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BUSQUEDA DEL TESORO...

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INSTITUCION UNIVERSITARIA POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE NEGOCIOS GESTION Y SOSTENIBILIDAD CONTADURIA PÚBLICA

BUSQUEDA DEL TESORO

BEJARANO MURCIA DIEGO ALFONSO HERRERA BERMUDEZ LADY JOHANA RAMIREZ OVALLE SANDRA MILENA SÁNCHEZ ROZO ANGIE LORENA

CIENCIAS DE LAS MATETICAS

CLARA PUENTES

BOGOTA D.C 4/05/2021

INDICE Actividad 1 - Semana 3:     

Teorema de Pitágoras. Área de regiones planas. Sistemas de ecuaciones lineales. Distancia entre puntos. Longitud y latitud geográfica

Actividad 2 - Semana 4:    

Crucimat Descuentos centro comercial Materiales para adecuación Laberinto

Actividad 3 - Semana 5:    

¿Otro laberinto? Granja de animales Lanzamiento Comparación de venta

Actividad Final: 

¿Dónde está el tesoro?

INTRODUCCIÓN

El uso de herramientas básicas de la matemática tiene una gran importancia práctica ya que permite dar solución a un amplio rango de problemas, pues se aplican en una enorme variedad de procesos en áreas como ingeniería, economía, computación y matemáticas relacionados con objetos físicos y/o abstractos, con el propósito de extraer información que permita establecer propiedades y relaciones entre conjuntos de dichos objetos. Con dichas herramientas es posible producir modelos matemáticos que permitan describir el proceso o fenómeno de interés y realizar así predicciones en sobre su comportamiento.

OBJETIVOS 1. Fomentar el desarrollo de los estudiantes en habilidades básicas matemáticas tales como: operaciones aritméticas, expresiones algebraicas, ecuaciones análisis e interpretación de datos y presentación de resultados. 2. Estimular el trabajo en equipo como herramienta fundamental para el desarrollo profesional.

Actividad 1 - Semana 3: 

Teorema de Pitágoras.

Respuesta:Hace mucho tiempo un matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante de los triángulos rectángulos. El teorema establece que en todo triangulo rectángulo (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con ángulo recto), la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Formula del teorema de Pitágoras

Ejemplo: un triángulo de lados "3, 4, 5"tiene un ángulo recto a continuación aplicamos la formula si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado (solo funciona en triángulos rectángulos). 

Área de regiones planas.

Respuesta: El área de una región plana es igual a la integral de las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada. Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos. Supongamos que

son funciones continuas y llamemos Ω a la región del plano

comprendida entre las curvas e para . Se dice que Ω es una región de tipo I. Puedes representar gráficamente dicha región con la orden "tipo1[{f,g},{x,a,b},opts]" (que admite opciones como "Plot"). Experimenta con distintas funciones. Aquí tienes unos ejemplos.

Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de Ω son iguales a su área viene dada por

por lo que

. Observa que esta integral expresa el área de Ω

como límite de las sumas de Riemann , lo que tiene una sencilla interpretación que puedes visualizar con la orden "tipo1sup[{f,g},{x,a,b,n},opts]" (admite opciones como "Plot") que representa aproximaciones superiores al área de Ω dividiendo en subintervalos y eligiendo en cada uno de ellos el punto en el que la función alcanza su máximo absoluto en dicho subintervalo. Significado análogo tiene el comando "tipo1inf[{f,g},{x,a,b,n},opts]". Prueba con distintas funciones. Los siguientes ejemplos son ilustrativos. 

Sistema de ecuaciones lineales

Respuesta: En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: 3x1+ 2x2 + x3=1 2x1+ 2x2 + 4x3=-2 -x1+ 1/2x 2- x3=0 El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal, así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

La intersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta. Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente. En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie. Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica. 

Distancia entre dos puntos

Respuesta : cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)







d = 5 unidades

 

Longitud y latitud geográfica

Respuesta: como principal debemos conocer que es la latitud y que es la longitud la latitud es la distancia, medida en grados, que existe entre cualquier paralelo y la línea del Ecuador. La latitud de un punto se mide hacia el Norte o el Sur del paralelo cero. Si la latitud es Norte, significa que la zona analizada se ubica en el hemisferio norte, y si es Sur, quiere decir que está en el hemisferio Sur. esta se puede representar en dos formas +Indicando a qué hemisferio pertenece la coordenada +Añadiendo valores positivos -norte- y negativos -surcomo ejemplo podemos tomar Así, diez grados en latitud norte podría representarse 10°N ó +10°; y diez grados sur podría ser 10°S ó -10°.

por otro lado La longitud es la medida del arco comprendido entre el meridiano de Greenwich (meridiano cero) y el meridiano que pasa por el punto. Puede medir de 0° a 180° y ser Este u Oeste, según la posición del punto respecto al meridiano de Greenwich. La longitud geográfica se mide en grados (°), minutos (') y segundos (”); generalmente la usa grados sexagesimales (Enlaces a un sitio externo.) , minutos sexagesimales (Enlaces a un sitio externo.) y segundos sexagesimales (Enlaces a un sitio externo.). Existen varias maneras de medirla y expresarla:

 

Entre 0° y 360°, aumentando hacia el Este (Enlaces a un sitio externo.) del meridiano 0°; Entre 0° y 180º indicando a qué hemisferio (Enlaces a un sitio externo.) (Occidental o W — del inglés West, nombre en este idioma del punto cardinal Oeste— u Oriental o E —punto cardinal Este—) pertenece

Entre 0° y 180° positivos —Este (Enlaces a un sitio externo.)— o negativos —Oeste (Enlaces a un sitio externo.)

Para ubicar puntos en un planisferio nos sirven las coordenadas geográficas, es decir, el paralelo y el meridiano que se cruzan en dicho punto. Las coordenadas se expresan mediante dos variables: La latitud La longitud La localización geográfica es la intersección de las coordenadas de latitud y de longitud en un punto. Por ejemplo: ¿En qué hemisferio está la ciudad de Nueva York? ¿Cuál es su longitud?

En este caso podemos observar que:

- El punto se encuentra en el hemisferio norte ya que se encuentra ubicado sobre la línea del Ecuador. - Además podemos decir que la longitud es Oeste, ya que el punto se encuentra a la izquierda del meridiano de Greenwich. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta sería: Nueva York está en el hemisferio Norte longitud Oeste. * ¿Qué hora será en Madrid si en los 4º longitud oeste y 41º latitud sur son las 15 horas? Respuesta: La misma, porque para determinar los cambios horarios (husos horarios) no tenemos en cuenta la latitud sino la longitud. Las horas cambian cada 15º de longitud y se mantiene la misma hora en todo el meridiano.

Actividad 2 - Semana 4: 

Crucimat La primera pista la encontrarán dentro de un crucigrama matemático con el que se toparon en su camino. Es importante verificar las operaciones.

Respuesta: A = VERDE = 3 B = NARANJA= - 3/ 2 C = AZUL =- -1/2

−A∗B+C

A=Verde=3 B=Naranja= C=Azul=

−3 2

−1 2

A Verde + ?∗−10 =−77

A +?∗−10 =−77

7 11 Verde+ −2= 4 4 A=

11 7 − +2 4 4

A=3

B 3 7 ∗? − =−3 4 8 3 7 ∗B− =−3 4 2

3 7 B=−3+ 8 4

( )( )

B= −21 4 8 7 B=

−3 2

Horizontal 2−?∗C= 2−

14 5

?∗−1 14 = 5 2

−1 14 ?= −2 5 2

()

? 4 = 2 2 5 ?=

8 5

Vertical −87 3 −10− +C= 8 8 C=

87 3 +10+ 8 8 C=

−1 2

La pista está escondida dentro de los números del crucigrama, para obtenerla deben hacer el siguiente procedimiento: si el número del cuadro verde lo llamamos A, el número del cuadro naranja lo llamamos B y el número del cuadro azul lo llamamos C entonces realicen la siguiente operación:

−A∗B+C A=3

B=

−3 2

C=

−1 2

−A∗B+C

( )( )

−3∗ −3 + −1 2 2 9 1 ¿ − 2 2 ¿

8 2 Pista 1 ¿ 4



Descuentos centro comercial

Continuando su camino llegando a un enorme centro comercial, la segunda pista se encontraba allí dentro de uno de los almacenes: En un almacén de artículos electrónicos encontramos que el precio de un TV es de $10800,000, una barra de sonido $450,000 y una consola de juegos $10250,000 (a los precios etiquetados no se les ha aplicado el IVA del 19 %). Ese día hubo un gran descuento de “aniversario”. Si al final, se canceló $20582,300 por la compra de los tres artículos. ¿De cuánto fue el porcentaje de descuento que ofrecieron en la tienda? Respuesta:

Pista 2 = 20% 

Materiales para adecuación

Tengo un problema. Trabajo en área de la construcción y mi jefe me ha encomendado una labor muy importante. Por un error de despacho nos llegó una cantidad menor de baldosas de las requeridas para lograr adecuar los pisos en una oficina. Ese lugar tiene un área de 125 metros cuadrados. La tienda nos envió un total de 388 cajas de baldosa, donde cada una de ellas contiene 5 baldosas de dimensiones 0,25m × 0,25m. El problema es que soy pésimo para las matemáticas y realmente no se cuántas cajas más debo llevar para cubrir lo que nos hace falta Respuesta: Los datos para encontrar la tercera pista Área 125 m 2 Tamaño de la baldosa 0.25m * 0.25m Cajas enviadas 388 Como son 5 baldosas por caja realizamos la multiplicación

388∗5=1940 1940 es el numero de baldosa que fue enviada 5 baldosas por caja 0.062 m 2 este es el total por caja Se divide el Área 125 m 2 = 2000 0.0625 2000 es la cantidad de baldosa que necesita, pero como solo enviaron 1940, ahora debemos realizar la resta 2000 - 1940 = 60 Como por caja son 5 baldosas vamos a dividir

60 ÷5=12 Pista 3 =12 es la cantidad que hace falta al señor para realizar su trabajo 

Laberinto

Al intentar seguir al personaje de las baldosas, para recolectar más pistas del tesoro, nos encontramos que luego de seguirlo por varias calles simplemente se desapareció. Al devolverse sin haberlo notado antes, encontraron un extraño pedazo de papel, que contiene lo que parece ser un laberinto con números y unas extrañas letras en el borde inferior Respuesta:

Pista 4 = camino al que conduce es el N

Actividad 3 - Semana 5: 

Otro laberinto

Luego de algunos días de ese curioso encuentro, se encontraban meditando hacia donde seguir con la búsqueda pues se 3 1 X1 fracción 3 3 habían quedado sin más = 12 4 4 4 pistas. De repente se detuvieron a observar 1 2 detenidamente el papel = 2 4 con el laberinto que habían solucionado anteriormente. Al 7 2 fraccion 4 9 = ponerlo contra la luz de 20 5 20 un bombillo observaron que la luz y el calor 3 1 3 fraccion 7 7 = poco a poco empezaron 6 2 8 8 a hacer revelar nuevos elementos en él. Al final 3 74 descubrieron un nuevo = 8 8 laberinto que solucionar. 4 fraccion

1 2

-

1 3

=

2

36

=

1 6

Respuesta: Paso 1

5 fraccion

6 fraccion

7 fraccion

8 fraccion

9 fraccion

10 fraccion

2 3

-

1 9

=

3 5

-

1 3

=

2 3

-

1 6

=

4 5

-

2 3

=

5 6

-

3 4

=

9 16

-

3 8

=

1

69

5

915

1

46

10

1215

9

1012

6

916

=

5 9

=

4 15

=

3 6

=

2 15

=

1 12

=

3 16

9 X =36 X =4

Paso 2

( x−2 )

2

- 3x = x

(x + 1) – 4 X2 - 4x + 4 – 3x = x2 +x–4

−4 x + 4 −3 x =x−4

−7 x−x=−4−4 −8 x=−8 x=1 Paso 3

2 (3 x−1 ) + 4= 6 x−2 + 4 = 6 x+2=

x +5 3

x +5 3

x+5 3

18 x+6=x + 5 18 x − x =5− 6 17 x=−1 −1 x= 17 Paso 4

3x x −3= −(1−x ) 2 2 3x x −3= −1+x 2 2 x−6 =3 x−2+2 x x−6 =5 x−2 x−5 x=−2+6 −4 x =4 X =−1

Paso 5

2 x−5 =0 x 2+ 6 2 x−5 x 2+6

=0 , x

2 x −5=0 2 x =5 x=

5 2

Paso 6

3 x 2 +2 =3 x x−1

3 x 2 +2 =3 x , x =1 x−1 3 x2 +2=3 x x (x−1) 3 x2 +2=3 x 2−3 x 2=−3 x −3 x =2 X= x=

−2 , x=1 3

−2 3

Paso 7

5x −17 =2(x+ 10) 2 5x −17 =2 x + 20 2 5 x−34=4 x + 40 5 x−4 x=40 + 34 x=74 Pista 5 = la respuesta es 74



Granja de animales

Al seguir ese raro mensaje de la pista anterior, ustedes se encuentran en camino hacia una granja de animales, la más conocida de la ciudad. Al llegar el granjero a cargo los saluda amigablemente y les dice: ¡Amigos! ¡Síganme! ¡Debo entregarles algo que les dejo su viejo amigo! Todos se observan extrañados y algo asombrados. Finalmente, el granjero les muestra una tabla con curiosos símbolos.

Respuesta:    

Pato (10) + pato (10) + pato (10) = 30 Pato (10) + caballo (5) + caballo (5) = 20 Caballo (5) + vacas (2) + vacas (2) = 9 Caballo (5) * pato (10) – vacas (2) = 3



Lanzamiento

Cuando se encontraban de vuelta de la granja en su carro, una extraña transmisión en la radio interrumpió la aparente calma que tenían. Una enigmática voz les hizo el siguiente anuncio: ¡Hola de nuevo amigos! Les he dejado un paquete. Acaba de ser arrojado desde un avión que está pasando sobre ustedes en este preciso instante. Él contiene la última clave para llegar a su anhelado tesoro. Solo les diré que para calcular el tiempo t (en segundos) que demorará en llegar a tierra deben solucionar esto: −3t 2 + 9t = −810. ¡Con ello podrán hacer un barrido para encontrarlo!         

t^2 + 15t -18 + (-270) = 0 t * ( t+15) -18 ( t + 15) =0 (t + 15) * (t + 15) = 0 t + 15 = 0 t - 18 = 0 t = 15 t = 18 T1 = - 15 T2 = 18 seg



Comparación de ventanas

Al abrir el paquete que su extraño amigo les envió encontraron un juego de 3 ventanas con formas bastantes curiosas. Así mismo ellas estaban acompañadas de un mensaje: ¡Ya están a punto de encontrar el tesoro! Solo deben ayudarme con un último favor. ¿De las tres ventanas que les envié cuál será la referencia que cubra el área más grande? ¿Será la Estocolmo? o la Nórdica? o tal vez la Windsor?

Estocolmo  S1 = B * H 2  S1 = 60 * 60 2  S1 = 3600 2

 S1 = 1800  S2 = π * r^2  S2 = 3,1416 * 30^2  S2= 3.1416 * 900  S2 = 2826 Suma de ventana Estocolmo S1+ S2 = 4.626

Nórdica  S1 = A * B  S1 = 70 *30  S1= 2100  S2 = π * r^2  S2 = 3.1416 * 15^2  S2 = 3.1416 * 225  S2 = 706.50 Suma de venta nórdica S1 + S2 = 2.807

Windsor  S1 = A * B  S1 = 70* 40  S1 = 2800

 S2= B * H 2  S2 = 40 * 40 2  S2 =1600 2  S2 = 800

Suma de ventana Windsor S1+ S2= 3.600 LA VENTANA QUE TIENE MAYOR AREA ES LA ESTOCOLMO.

Actividad final ¡Reemplace el resultado de cada una de las pistas en el siguiente formato siguiendo el orden indicado, estas son las coordenadas geográficas donde se encuentra el tesoro!

1 OPCION

OPCION 2

Luego de hacerlo diríjanse a la página de Google Earth (https://earth.google.com/web/) y digiten el resultado en el formato presentado dejando un espacio entre cada pista. ¡Tomen una captura para compartir con nosotros en qué lugar del mundo se encuentra el tesoro!...