Centros de MASA Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios resueltos de Centro de Masa, su cálculo....

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4.7 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo. Momentos y Centros de Masa Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta

Sea

la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si está a la izquierda de

El momento de

general con

y si

)

con respecto a

masas

está a la derecha de

está definido como

o en

y el centro de masa del sistema como

Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y están localizadas en los puntos (1,0) ( (-2,0) (-3,0) (; este es el punto en que se equilibraría el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no tiene peso y que tiene las masa así distribuídas Si ahora se toman masas puntuales

distribuidas en diferentes puntos del plano

Momento con respecto al eje y = ( porque eje

)

es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia dirigida al

Momento con respecto al eje x = ( porque eje

=

(

es la ordenada del punto y por lo tanto la distancia dirigida al

)

=

es sel centro de masa del sistema

Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos están localizadas respectivamente en los puntos (1,1) (2,3) (4,6) (-3,1) (-2,-2) (-4,-1) . Encontrar el centro de masa del sistema

En el punto

se encuentra localizado el centro de masa de este sistema.

Este sería el punto donde se equilibraría, sostenido por un alfiler, el sistema suponiendo que las masas están distribuidas sobre una lámina extremadamente delgada que no tiene peso. CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA. La región plana se va a tomar como una lámina bidimensional de densidad

( en g/cm

o kg/m

o lb/p

)

Si una región tiene un ejes de simetría, el centro de masa (si la densidad es uniforme ) estará sobre el o los ejes de simetría: Así un circulo tendrá su centro de masa en el centro que es el punto de intersección de los diámetros, un rectángulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de intersección de las rectas que bisectan sus lados.

Sea la región plana limitada por la curva

, las rectas

,

y el eje

.

Consideremos una partición del intervalo Se toma Consideremos el

. rectángulo. Este tiene como base

y altura

.

El centro de masa de un rectángulo como ese está localizado en

El momento de un rectángulo con respecto al eje

es

el momento de un rectángulo con respecto al eje

es

y

Por lo tanto Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la partición tiende a límite de cada una de las sumas

,

y para tomar el

cuando

Como siempre es mejor tratar de manejar el concepto que usar las ``fórmulas'' porque así se puede adaptar a otro tipo de situación por ejemplo para cuando en la región la curva está dada en términos de intervalo de integración.

así como el

La densidad termina simplificándose al ser uniforme y la expresión de cada denominador termina siendo el área de la región.

Ejemplo 3: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función

y el eje

Tomando el arco para

que es una respuesta lógica puesto que la recta quedar más hacia

que hacia

por la forma de la gráfica

es eje de simetría y que

debe

Ejemplo 4:Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva

que también es una respuesta lógica dado que

y el eje

.

es eje de simetría, que

tiene que

ser negativo y por la forma de la gráfica más hacia 0 que hacia el vértice que queda en CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS. Basado en el mismo proceso que se hizo para la región plana limitada por una sola curva , usando centro de masa de un iésimo rectángulo y siendo

Lo cúal conlleva a las integrales

habiendo simplificado

para todo

se deduce

E

5: Encontrar el centro de masa de la región limi

or l

. Los puntos de intersección de las curvas son

y

Siendo la recta

icas de

y

eje de simetría de la región parece razonable la respuesta

Ejemplo 6: Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva recta Los puntos de intersección de las dos gráficas se obtienen con

y

los puntos son

y

y la

Los centros de masa obtenidos cuando la densidad es uniforme se llaman centroides

Ejemplo 7: Encontrar el centroide de la región plana de densidad compuesta del triángulo de vértices en los puntos

y

y por el cuadrado localizado inmediatamente debajo del triángulo

1) Sin integración

Masa del triángulo

Como la región tiene un eje de simetría que es el eje Las medianas del triángulo( rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto ) son ejes de simetría y éstas se intersectan a

de la distancia del lado correspondiente,en el punto que será el centroide del

triángulo; por lo tanto éste estará en

y como

Para el cuadrado: Masa

Centro de masa en

El momento total es la suma de los momentos:

La masa total es la suma de las masas:

el centroide de la región plana queda entonces en 2) Utilizando integración:

Las ecuaciones de las rectas que conforman los lados del triángulo son

Por simetría

si

y

si

Masa región)

( se multiplica por dos por simetría de la

el centroide de la región plana queda localizado en...