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CBS-Kapitel 4 - Rippendecke WS 18/19...

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Hüttner/ Bulenda

Computerorientierte Baustatik: Kap. 4 Rippendecke

4-1

Kapitel 4: Rippendecke In diesem Beispiel wird eine Stahlbeton-Rippendecke mehrfach berechnet. Dabei wird gezeigt, wie Änderungen an den Steifigkeitsverhältnissen der Struktur und Änderungen in den Steifigkeiten der Lager den Schnittkraftverlauf bei statisch unbestimmten Konstruktionen beeinflussen.

4.0 Aufgabenstellung Der unten dargestellte Schnitt zeigt eine Deckenstruktur. Die Decke lagert auf Mauerwerkswänden auf. Es sollen 4 verschiedene Berechnungsvarianten V1 bis V4 untersucht werden. V1: Die Decke wird komplett als Rippendecke ausgeführt. V2: Über den Innenlagern erfolgt eine Verstärkung zur Halbmassivdecke V3: Über den Innenlagern erfolgt eine Verstärkung zur Vollmassivdecke V4: Wie V3 jedoch soll anstelle der rechten Innenwand ein Unterzug (b/h = 30 / 40 cm, Spannweite l = 7.0 m) eingebaut werden. Die beiden Außenwände werden aus Mauerwerk hergestellt, die Betondecke und der Unterzug aus Beton C 20 /25. Für alle 4 Varianten sollen die Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit gemäß DIN EN 1992-1-1ermittelt werden (Eigenlast g und feldweise Nutzverkehrslast p = 5 kN/m²). Schnitt:

30

Rippendecke:

8,60

85 30

1,85

3,25

85 30 85

Halbmassivdecke: BI-1-Kap4.docx Bauingenieurwesen

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7,60

30

4- 2

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1.25 m

Vollmassivdecke:

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4.1 Systemeingabe Zunächst muss das statische System festgelegt werden. Bei einer Geschossdecke handelt es sich prinzipiell um ein Flächentragwerk, das folglich mit der Plattentheorie ( Vertiefung KI) behandelt werden müsste. Ist die Platte jedoch in einer Richtung deutlich kürzer als in der anderen, so wird sich der Lastabtrag über die kürzere Seite einstellen. Man spricht dann von einachsig gespannten Platten. Schneidet man eine 1m-Streifen einer einachsigen Platte aus deren Mitte (also nicht neben den kurzen Auflagern) heraus, unterscheidet sich das Tragverhalten des Streifens nicht von dem eines 1m – breiten Einfeldträgers. Dies erlaubt eine erhebliche Vereinfachung der Berechnung. Wir können die Platte nämlich jetzt mit einem Stabwerksprogramm als Durchlaufträger rechnen. Die Abweichungen unseres Modells von der Wirklichkeit treten v.a. an den kurzen Rändern der Platte und in den Ecken auf. Sie müssen dort konstruktiv (Abrissbewehrung, Drillbewehrung) berücksichtigt werden.

kurze Seite b

lange Seite a > 2 b

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1m

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4- 4

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In der Variante V4 wird die rechte Innenwand durch einen Unterzug ersetzt. Dadurch ergeben sich deutliche Steifigkeitsunterschiede bei den Auflagern. Während die beiden Außenwände und die linke Innenwand alle drei gleichermaßen sehr steif sind, reagiert der Unterzug sehr viel weicher. Diese Unterschiede müssen wir berücksichtigen. Dazu ersetzen wir das starre Lager durch eine Senkfeder, die das Verhalten des Unterzuges simuliert. Die Federsteifigkeit c berechnet sich mit dem Prinzip der Virtuellen Kräfte zu:

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Damit können wir wieder unsere 5 Punkte abarbeiten, die bei jeder Systemeingabe eingegeben werden müssen, auch dann, wenn das Programm Vorbelegungen vorsieht: Material, Querschnitte, Knoten, Festhaltungen, Elemente Material Wir verwenden Beton C20/25. Gemäß DIN EN 1992 verwenden wir zur Schnittgrößenermittlung den Mittelwert des E-Moduls. Er beträgt Ecm = 30 000 N/mm² = 3 000 kN/cm². Querschnittsdefinition Wir berechnen die Querschnitte für einen 1 Meter breiten Deckenstreifen. Für die Berechnung der beiden Plattenbalkenquerschnitte gibt es mehrere Möglichkeiten: •

Querschnittsprogramm: Wir können ein allgemeines Querschnittsprogramm (z.B. SOFiSTiK AQUA, MB 730). verwenden, bei dem der Querschnitt als Polygon eingegeben wird oder als parametrisierter Typenquerschnitt vorhanden ist.

•

Verwendung eines Nachschlagwerkes, z.B. SBT S.4.32: Dort sind die Trägheitsmomente für Plattenbalken tabelliert. Nachteil: Man muss ev. interpolieren. Daher wird der Profi die nächste Variante vorziehen.

•

Programmierung der in den SBT angegeben Formeln. Hat man die Formeln einmal in MS-EXCEL oder im Taschenrechner programmiert, lässt sich der Plattenbalken spielend berechnen. b A st = b 0 ⋅ (d 0 − d )

APl = b ∙ d

d

A = APl + ASt IPl =

A pl ⋅

d² 12

Iy = Ipl + Ist +

I st = A st ⋅

A pl ⋅ A st A pl + A st

⋅

(d o

2

− d)

d0

12

d 2o 4

b0

Für die Rippendecke erhalten wir:

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Für die Halbmassivdecke:

Für die Vollmassivdecke:

Knoten Um in den Varianten 2 und 3 die Querschnittsänderungen bequem eingeben zu können, müssen wir an den geplanten Sprungstellen Knoten vorsehen. Zusätzlich benötigen wir Knoten an den Lagern. In der Summe also 8 Knoten.

Systemabmessungen in m

z X

Knoten

1

2

3

4

5

6

7

8

x [m] z [m] Festhaltung

Stäbe

1

2

3

4

5

6

7

von bis Querschnitt Die z-Koordinate wird für alle Knoten zu 0 gesetzt. Dies ist streng genommen nicht richtig, da die Schwerpunkte der unterschiedlichen Querschnitte unterschiedlich hoch liegen. Für dieses Biegetragwerk spielt dies aber keine Rolle. Anders allerdings bei Stützen. Dort erzeugt die Normalkraft am Versatz der Schwerlinie ein zusätzliches Moment.

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Festhaltungen Unser System verfügt über 4 Lager. Die Knoten 1,3,6 und 8 sind in der z-Richtung gehalten. Damit die Systemmatrix nicht singulär wird, müssen wir auch eine Festhaltung gegen eine Verschiebung in xRichtung vorsehen. Auch wenn keine Lasten in x-Richtung angreifen, darf das System nicht verschieblich sein. Es genügt einen Knoten in x-Richtung festzuhalten. Für die Variante 4 müssen wir das starre Lager im Knoten 6 durch eine Senkfeder ersetzen. Hinweis: Im Programm MB 600 muss die Feder zusätzlich zum Lager definiert werden, in Programmsystem SOFiSTiK dagegen anstelle des Lagers. Achtung: Die Tatsache, dass wir gelenkige Lager definieren, heißt nicht, dass wir ein Gelenk im Stab erzeugen. Der Stab läuft über den Lagern biegesteif durch, das bedeutet die beiden Punkte rechts und links vom Lager erfahren keine Relativverdrehung zueinander, sie können sich aber absolut um den gleichen Winkel verdrehen, da die Festhaltung von außen die Verdrehung an dieser Stelle nicht behindert. Elemente Wir definieren die Biegestäbe von Knoten zu Knoten. Dabei wäre es falsch, nur von Lagerknoten zu Lagerknoten zu gehen, die Knoten 2,4,5 und 7 wären dann ohne Verbindung zum Tragwerk.

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4.2 Einwirkungen LF 1: Ständige Einwirkungen, Eigenlast Stahlbeton C20/25

γ = 25 kN/m³

Damit ergeben sich die Lasten pro lfd. m zu: Rippendecke:

g = A ⋅ γ = 1251 cm² ⋅ 10 − 4

cm² kN kN ⋅ 25 = 3.13 m² m³ m

Zuschlag für die Querrippen: 0.27 kN/m somit g = 3.4 kN/m Die Eigengewichte der Halbmassiv- und der Vollmassivdecke gewinnen wir aus deren Flächenverhältnis zur Rippendecke:

Halbmassivdecke: g = 3.4

Vollmassivdecke: g = 3.4

kN 2226 kN ⋅ = 6.05 m 1251 m

kN 3200 kN ⋅ = 8.70 m 1251 m

aus Belag und abgehängter Decke kommen jeweils noch 1.60 kN/m dazu, so dass wir insgesamt erhalten: Rippendecke:

g = 3.40 kN/m + 1.60 kN/m = 5.00 kN/m

Halbmassivdecke:

g = 6.05 kN/m + 1.60 kN/m = 7.65 kN/m

Vollmassivdecke:

g = 8.70 kN/m + 1.60 kN/m = 10.30 kN/m

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5.0

LF 1: Rippendecke

7.65 5.0

5.0

7.65

5.0

LF 1: Halbmassivdecke 10.3

10.3 5.0

5.0

5.0

LF 1: Vollmassivdecke Lastkontrolle Um später die Ergebnisse des Programms kontrollieren zu können, berechnen wir die Lastsumme: Summe der vertikalen Lasten: Rippendecke:

Halbmassivdecke:

Vollmassivdecke:

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LF 2 bis 4: Verkehrslast Die Verkehrslast p = 5 kN/m² soll feldweise veränderlich sein. Für jedes unserer drei Felder benötigen wir also einen eigenen Lastfall. 5.0

LF 2: p im 1. Feld 5.0

LF 3: p im 2. Feld 5.0

LF 4: p im 3. Feld Lastkontrolle Um später die Ergebnisse des Programms kontrollieren zu können, berechnen wir die Lastsumme: Summe der vertikalen Lasten: LF 2: LF 3: LF 4:

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Zwischenergebnisse – Momentenverläufe der Einzellastfälle -39.9 -10.2

-29.8

34.1

41.1

V1: Rippendecke: LF 1: g

M [kNm]

-37.7

7.9 42.0

V1: Rippendecke: LF 2: p im 1. Feld

M [kNm]

-8.5 -7.9

16.2

V1: Rippendecke: LF 3: p im 2. Feld

M [kNm]

-29.1

5.7

V1: Rippendecke: LF 4: p im 3. Feld

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M [kNm]

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34.4

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4- 12

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-35.7 -14.9

32.2

37.6

V2: Halbmassivdecke LF 1: g

M [kNm]

-47.5

10.2 38.0

V2: Halbmassivdecke LF 2: p im 1. Feld M [kNm]

-9.4

-7.8

15.8

V2: Halbmassivdecke LF 3: p im 2. Feld M [kNm]

-34.6

7.3

V2: Halbmassivdecke LF 4: p im 3. Feld M [kNm]

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32.1

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Computerorientierte Baustatik: Kap. 4: Rippendecke -54.8 -38.9 -15.6

31.5

36.2

V3: Vollmassivdecke LF 1: g M [kNm] -50.8

11.0 36.7

V3: Vollmassivdecke LF 2: p im 1. Feld M [kNm]

-9.6

-7.8

15.7

V3: Vollmassivdecke LF 3: p im 2. Feld M [kNm]

-36.4

7.9 31.4

V3: Vollmassivdecke LF 4: p im 3. Feld M [kNm]

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-66.6 -22.3 -10.0

31.7 38.5

V4: Vollmassivdecke mit Feder: LF 1: g

M[kNm]

-48.2

7.4

37.7

V4: Vollmassivdecke mit Feder: LF 2: p im 1. Feld

-11.7

M[kNm]

-4.1

16.7

V4: Vollmassivdecke mit Feder: LF 3: p im 2. Feld

M[kNm]

-25.6

0.2

35.9

V4: Vollmassivdecke mit Feder: LF 4: p im 3. Feld

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M[kNm]

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4.3 Überlagerung - Lastfallkombinationen Teilsicherheitsbeiwerte Die Regeln für das Nachweisverfahren mit Teilsicherheitsbeiwerten enthält DIN EN 1990, Kapitel 6. Die Teilsicherheitsbeiwerte für den Grenzzustand der Tragfähigkeit sind in der Tab.2.1N der DIN EN 1992-1-1 gegeben. Wir entnehmen daraus: Ständige Einwirkungen

Veränderliche Einwirkungen

γG

γQ

günstig

1.0

0

ungünstig

1.35

1.5

Auswirkung

Auf den ersten Blick gibt es drei Faktoren, die den Aufwand der Berechnung in die Höhe treiben: 1. So müssten wir unser Eigengewicht feldweise mit dem Teilsicherheitsbeiwert γG = 1.0 oder γG = 1.35 ansetzen, je nach dem ob es günstig oder ungünstig wirkt. Beispielsweise wirkt das Eigengewicht im 2. Feld unseres Durchlaufträgers günstig, wenn das maximale Feldmoment im ersten Feld ermittelt werden soll und ungünstig, wenn das maximale Feldmoment im 2. Feld ermittelt werden soll. Dies ist jedoch gemäß DIN EN 1992-1-1/NA in unserem Fall der linear-elastischen Berechnung nicht erforderlich: „Bei nicht vorgespannten durchlaufenden Bauteilen des üblichen Hochbaus brauchen, mit Ausnahme des Nachweises der Lagesicherheit nach DIN EN 1990, Bemessungssituationen mit günstig wirkenden ständigen Einwirkungen bei linear-elastischer Berechnung nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Konstruktionsregeln für die Mindestbewehrung eingehalten werden. (NCI ZU 5.1.3 (NA.4)). 2. Gemäß DIN EN 1990, 6.3.2 (3) müssen die ungünstig wirkenden ständigen Einwirkungen mit dem oberen Bemessungswert Gd,sup = γG,sup⋅ Gk angesetzt werden und die günstig ständig wirkenden Einwirkungen mit dem unteren Bemessungswert Gd,inf = γG,inf⋅ Gk. Hier rettet uns ebenfalls die DIN EN 1992-1-1/NA: „Bei durchlaufenden Platten und Balken darf für ein und dieselbe unabhängige ständige Einwirkung (z. B. Eigenlast) entweder der obere oder der untere Wert γG in allen Feldern gleich angesetzt werden. Dies gilt nicht für den Nachweis der Lagesicherheit nach DIN EN 1990.“ (NCI ZU 5.1.3 (NA.3)) 3. Das feldweise Auftreten der Verkehrslast erzeugt drei veränderliche Einwirkungen, deren gemeinsames Auftreten durch Kombinationsbeiwerte ψ geregelt wird. Für Hochbauten jedoch dürfen nach (DIN EN 1990, Tabelle A1.1?) DIN 1055-100, A.1, Tabelle A.1 die drei Lastfälle als einer unabhängigen Einwirkung zugehörig gerechnet werden. Wir erhalten also für alle drei Verkehrslastfälle den gleichen Kombinationsbeiwert. Damit verbleibt uns nurmehr die vorherrschende veränderliche Einwirkung und das Konzept der Kombinationsbeiwerte gemäß DIN 1055-100, 9.4 kommt hier nicht zur Anwendung. BI-1-Kap4.docx Bauingenieurwesen

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Einwirkungskombinationen - Lastfallkombinationen Unsere Einwirkungskombination für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit lautet damit: Ed = E { γG ·Gk + γQ ⋅ Qk} Für unsere vier Lastfälle ergeben sich damit folgende Kombinationen

LFK

LF 1: g

LF 2: p1

1

1.35

2

1.35

3

1.35

4

1.35

5

1.35

1.50

6

1.35

1.50

7

1.35

8

1.35

LF 3: p2

LF 4: p3

1.50 1.50 1.50

1.50

1.50 1.50 1.50

1.50

1.50

1.50

Zur Ermittlung der Grenzlinien lässt sich die Programmautomatik nicht nutzen. Wir definieren selbst Einwirkungskombinationen.

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Die Momentenverläufe der 8 Lastfallkombinationen für die Variante 1 sind im Folgenden beispielhaft dargestellt. -53.90

-40.19

55.5 2

46.07

V1: LFK 1: 1.35 g M[kNm]

-111 -28.39

51.18 119

V1: LFK 2: 1.35 g + 1.5⋅⋅p1

M[kNm]

-65.71

-52.99

40.82

50.72

V1: LFK 3: 1.35 g + 1.5⋅⋅p2

M[kNm]

-45.38

-83.83

59.12 97.68

V1: LFK 4: 1.35 g + 1.5⋅⋅p3

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M[kNm]

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-122 -41.19

45.65 11 4

V1: LFK 5: 1.35 g + 1.5⋅⋅p1 + 1.5⋅⋅p2

M [kNm]

-102 -72.04

103

122

V1: LFK 6: 1.35 g + 1.5⋅⋅p1 + 1.5⋅p3

M [kNm]

-96.63 -57.18

54.17 92.34

V1: LFK 7: 1.35 g + 1.5⋅⋅p2 + 1.5⋅⋅p3

M [kNm]

-114

-84.84

97.26

117

V1: LFK 8: 1.35 g +1.5⋅⋅p1 + 1.5⋅⋅p2 + 1.5⋅⋅p3

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M [kNm]

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Computerorientierte Baustatik: Kap. 4: Rippendecke

Grenzlinien -122.3 -96.6

-52.4

10.4

V1: Momentengrenzlinie [kNm] 102.7 121.8

V2: Momentengrenzlinie [kNm]

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V3: Momentengrenzlinie [kNm]

V4: Momentengrenzlinie [kNm]

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4.4 Aufgabenstellung Für die vier Berechnungsvarianten sollen die Extremwerte der angegebenen Momente und Auflagerkräfte in die Tabelle eingetragen werden und die prozentualen Differenzen ermittelt werden.

A

M F1 [kNm]

B

M 3 [kNm]

E

max M F2 [kNm]