Chapter VIII F III Fuerza Magnetica Y CA (Reparado) PDF

Preview

Summary

8 PROBLEMAS RESUELTOS.1. Un electrón es lanzado dentro de un campo####### magnético dado por ⃗ B =(1,4⃗ i +2,1⃗ j ) T.Determine la expresión vectorial de la fuerza magnética sobre dicho electrón si se mueve con####### una velocidad ⃗ v =(3,7. 10 5 ⃗ j ) m/s.Solución5 x y zx y z 19145####### i j k i ...

Description

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

8.12 PROBLEMAS RESUELTOS. 1.

W E k

Un electrón es lanzado dentro de un campo  magnético dado por B =(1,4 i+ 2,1 j) T. Determine la expresión vectorial de la fuerza magnética sobre dicho electrón si se mueve con una velocidad  v =(3,7. 105 j) m/s.

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

1 mv2  q (  V) 2 (3)

Solución La velocidad de la partícula será

i j k k 5 vz  0 3,7.10 0 Bx By Bz 1,4 2,1 0   F   1, 6.10 19 [ 1, 4(3, 7.105 )]k   F  (8, 3.10 14 k ) N Rt a

i    F  qvxB  vx

2.

j vy

v

Debido a que la partícula describe un movimiento circular, la fuerza magnética siempre se dirige al centro de la trayectoria. Entonces se tiene

r

 k

r

0 2

6

1 0, 2T

1 2 mq ( V ) B q

2(3,3,10  27 kg)(1000V ) 19 2(1,6.10  C )

r 2,27.10  2 m

a 0,958.10 (12.10 i  9.10 k )    a (11.496 i  8,622 k ).1014 m / s 2  a 14,37.101 4 m / s 2 3.

mv m  q B q B r

Solución

8

v2 r 2 q ( V ) m

 Fn man  qvB m

Un protón se está moviendo con una velocidad v =(6. 106 j) m/s en una región del espacio en donde el campo magnético viene expresado por la ecuación  B =(3,0 i −1,5, j+ 2 k ) T. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración en este instante?.

F B ma q pvxB   i j 1,6.10  19  qp   6 a  (vxB )  6.10 0 m 1,67.10  27 3 -1,5

2q ( V ) m

Rta

6

4.

Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, q=2 |e| ) es acelerada desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa en una región donde existe un campo magnético B=0,2 T , perpendicular a la dirección de su movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe la partícula alfa?.

Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene una masa de 15 g. La varilla se encuentra suspendida en un plano vertical por un par de alambres flexibles dentro de un campo magnético B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente debe fluir a través de la varilla para que la tensión en los alambres soportantes sea igual a cero?

Solución El trabajo que realiza el campo eléctrico en la región donde existe una diferencia de potencial sobre la partícula alfa es

W q ( V )

Solución Para que las tensiones en los alambres verticales sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar dirigida hacia arriba para que equilibre al peso. Entonces aplicando la regla de la mano derecha so obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia

(1)

Por otro lado el trabajo es igual a la variación de energía cinética, es decir

361

5

1

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra en el DCL de la varilla

dF  IdlxB Usando coordenadas cilíndricas tenemos

dF I (  dle ) x ( Bsene r B cos e z)

dF  IBdlsen ez  IBdl cos  er Debido a la simetria que presenta la figura, las componentes radiale se cancelan mutuamente ya que existe una componente idéntica en el lado izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z

La fuerza magnética se expresa mediante la ecuación





FB  I dlxB  I  dli x( Bk )   FB IlQP Bj  FB IlQP B Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo será

 Fy 0  FB W mg IlQP B mg I

F  dF IBdlsen ez IBsen ez dl

2

mg 0,015kg (9,8m / s )  0,72 m(0,54 T) lQP B

C

F  2 IBsen ez  F  2 IBsen

I 378 mA Rt a 5.

C

Un imán en forma de barra con su polo norte arriba es localizado simétricamente en el eje y debajo de un anillo conductor de radio r el cual transporta una corriente I en sentido horario como se muestra en la figura. En la localización del anillo, el campo magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?

La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya que está dirigida hacia arriba en la dirección +z. 6.

Solución Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se divide a éste en elementos diferenciales de corriente pequeños Id l , como se muestra en la figura. La fuerza sobre el elemento será

361

5

1

Un protón, acelerado por una diferencia de potencial ∆ V =500 kV atraviesa un campo magnético homogéneo transversal cuya inducción es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo  de desviación del protón respecto a la dirección inicial del movimiento, (b) el desplazamiento vertical y1 al salir de la región del campo magnético (c) el momento lineal de la partícula cuando sale del campo magnético. Considere que mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C.

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

Solución

d 10  R 20  30

sen 

Datos e incógnitas.

V 500 V B 0,51T d 10.10  2 m mp 1,67.10 27 kgqp 1,6.10 19C   ???; y1 ???; p ???

Se procede ahora a determina el desplazamiento vertical

Al ingresar el protón en la región donde existe un campo magnético, experimentará una fuerza expresada como

y1 R  R cos 20.10 2 m[1  cos 30 ]

Fm q vxB q p ( v0iˆ) x(  Bkˆ )  Fm q p v0 Bjˆ

Finalmente el vector momento lineal está dado por

Fm q pv 0B

 y1  2,679cm

p mv mp [v0 cos 30 iˆ  v0 sen 30 jˆ ]

 27 6 p 1, 67.10 kg (9,788.10 m / s)[0,8iˆ 0,5 ˆj ]  21 21 p [14.16.10  iˆ  8,17.10  ˆj] kg.m / s

(1)

Debido a que el protón en el interior del campo describe un movimiento circular, la aplicación de la segunda ley de Newton nos da

7.

 Fn man q p v0 B m

R

v02 R

mv 0 qp B

(2)

Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada sobre dos rieles paralelos de longitud l separados por una distancia d, como se muestra en la figura.la varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo largo de los rieles los cuales están ubicados en un  campo magnético uniforme dirigido B verticalmente hacia abajo. Si la barra está inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad cuando abandona los rieles.

Ahora se procede a determinar la velocidad con que ingresa el protón al interior del campo magnético. Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

1 2 mv q V 2 0 1 [1,67.10 27 kg ]v20 1,6.10 19 C [5.105 V ] 2 v0 9,788.106 m / s (3)

Solución Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de referencia mostrado en la figura

En la figura se muestra la trayectoria descrita por el protón en el campo y la orientación del vector velocidad con que abandona el campo

La fuerza magnética que actúa sobre la barra cilíndrica será





F I dlxB I dli x(  Bk )   F IBd ( j ) 361

5

1

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la región es.

Fm q evxB q e (v 0iˆ)x ( Bkˆ )  Fm  qe v 0Bjˆ

  f l  f Wi  f  F.ds  IBd ( j ).dxj IBd dx i

El módulo de la fuerza magnética será

0

i

Optaciano Vásquez García

Wi f  IBld

Fm q ev0 B

Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se tiene.

(2)

Debido a que el electrón en el interior del campo describe un movimiento circular,

Wi f Ek (E k ,tras  E k ,rot ) f  (E k ,tras  E k , rot ) i Puesto que el momento de inercia de la barra es 2 I =m R /2 , y cuando la barra rueda sin deslizar se cumple que v =ωR , la ecuación anterior se escribe en la forma

1 1 3 IBld  mv 2  mv 2  mv 2 2 4 4 v 8.

4I l B d 3m

La aplicación de la segunda ley de Newton nos da

 Fn me an

Un electrón es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de V = 500 V, entonces ingresa dentro de un campo magnético B uniforme. Este campo hace que la partícula recorra media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el radio de su órbita?.

2

qev0 B  me

R

me v0 qe B

v0 R

(3)

De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

v v q  eB   r (m ev / q eB ) m e 2 qe  B T me B

2 me 2 (9,1.10 31 kg)  1, 6.10 19 C[4.10 9 s ] qe T

B 8.93.10  Tesla 3

Solución

Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3) resulta

En primer lugar se determina la velocidad del electrón con que ingresa al campo magnético.

ve 

m v 9.1.10-31kg [1,33.107 m / s] R  e 0=  qe B 1,6.10-19C[8,93.10 3T ]

2 qe  V 2(1,6.10  19 C)(500V )  me 9,1.10 31 kg v e 1,33.10 7m / s

R 8, 43 mm

(1) 9.

Al ingresar al campo experimenta una fuerza magnética expresada por

361

5

(4)

1

Rta

Una partícula cargada con q = +6,6 C, se mueve en una región del espacio en donde existe un campo eléctrico cuya magnitud es 1250 N/C dirigido en la

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

8, 25.10 3  [6, 6.10 6 C ][v][1, 02T ]  6, 23.10 3 N

dirección positiva del eje x, y un campo magnético de magnitud 1,02 T dirigido en la dirección positiva del eje z. Si la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre la partícula es 6,23.10-3 N y se encuentra dirigida en la dirección +x. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad de la partícula. Asuma que la velocidad de la partícula se encuentra en el plano x-y.

v  0, 255.10 3 m / s  v [ 255.103 ˆj] m/ s

Rta

10. La espira de corriente mostrada en la figura, consiste en un lazo con dos semicírculos de diferente radio. Si la corriente en el circuito es I = 2 A, y los radios son a = 3,00 cm y b = 9,00 cm. Determine el momento dipolar magnético de la espira de corriente.

Solución La dirección del campo eléctrico, el campo magnético, y la fuerza involucrada en el problema se muestran en el diagrama

Solución El momento dipolar magnético viene expresado por Estrategia. Debido a que la partícula está cargada positivamente el campo eléctrico E, ejerce una fuerza en la dirección +x. Por otro lado debido a que la fuerza neta que actúa sobre la partícula está en la dirección +x, la fuerza magnética puede estar en la dirección x, pero podría tener la misma dirección o la opuesta. Para ver ello comparamos las magnitudes relativas de la fuerza neta y la fuerza eléctrica para decidir con cuál de estas dos direcciones coincide la fuerza magnética. Debido a que la dirección de la fuerza neta es conocida, se usa la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la velocidad de la partícula.

 B NIAeˆ n   B 1[2,5 A] [(0,09 m) 2  (0, 03m) 2 ]( kˆ) 2   B  0,035 A m2 kˆ 11. Una corriente de 200 mA es mantenida en una bobina circular compuesta por 50 vueltas de 25 cm de radio cada una. Si dicha bobina es ubicada en un campo magnético de 0,85 T con su área paralela al campo como se muestra en la figura. Determine: (a) el momento dipolar magnético de la bobina y (b) la magnitud del torque magnético ejercido por el campo magnético sobre la bobina.

La fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula es

Fe qE 6,6.10  6 C[1250 iˆ N / C]  Fe 8, 250.10 6 N (1) Debido a que la fuerza neta es menor que la fuerza magnética se encuentra dirigida en sentido –x. De acuerdo con la regla de la mano derecha se determina que la velocidad de la partícula se encuentra en sentido –y.

Solución Parte (a). Cálculo del momento dipolar magnético

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene

B  NIAeˆn   B 50[0, 2A][ (0, 25m )2 ( kˆ) 2  B [  0,982 kˆ] A m 2

 F Fneta  Fe  Fm Fneta qE  qvB Fneta

Parte (b). Cálculo del torque magnético

361

5

1

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

M  B xB [  0,982 kˆ] x[0,85 iˆ]  M [0,84 ˆj ]T A m 2 M (0,84) T A m 2 12. Un alambre masa es m = 10 g está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se muestra en la figura en un campo magnético dirigido hacia el interior de la página y cuyo módulo es B = 1,25 T. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la corriente necesaria para eliminar la tensión en los alambres flexibles?. Considere que el sistema se encuentra en un plano vertical y que el radio del alambre es R = 10 cm.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

 Fy 0  Fm mg 2IRB mg I

mg 10.10 3 kg[9,8m / s2 ]  2 RB 2[0,1m(1, 25T )] I 392 mA

13. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,15 T está dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un positrón que se mueve a 5.106 m/s entra en el campo siguiendo una dirección que forma un ángulo θ = 85° con el eje de las x como se muestra n la figura. Se espera que el movimiento de la partícula sea helicoidal. Determine: (a) el paso de hélice p y el radio r de la trayectoria.

Solución Para que sean eliminadas las tensiones en los alambres flexibles es necesario que la fuerza magnética que actúe sobre el alambre esté dirigida hacia arriba. Por ello se usa la regla d la mano derecha y se observa que la corriente se dirige de izquierda a derecha como se ve en la figura

Solución La fuerza magnética sobre la partícula cargada será

Fm q (vxB )  Fm q [v0x iˆ  v0y ˆj ]x [B iˆ ]  Fm  q [v 0 y B kˆ ] (1)

La fuerza magnética será

Fm I (dl x B ) I [dl ]xB  Fm  I  (dlsen iˆ  dl cos ˆj ) x [ B kˆ]     Fm IRB   ( send  iˆ  cos  d  ˆj  x kˆ  0   F m  2IRB ˆj

Las componentes de la fuerza serán

Fx 0 Fy 0 Fz  q v0 y B

(2) (3) (4)

Las ecuaciones (2) y (3) indican que las componentes de la velocidad no varían en estas

En la figura se muestra el DCL del alambre

361

5

1

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

direcciones. Es decir el protón se moverá a lo largo del eje x con velocidad constante si ser perturbado por el campo magnético B debido a que v0x es paralelo a B, siendo su rapidez.

Optaciano Vásquez García

6 6 p v 0x t (5.10 cos85  m / s)[0, 4 3.10  s ] p  0,187 m

6 v0 x v0 cos85 5.10 cos85

14. Un disco de radio R tienen una densidad de carga uniforme σ (C/m2). El disco rota alrededor de su eje central con una velocidad anular ω rad/s con su eje perpendicular a un campo magnético uniforme  B=B ^j . (a) Encuentre su momento dipolar magnético, (b) Muestre que el torque magnético sobre el disco tiene una magnitud de

v0 x 0, 436.10 m / s 6

Sin embargo la componente y de la velocidad es perpendicular al campo magnético. Por ello el protón experimentará una fuerza Fz dirigida perpendicularmente al plano que contiene a v0y y al campo magnético B. Dicha fuerza hará que gire el protón con una velocidad angular  alrededor de un eje paralelo al campo magnético (eje x) describiendo un círculo de radio R como se muestra en la figura.

1 4 M = σωπB R . 4

Solución El disco se divide en elemento de carga dq en forma de anillos de radio r y espesor dr como se muestra en la figura

Aplicando la segunda ley de Newton en dirección centrípeta se tiene

 Fn man  Fm m q v0 y B m R

v20 y R

2 0y

v

R

mv0 y qB

 27

1.6725.10 kg (5.106 sen85 m / s) R 1, 6.10  19 C[0,15T ] R  0,0347 m

La densidad de carga dq será

dq  dq  dA dA dq  (2  rdr) (1)

El período no es más sino el tiempo que demora en dar una vuelta completa. Esto es

T

2 mp qp B





2 (1, 6725.10  27 ) 1, 6.10 19 (0,15)

Si el disco gira a una velocidad angular  constante, la corriente generada por tal rotación será

T  0, 43 s El movimiento descrito por el protón es helicoidal por tano el avance que experimenta en el eje x se denomina paso de hélice y está dado por

dI 

361

5

1

dq 2 rdr    rdr T 2 / 

(2)

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Optaciano Vásquez García

El momento dipolar magnético está dado por

d B (dI )Aeˆn

 d  B [rdr ][ r 2 ]kˆ  d  B  r3 dr kˆ (3) Integrando expresión (3) resulta R   B   r 3dr kˆ 0

  R4  B  k Rt a 4

8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS.

Parte (b). Para determinar el torque magnético, primero se determina el torque diferencial producido por el momento dipolar magnético diferencial. Esto es

16. Un protón viaja con una velocidad de 3.106 m/s a un ángulo de 37° en la dirección del campo magnético con un valor de 0,3 T en la dirección de las y positiva. Determine: (a) La magnitud de la fuerza magnética sobre el protón y (b) su aceleración

dM  (d B ) x ( B ) [ r 3dr kˆ ]x (B ˆj )  dM   B r3 dr iˆ

17. Un protón se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme B a una velocidad de 1.107 m/s y experimenta una aceleración de 2.1013 m/s2 en la dirección positiva de las x cuando su velocidad está en la dirección positiva de las z. determine la magnitud y dirección del campo magnético.

Integrando la expresión anterior se tiene

 R M   B r3 dr iˆ 0

   BR 4 ˆ M  i 4   BR 4 M  R ta 4

18. Una partícula con una carga de +8,4 μC y una velocidad de 45 m/s entra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 0,3 T. Para los casos mostrados en la figura, encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre la partícula.

15.

19. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura tiene una masa por unidad de longitud igual a 0,040 kg/m. Determine la corriente que debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea igual a cero cuando el campo magnético tiene un valor de 3,6 Tesla dirigido hacia la página. ¿Cuál es la dirección de I? .

361

5

1

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

20. Un alambre doblado en forma de semicírculo, de radio R = 0,25 m , forma un circuito cerrado y conduce una corriente I = 3 A. el alambre está en el plano xy y con un campo...