Circmag 1 Análise Vetorial PDF

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Resumo circuitos eletromag : FUNDAMENTOS DE ANÁLISE VETORIAL...

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS CAPÍTULO I FUNDAMENTOS DE ANÁLISE VETORIAL 1. Introdução

O objetivo deste capítulo é revisar os conceitos de análise vetorial para que os alunos da disciplina de Circuitos Magnéticos possam melhor entender e interpretar as equações de Maxwell na forma diferencial, a ser visto durante o transcorrer da mesma. As aplicações e características da análise vetorial são: -

análise matemática de fenômeno físico; ajuda no desenvolvimento da compreensão intuitiva dos conceitos físicos e geométricos; os operadores se aplicam não a um vetor mas sim a um campo vetorial ou escalar (gradiente, divergente e rotacional)

1.1 Vetores e escalares Várias quantidades físicas , tais como temperatura, volume, e aceleração podem ser especificados por um número real. Tais quantidades são chamadas de escalares. - Escalar: expressa uma quantidade física (intensidade, número real), representado por um número ex: Tensão, massa, tempo, temperatura Outras quantidades, tais como a força, a velocidade, e o momento, requerem para suas especificações tanto uma direção e sentido como uma grandeza. Tais quantidades são chamadas de vetores. - Vetor: expressa uma quantidade física (intensidade e direção – cada direção tem dois sentidos). É representado por uma seta sobre uma letra ou negrito. Ex: Deslocamento, força, velocidade e aceleração - Campo escalar: cada ponto da região corresponde a um escalar ex: campo de temperaturas, de pressões, de potenciais f(x,y,z)=x2+y2+z2 - Campo vetorial: cada ponto (x,y,z) corresponde a um vetor. Ex: campo elétrico, campo magnético    V xyax  x 2 zay  az

1.2 Produto escalar A B  AB cos 

0  

onde  é o ângulo entre A e B.

A B  A1 B1  A2 B2  A3 B3 onde A A1i  A2 j  A3k e B B1i  B2 j  B3k

1.3 Produto vetorial A B  AB sen  u

0  

onde  é o ângulo entre A e B, e u é um vetor unitário perpendicular ao plano de A e B, de modo que A, B, e u formam um sistema de mão direita (isto é, rosca à direita, girando como um parafuso de A para B).

2 i A B  A1 B1

j A2 B2

k A3  (A 2B 3  A3B 2 )i  ( A3B1  A1 B3 ) j  ( A1B2  A2 B1 )k B3

A B  área de um paralelogr amo tendo lados A e B

A u

Área=|AxB| A

B

B

1.2 Sistemas de coordenadas. Descrição do vetor: direção e sentido, ângulos, projeções ou componentes Um vetor A pode ser representado com ponto inicial na origem do sistema de coordenadas. Se i, j, e k são vetores unitários na direção dos eixos positivos x,y, e z então A  A1i  A2 j  A3k

onde A1i, A2j, e A3k são chamados componentes do vetor A. - Álgebra Vetorial: adição e subtração (regra do paralelograma), divisão e subtração Três métodos são apresentados: cartesiano ou retangular, cilíndrico e esférico 1) Descrição de vetor e vetores unitários nos sistema de coordenadas cartesiano z X=0 (Plano)

Y=0 (Plano) origem y Z=0 (Plano) x

Ex:

componentes tem módulo dependente do vetor; cada um tem uma direção conhecida e fixa; vetor unitário: módulo unitário e direção crescente dos eixos coordenados B Bxax  Byay  Bzaz

B  Bx 2  By 2  Bz2

 B aB   B

O problema de encontrar a componente de um vetor em qualquer direção desejada, transformase no problema de encontrar o unitário naquela direção. Ex: Vetor B na direção ax é Bxax=Bx

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2) Descrição de vetor e vetores unitários no sistema de coordenadas cilíndricas z

r



(b) cilíndricas - vetores unitários ar, a, az normais aos planos - produto vetorial ar x a = az (mutuamente perpendiculares) - lados de comprimento dr, rd e dz - superfícies (áreas): rdrd, drdz, rddz - volumes: rdrddz

rs 



(c) esféricas Tabela para transformação de coordenadas: Cartesiana

Cilíndrica

Esférica

4

Cartesiana

x x y y z z

Cilíndrica

Esférica

2

r x y

2

 y  tg  1   x z z

x  r cos 

r r

y r sen  z z

  z z

x  rs sen  cos r rs sen  x  rs sen  sen   z rs cos  z  rs cos 

2

2

2

rs  x  y  z  z    cos 1   rs   tg  1  y / x  rs  r 2  z 2 1 r   tg     z   rs  rs

   

Vetores unitários nos três sistemas de eixos: Grandeza Desloc. (dl) Área (dS)

Cartesiana

dx dy k dy dz i dz dx j

Volume (dv)

Cilíndrica

dx i  dy j  dz k dr i r  r d  i

dx dy dz

Esférica dr i rs  rs d  i 

...  dz k

...  rs sen  d i 

r dr d  k r d dz i r

rs d  dr i 

dz dr i 

rs sen  dr d i 

r dr d dz

rs2 sen  d d i r

rs2 sen  d d drs

Os conceitos básicos da teoria de campo eletromagnético são importantes para projetos em dispositivos eletromagnéticos (contatores, motores, geradores, etc). Todos os fenômenos eletromagnéticos macroscópicos, são governados pelas equações de Maxwell. As equações de Maxwell, descrevem a natureza dos parâmetros distribuídos dos campos elétricos por todo espaço. Elas são um conjunto de equações diferenciais parciais, desde que as quantidades de campo são funções de parâmetros espaciais x, y e z, tanto quanto do tempo. 1.3 Derivação vetorial - Operadores diferenciais Existe um número de operações de cálculo diferencial vetorial que necessitam de um entendimento claro e completo: 1.3.1 A derivada do vetor A derivada de uma função vetor A u   A1 u i  A2 u  j  A3 u k de variável u é dada por

A u  u   A u  dA1 u  dA2 u  d dA u   A u lim i j 3 k du du du du u u  0 Observa-se que a derivada de um vetor é o vetor com as derivadas de cada componente. 1.3.2 O operador matemático NABLA  i

   k j z y x

onde i, j e k são os vetores unitários ortogonais do sistema de coordenadas cartesianas.

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1.3.3 O gradiente O gradiente é uma operação efetuada sobre um campo escalar que resulta uma função vetorial. O módulo, a direção e o sentido deste vetor resultante é a máxima taxa de crescimento da função escalar naquele ponto. U U U      U  i j k grad U U  i j k z x y y  z   x

As quantidades vetoriais conduzem a dois tipos de informação: a magnitude e a direção do efeito; e podem ser descritas em coordenadas retangulares, cilíndricas ou esféricas. Função escalar

Vetor

gradiente=

grad U  U

U( x, y, z )

U U U i j k x y   z

U ( r , , z )

U U 1 U ir  i  k r r  z

U ( rs ,  ,  )

1 U 1 U U i rs  i  rs rs  r s sen  

1.3.4 Divergente de um vetor: O divergente é uma operação efetuada sobre um campo vetorial que resulta uma função escalar. 



div F  F 

Fx Fy Fz   z x y

Função vetorial A

Vetor

gradiente=

grad U  U

A  Ax i  Ay j  Az k

A y Az A x   y z x

A Ar i r  Ar A i   A z 1 

rA r 

r r

A  Ar s ir s  Ar s A i  .....  Ars sen  A  i 





A z 1  A   r  z

 



1   2 sen  rs Ars  rs sen   rs2  1 ....  A rs sen  

 

1.3.5 Rotacional O rotacional é uma operação efetuada sobre um campo vetorial que resulta uma função vetorial. a) Cartezianas

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i  rot A  x Ax

j  y Ay

k   Az  Ay    z   y z Az

  A A  i    x   z  x   z

   Ay  Ax   j   y   x

 k  

b) Cilíndricas  1  Az  A    A r  A z  i r   rot A    z  r  r   z

 1   (rA )  Ar   i    k     r r 

c) Esféricas rs2

sen   rs Ar s

rot A 



i rs

i rs sen    rs A

i rs    rs sen  A

  (sen  A )  A   ir        s   1  ( )  1  Ar s  ( rs A )   i   rs A   Ars    sen     rs  rs   ra

1 rs sen 

.... 

1 rs

   

  i  

1.3.6 Operadores aplicados a mais de uma função Sejam os campos vetoriais ou vetores A  Ax i  A y j  Az k

e os campos escalares



U U U x ,U y ,U z

B B x i  B y j  B z k

e





Q Q Q x , Q y , Q z

e



pode-se mostrar que: grad ( UQ ) U gradQ  Q gradU div( U A ) UdivA  A . gradU div( AXB )  A . rot B  B . rot A rot ( UA ) UrotA  ( gradU ) X A

1.4 Integrais e teoremas envolvendo vetores 1.4.1 Integral de linha Integral de linha de um campo de vetores F ao longo de um contorno C: 





F dl   F cos  C

C

 d l  Fx dx  Cx

Fy dy  Fz dz Cy

Cz

1.4.2 Integral de superfície Integral de superfície de um campo de vetores F sobre uma superfície S: 





F ds  F S

 cos  ds  Fxdydx   Fy dxdz   Fz dxdy

S

1.4.3 Teorema da divergência: 

F ds  div F dv  S (V )

V

Esta igualdade entre integrais significa que o fluxo do vetor F através de uma superfície S(V) é igual à integral tríplice do divergente de F estendida ao volume V envolvido pela superfície S(V). Quando o fluxo  é conservativo, a divergência do mesmo é nula.

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1.4.4 Teorema de Stokes:           F  ds  F dl  S  L (S )

Esta igualdade indica que o fluxo do rotacional de F através de uma superfície aberta S é igual à circulação (integral de linha) de F ao longo da linha L(S) que limita a superfície S....