Ciągi zadania 1 PDF

Preview

Summary

ciągi stryjek...

Description

1. Naszkicować wykres ciągu (𝑎𝑛 ). Na podstawie wykresu uzasadnić, czy ciąg jest monotoniczny, ograniczony i zbieżny. 1 𝑛+5 a) 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 b) 𝑎𝑛 = ( 2) 2. Zbadać monotoniczność ciągu (𝑎𝑛 ). Czy ciąg jest ograniczony? (2𝑛)! a) 𝑎𝑛 = ln(𝑛 + 1) − ln(𝑛 − 1) b) 𝑎 = 𝑛

22𝑛⋅(𝑛!)2

3. Obliczyć lim 𝑐𝑛 , jeżeli a) 𝑐𝑛 =

𝑛→+∞ 𝛼+𝑛

, (𝛽 > 0) 𝛽+𝑛

b) 𝑐𝑛 =

2𝑛+4 17𝑛

4. Obliczyć granicę ciągu 𝑎𝑛 = (

2𝑛+1

)

𝛼𝑛3 +𝑛2 −1 𝛽𝑛 2 +5

, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

.

5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę

5⋅4𝑛 −1

3⋅(−3)𝑛 +5𝑛

∙ sin(√𝑛)

6. Obliczyć granicę ciągów 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 oraz 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 , gdzie 𝑎𝑛 = √3 ∙ 6𝑛 + 2 ∙ 3𝑛 + 1,𝑏𝑛 = (𝑛 + 2)𝑛 𝑛−𝑛 . 7. Obliczyć granicę ciągu 𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 , gdzie 𝑛−4 𝑛+2

𝑎𝑛 = ( 𝑛+1)

, 𝑏𝑛 = arctg(−(2𝑛 ))

8. Uzasadnić, że nie istnieje granica ciągu a) 𝑎𝑛 = ((−1)𝑛 + 1) ⋅ 𝑛2

b) 𝑏𝑛 =

𝑛+1 𝑛+2

𝜋

⋅ (sin (𝑛 ⋅ 4 ) + cos

𝑛𝜋 4

)

9. Obliczyć granicę ciągu (𝑎𝑛 ), jeśli: 2 n + 3n + 2 a) a n = 2

2 n +3

l)

2n + 5n

− 2n − 3n + 7 4n 2 + 8n + 3 3

b) a n =

2

1

ł) a n = 5

5n 4 − 6n 2 + 7n + 3 c) an = 5 n + 9n + 68

n

m) n)

1   an = 1 −   n +1 

r)

 n+ 7  an =    n+ 3

3

( n + 1) n + 5 ( n + 3) 2

n +1

n+2 an =    n 

n (n + 5) n 2

d) a n =

 1  − 2n 2 + 5n + 1 an =   3 

3

f) an = 4n 2 + 3n − 2n 7 n − 42n h) 5n 2n −1 i) an = n 3 n an =

2 n +1

n+ 1  s) a n = 1 − 2 



n +5

3

n 

j) an = 3 1 + 2 n

Zadania dla chętnych: 10. Niech an =

n! n 2 +4 n

dla n = 1,2,... Sprawdzić, czy ciąg ( an ) jest monotoniczny i czy

wszystkie jego wyrazy spełniają warunek 0  a n  1 . 11. Niech an =

52n − 2 2n n

5 +2

n

dla n = 1,2,... Wykazać, że a n = 5 n − 2 n oraz sprawdzić, czy

(𝑎𝑛 ) jest ciągiem geometrycznym i czy jest monotoniczny. 12. Ciąg (𝑎𝑛 ) jest ciągiem arytmetycznym takim, że 𝑎1 = 2 oraz 𝑎2 − 𝑎1 = −3. Wykazać, że a) 𝑎𝑛 = −3𝑛 + 5, b) 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛 − 6 dla 𝑛 = 1, 2, … c) Ciąg (𝑎𝑛 ) jest ciągiem malejącym. 13. Ciąg (𝑎𝑛 ) spełnia warunek 𝑎𝑛+1 =

1 2

⋅ (𝑎𝑛 +

9

𝑎𝑛

) dla 𝑛 ≥ 0. Wiadomo, że 𝑎0 > 0.

a) Uzasadnić, że 𝑎𝑛 ≥ 3 dla 𝑛 > 0. b) Uzasadnić, że (𝑎𝑛 ) jest ciągiem nierosnącym dla 𝑛 ≥ 1. c) Uzasadnić, że ciąg (𝑎𝑛 ) ma granicę właściwą....