3

𝑞=4

± 1; ±3

± 1; ±2; ±4

1 1 3 3 𝑝 = ±1; ± ; ± ; ±3; ± ; ± 𝑞 2 4 2 4

1 1 ℎ (+ ) = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑟𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖 2 2

1 1 ℎ (− ) = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = − ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑟𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖 2 2

2 3 𝑥2 = −2 𝑥1 =

1 2

4

−12 −1 −3 2 −5 3

4 −10 (𝑥 + 2) · (𝑥 − ) · (𝑥 − 3) 1

1

2

−6

Número de términos 2 términos

3 términos

4 términos

0

2 1) · (4𝑥 − 10𝑥 − 6 ) 2 (𝑥 −

Caso de factoreo Primer caso – factor común Quinto caso – diferencia de cuadrados (resta y potencia par) Ruffini Primer caso – factor común Trinomio cuadrado perfecto Resolvente Primer caso – factor común Cuatrinomio cubo perfecto Factor común por grupo

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Llevar a los denominadores a su mínima expresión Cálculos auxiliares de factoreo:

𝑥 2 − 4 = (𝑥 − 2) · (𝑥 + 2)

𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2

Comprobación

Resultado

𝑎 2 = 𝑥 2 → 𝑎 = √𝑥 2 = 𝑥 𝑏2 = 4 → 𝑏 = √4 = 2 2 · 𝑏 · 𝑎 = 2 · 2 · 𝑥 = 4𝑥 ( 𝑥 + 2)2

𝑥

= 2 +(𝑥 + 2)2

𝑥 (𝑥 − 2) · (𝑥 + 2) 𝑥+2 𝑥 − 2= 2 · + ·𝑥 − 2 (𝑥 − 2) · (𝑥 + 2) 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 𝑥 · (𝑥 + 2) 2 · (𝑥 − 2) 𝑥 · (𝑥 + 2) + 2 · (𝑥 − 2) + = (𝑥 − 2) · (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) (𝑥 + 2 )( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2) (𝑥 + 2 )( 𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 2 𝑥 − 2 𝑥 · (𝑥 − 1) + 2 · (𝑥 − 2) 𝑥 𝑥−1 = + · · (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 2) 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 − 2 ((𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

𝑥 + 2 2 𝑥 5 𝑥 2 2𝑥 2 − 3𝑥 2 · · − · 2− · 2 𝑥 2 𝑥 𝑥 𝑥2 2...