Notatki - Zadania do egzaminu PDF

Preview

Summary

Zadania do egzaminu...

Description

1. Dana jest macierz A5x4 ile elementów ona posiada? Odp.: 20 2. Macierz kwadratowa posiada 49 elementów . Ile wierszy wniej występuje ? Odp.: 7 3. Ile elementów znajduje się na przekątnej macierzy wymiaru 6 ? Odp.: 6 4. Rozważmy macierz jednostkową I7 . Wówczas tr(I7) wynosi : Odp.: 7 5. Które z podanych poniżej działań jest zawsze wykonalne w zbiorze macierzy : Odp.: Transponowanie

6. Dana jest macierz A =

(

)

1 −2 0 3 1 2 4 −2 5 . Znajdź element a13

Odp.: 0 7. Wiadomo , że macierz A4x6 .Ile wierszy posiada macierz AT Odp.: 6

8. Dana jest macierz A =

(

)

1 −2 3 4 −1 2 4 −2 3 .Oblicz wartość wyrażenia :

3

∑k =1 a k 1

Odp.: 9

9. Niech A =

[12 −21 ]

oraz B=

[12 −21 ]

Jeżeli C = 2A – 3B to c21 wynosi

[ ]

Jeżeli C = (A+3B)T to c22 wynosi

Odp.: -2

[

−11 2 2 10 10. Niech A =

]

oraz B=

5 3 2 5

Odp.: 25

(

)

−1 1 0 2 3 −2 11. Niech C = B*A będzie iloczynem macierzy A i B. Jeżeli A = 1 1 −2 B = (1,2,1) to c13 jest równy Odp.: 2

12. Niech C = A*BT gdzie A 2x5 , B2x5 . Ile elementów posiada macierz C ? Odp.: 4

13. Niech A =

[2x 1+xy ]

oraz B =

[1+2 y 31 ]

Jeżeli A = B to zachodzi :

Odp.: x=2, y=1

14. Które ze zdań jest fałszywe dla macierzy A =

[ ] 3 6 2 4

Odp.: Macierz posiada A-1

15. Dla jakich wartości parametru a macierz A =

[a1 1a ]

jest odwracalna ?

Odp.: a należy do R / {1,-1} 16. Jeżeli det A = 0 to , wskaż fałszywą odpowiedź : Odp.: Macierz posiada odwrotną

17. Oblicz wyznacznik następującej macierzy A =

[ ] −1 3 −2 4

Odp.: 2

18. Oblicz wyznacznik następującej macierzy A =

[

a+bi b 2 a a −bi

]

Odp.: (a-b)2

19. Oblicz następujący wyznacznik stopnia trzeciego :

[ ] 0 a 0 b 0 c 0 d 0

Odp.: 0 20. Jeżeli w wyznaczniku macierzy zamienimy dwa wiersze to : Odp.: wyznacznik zmieni się na przeciwny 21. Jeżeli w wyznaczniku macierzy dodamy do siebie dwie kolumny to : Odp.: Wyznacznik się nie zmieni 22. Która z poniższych operacji na macierzy nie zmienia jej wyznacznika ? Odp.: Transponowanie macierzy

23. Dla macierzy A =

[−13 −24 ]

jej minor typu A12 jest równy

[

]

Odp.: 3

24. Dla macierzy A =

−1 2 1 3 −2 5 2 1 4

jej minor typu A23 jest równy

Odp.: -5

25. Znajdź dopełnienie algebraiczne typu D12 dla macierzy : A =

[33 −21 ]

Odp.: -3

26. Znajdź dopełnienie algebraiczne typu D32 dla macierzy : A =

[ ] 2 −1 3 3 2 1 1 −1 2

Odp.: 7 27. Reguła Sarrusa oblicza wyznacznik macierzy kwadratowej : Odp.: wymiar 3x3 28. Reguła Laplace’a oblicza wyznacznik macierzy kwadratowej : Odp.: dowolnego wymiaru 29. 90 Macierz A nazywamy symetryczna jeżeli : Odp.: A=A do potęgi T

30. Dla jakiej wartości parametru a macierz A jest symetryczna jeżeli A =

[ ] a 3 3 1

Odp.: Dla każdej

31. Chcący policzyć wyznacznik z macierzy A = wybrać w tym celu : Odp.: Kolumnę drugą

[

−1 3 0 2

0 2 3 0 2 −1 1 0 4 0 −1 0

]

najwygodniej jest

32. Stosując regułę Laplace’a względem wiersza czwartego macierzy

[

−1 3 0 2 A=

0 2 3 0 2 −1 1 0 4 0 −1 0

]

sprowadzamy detA do obliczenia wyznaczników 3x3 w liczbie ?

Odp.: 2

33. Oblicz następujący wyznacznik macierzy A jeżeli : A = Odp.: 48

34. Oblicz następujący wyznacznik macierzy A jeżeli : A =

[ ] [ ] 3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

1 2 3 4 −2 1 −4 3 3 −4 −1 2 4 3 −2 −1

Odp.: 900 35. Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe : dowolna macierz jednostkowa jest : Odp.: Osobliwa 36. Która z podanych poniżej operacji jest fałszywa w grupie macierzy ? Odp.: Przemienność mnożenia 37. Które z podanych poniżej stwierdzeń jest fałszywe ? Odp.: A do potęgi T= -A 38. W interpretacji geometrycznej wyznacznik stopnia 2 – go oblicza : Odp.: Pole równoległoboku 39. Jeżeli w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny są proporcjonalne to : Odp.: Wyznacznik jest równy 0

40. Która z podanych poniżej macierzy jest odwrotna do macierzy A =

[1+i1 1−i1 ]

1−i −1 Odp.: −1 1+i

[

]

41. Dla macierzy A =

[ ] i 1 0 −i

wyznacz jej potęgę czwartą tzn. A4

[ ]

1 0 Odp.: 0 1

[ ]

1 0 1 0 1 0 1 0 1 42. Niech A =

oblicz det(A3)

Odp.: 0

43. Ile rozwiązań posiada następujące równanie macierzowe : X2 =

[ ] 1 0 0 0

Odp.: 2

3 44. Rozwiąż równanie macierzowe :

Odp.:

[( −i1 02 ]+ X )+[−1i 04 ]= X

[ ] −1 −3 i −2

45. Rozwiąż równanie macierzowe :

[

]

[

4 2 X =4 X + −2 0 −1 4 0 −1

]

[ ]

0 1 Odp.: −1 0

46. Wiadomo ,ze A2 = AT . Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy A ? Odp.: 0 lub 1 47. Wiadomo ,ze A2 + A-1 = [0] . Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy A ? Odp.: 1 lub -1 48. Elementy macierzy A oraz macierzy A-1 są liczbami całkowitymi . Jaka jest wartość wyznacznika macierzy A ? Odp.: 1 lub -1

−1 2 2 3 −2 4 3 0 −2 49. Niech A = Odp.: 5, -2, 10

[

]

[

]

−1 2 2 3 −2 4 3 0 −2 50. Niech A =

wykonano operację elementarną : w1+2w24

wykonano operację elementarną : 2k1+k3

Odp.: -1,2,0

51. Wykonano operację elementarną 2k1+k2 dla macierzy : A = wyznacznik nowo otrzymanej macierzy ?

[34 54 ]

Jaki jest

Odp.: -8

52. Wykonano operację elementarną –3w1+ w3 dla macierzy : A = jest wyznacznik nowo otrzymanej macierzy ?

[

]

1 −2 3 −2 −3 1 3 1 2 Jaki

Odp.: 0

53. Wykonano operację elementarną –w1+ w2 dla macierzy : A = elementy występują na przekątnej nowej macierzy ?

[−23 −32 ]

Jakie

Odp.: -2 i -5 54. Która z podanych poniżej operacji elementarnych spowoduje że element a22 nowej

macierzy będzie równy 0 , jeżeli : A =

[ ] −2 2 3 1 1 1 −2 2 4

Odp.: -0,5w1 +w2 55. Które z podanych poniżej zdań są prawdziwe ? Odp.: Operacje elementarne nie zmieniają wyznacznika macierzy 56. Wiadomo , że wektory X , Y , Z  R3 tworzą bazę wybierz fałszywą : Odp.: Det (X,Y,Z) = 0

57. W macierzy A dokonano operacji elementarnej polegającej na zamianie dwóch wierszy , a następnie dwóch kolumn otrzymując tym sposobem macierz B . Wtedy : Odp.: Det A = Det B 58. Wiadomo że detA = 5 oraz det B = 4 . Oblicz wyznacznik iloczynu tych macierzy : Odp.: 20 59. Wiedząc , że detA = 4 podaj wyznacznik macierzy A-1 odwrotnej do A Odp.: 0,25 60. Które z podanych zdań poniżej jest prawdziwe ? Odp.: Rząd macierzy jest zawsze liczbą całkowitą

61. Oblicz rząd macierzy A =

[−13 22 ]

Odp.: 2

62. Oblicz rząd macierzy A =

[ ] 2 −1 3 1 −2 1 3 −3 4

Odp.: 2

63. Dla jakiej wartości parametru a ,macierz A = maksymalny ?

[11 −22 a3 12 ]

ma rząd

Odp.: dla a=0

64. Dla jakiej wartości parametru a , macierz A =

[ ] 1 −2 3 4 2 1 5 0 a

ma rząd 2 ?

Odp.: a=4 65. Macierz A3x3 jest macierzą nieosobliwą , wówczas ? Odp.: rzA=3 66. W macierzy A3x5 zamieniamy w1 i w3 między sobą , wtedy : Odp.: Rząd macierzy nie zmieni się 67. Która z operacji poniżej zmienia rząd macierzy ? Odp.: Żadna z powyższych 68. Niech In będzie macierzą jednostkową wymiaru nxn , wówczas :

Odp.: rzA=n 69. W macierzy A4x5 istnieje minor niezerowy wymiaru 4 , w takim razie : Odp.: Macierz posiada rząd 4 70. Macierz A posiada n wierszy i m kolumn przy czym n < m , w takim razie : Odp.: rzA...