Circmag 3 - Anotações e exercícios sobre Circuitos Magnéticos PDF

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Anotações e exercícios sobre Circuitos Magnéticos...

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3.6 - O imãs permanentes Os materiais duros são meios que, ao contrário dos meios moles, guardam uma indução remanente significativa, uma vez que o campo externo agindo sobre o meio é extinguido. Os materiais duros são também chamados imãs-permanentes. O funcionamento magnético de um imã pode ser descrito com a ajuda das figuras 3.14 (a) e (b).

Figuras 3.14 (a) circuito magnético

(b) curva de histerese

Suponhamos que nosso circuito magnético seja constituído por um material ferromagnético com alta permeabilidade. No entreferro do circuito é colocado o material duro, mas que não tenha sido ainda submetido à ação de qualquer campo magnético. Observemos que H criado no entreferro, portanto no imã, é proporcional a I, pois H=nI/l e que B no imã, é proporcional ao fluxo mensurável , pois B=/S. Acompanhemos então as diferentes etapas no ciclo de funcionamento do imã. a) inicialmente, agindo sobre a corrente I, fazemos H passar de zero a H1. A curva percorrida será OM1, chamada curva de “primeira imantação”. b) Diminuimos H de H1 até zero, (M1 à M2), ou seja fazemos I=0; é neste momento que aparece a característica intrínseca dos meios duros, pois o imã guarda uma imantação remanente considerável, indicada como Br na figura 3.14(b). Notemos que, neste momento, onde I=0, há um fluxo circulando no circuito magnético devido ao Br do imã. c) Colocamos corrente I no sentido contrário, fazendo com que H passe de zero à Hc, (trecho M2M3). No campo Hc, o fluxo do imã é idêntico em módulo, mas contrário ao fluxo gerado pela bobina; não há fluxo no circuito magnético e B=0. Este campo Hc é chamado “campo coercitivo” ou “campo coercitivo”. d) Se continuássemos o ciclo (M3, M4, M5), novamente criaríamos um fluxo magnético, porém a indução remanente Br no ponto Ms teria sentido contrário ao Br no ponto M2. Este ciclo é chamado ciclo de histerese, cujo área interna é significativa para os meios duros. Os materiais ferromagnéticos moles também possuem um ciclo de histerese, porém a área contida no ciclo é relativamente pequena.

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Um imã é definido por sua curva no segundo quadrante (trecho M2 e M3, da figura 3.14(b), reproduzida aqui na figura 3.15.

Figura 3.15 – Curva representativa de um imã Esta curva, em geral conhecida ou fornecida pelo fabricante, nos indica a indução remanente Br , o campo coercitivo Hc bem como a própria forma da mesma entre estes dois pontos. Seu objetivo é definir como a indução do imã varia em função do campo existente em seu interior. Vejamos, então, porque ela é representada no segundo quadrante: na figura 3.15, destacamos uma linha de campo de um imã no ar. Aplicando a lei de Ampére, calcularemos a circulação de H ao longo do seu caminho L, e onde L i e Le são suas partes interna e externa, L H.dl = 0

(não há correntes)

LI Hi dl + Le He dl = 0

(3.25) (3.26)

Neste análise qualitativa assumiremos que os campos são uniformes em suas parcelas de caminho (L i e Le) respectivas. Temos então, L H i = −H e e (3.27) Li Notamos então que Hi tem obrigatoriamente o sentido oposto de He no caminho de circulação. No entanto, como há conservação de fluxo, a indução magnética B i e Be estão obrigatoriamente no mesmo sentido, em relação ao caminho de circulação. Por outro lado, como no ar B e H possuem a mesma direção e sentido (B=0H), a situação de B e H no imã e na zona que o envolve só pode ser a mostrada na figura 3.16; constatamos que no interior do imã H e B possuem sentido contrários.

Figura 3.16 – Comportamento do campos H e B Adicionalmente, constatamos que a permeabilidade aparente do imã é negativa, visto que H0 (curva no 2o quadrante).

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3.6.1 - A energia associada a um imã É concebível que, existindo um campo magnetostático, exista também uma energia de ordem magnética associada a este campo. Se o campo é definido em um volume V, adiantamos aqui que esta energia é dada pela expressão: 1 W = V HBdv (3.28) 2 Esta expressão é também válida para o imã, e consideraremos como volume V o tubo de fluxo mostrado na figura 3.17, possuindo uma parte interna Vi e outra externa Ve. O fluxo definido neste tubo é d.

Figura 3.17 - Tubo de fluxo Sendo ds a seção do tubo e dl uma parcela elementar do seu comprimento, podemos escrever que dv=dsdl. Temos então: 1 1 W =  HdlBds +  HdlBds (3.29( V i 2 2 Ve substituindo d por seu valor 1 1 W = dL Hdl + dL Hdl (3.30) i e 2 2 sendo Li e Le os caminhos de circulação interno e externo. W=





1 1 d L H.dl + L H.dl = dL H.dl i e 2 2

(3.31)

Como não há corrente, temos pela lei de Ampére que W=0 o que significa que a soma das energias internas (em Vi) e externa (em Ve) é nula. Estendendo este resultado para todo o imã, composto por um conjunto de tubos de fluxo, temos: (3.32) We = − Wi Como a energia interna do imã é dada por: 1 Wi = V BHdv (3.33) 2 i a energia liberada é então 1 (3.34) We = − V BHdv 2 i Notamos que esta energia depende do produto BH relativo ao ponto de funcionamento do imã e do volume do mesmo. Em geral, é interessante concentrar esta energia em uma zona específica.

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Vejamos os exemplos das figuras 3.18(a) e (b).

Figuras 3.18 (a) (b) - Concentração das linhas de fluxo de um imã Na figura 3.18(a), notamos que a energia do imã fica distribuída no espaço e obtemos portanto, no volume que envolve o imã da figura 3.18(b), uma baixa densidade volumétrica de energia. Imaginemos que o imã da figura 3.18(b), seja idêntico ao da figura 3.18(a). Embora o ponto de funcionamento BH não seja exatamente o mesmo (pois ele depende dos meios que envolvem o imã), notamos que a energia do imã será concentrada em um volume bem menor Ve. Teremos então uma alta densidade de energia nesta zona; a energia do imã não será dispersa, como no primeiro exemplo. Tendo em vista a expressão referente a We relativa à energia do imã, notamos que, para um dado volume de imã, esta depende do produto BH. Existe um ponto na curva B(H) característica do imã (fig. 3.15) cujo produto BH é máximo, representando um ponto de trabalho do imã onde ele pode liberar a energia máxima. Evidentemente, nos pontos B=Br (e portanto H=0) ou B=0 (e portanto H=Hc), o produto BH será nulo e o imã não fornecerá nenhuma energia ao exterior. O primeiro caso B=Br, seria representado na figura 3.19, onde o imã e envolto por um circuito magnético sem entreferro, e f é considerado infinito.

Figura 3.19 - Análise de imã envolto por um circuito magnético Considerando os campos Hf e Hi constantes no ferro e imã, através da lei de Ampére, temos:

Hf l f + H i L i = 0

(3.35)

Vimos que, se f >>0, temos Hf=0 e portanto Hi0, o que corresponderia a B=Br, pela curva do imã. No entanto, esta situação é puramente hipotética, pois inicialmente f possui um valor finito e também haverá uma dispersão do campo pelas bordas laterais do imã, fazendo com que o mesmo não seja constante. Isto porém não impede que o B do imã seja muito próximo de Br. O segundo caso, onde H=Hc (e B=0) representa a situação onde o efeito do imã foi anulado, por exemplo, por uma bobina existente no circuito magnético na qual o imã está inserido. Este caso é o indicado na figura 4.15 (a) e o ponto de trabalho do imã é M3 da figura 3.20.

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Examinemos um exemplo de cálculo de campo criado por um imã permanente, conforme a figura 3.20, onde temos um imã inserido num circuito magnético com r>>1 e possuindo um entreferro (Lg=Le).

Figura 3.20 – Análise de circuito magnético com a presença de imã Escrevendo a Lei de Ampére, admitindo que os campos são constantes em suas respectivas zonas, a circulação de H ao longo do comprimento do caminho magnético L fica sendo: H i L i + H e L e + H f Lf = 0

(3.36)

como Hf0 , temos, H i Li = − H e Le

(3.37)

Por outro lado, a conservação de fluxo dá: i = e ou ainda, BiSi = 0 H eSe

(3.38)

dividindo (3.38) por (3.37), temos Bi S L = −0 e i Hi Si Le

(3.39)

Da expressão (3.39) obtemos Bi/Hi em função de fatores dimensionais da estrutura. Este valor é negativo, o que é normal, pois o imã trabalha no segundo quadrante. De fato, o valor Bi/Hi representa, no plano BH a direção de uma reta; a interseção desta reta (chamada “reta de carga” ou “reta de trabalho”) com a curva característica do imã, nos fornece os pontos Bi e Hi de trabalho do imã em função das dimensões do circuito magnético, conforme a figura 3.21.

Figura 3.21 – Curva característica de um imã – reta de carga O ângulo  é tal que, B S L tg = i = − 0 e i Hi Si L e

(3.40)

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Levando em conta a propriedade da função trigonométrica tangente, podemos utilizar diretamente o ângulo  tal que,  = arctg 0

S e Li S i Le

(3.41)

Uma vez conhecidos Bi e Hi podemos determinar He multiplicando ( ) por (...)

Bi H iSi Li = − 0 H e2 S eL e

(3.42)

Chamando Vi o volume do Imã, tal que Vi=SiLi e Ve o volume do entreferro, tal que Ve=SeLe , obtemos, 1/ 2

 BH V  (3.43) H e = − i i i   0 Ve  Notemos então que He será tanto maior quanto maior for o produto BiHi do imã (daí o interesse de trabalhar com o (BH)máx. do imã) e também tanto maior for a relação Vi/Ve (daí o interesse de aumentar o volume do imã e utilizar pequenos entreferros) 3.6.2 - O principais tipos de imãs Inicialmente, citemos que, para um imã permanente, é de grande interesse que o mesmo possua um elevado valor de campo coercitivo Hc, bem como uma elevada indução remanente Br. Um valor de Hc importante faz com que o imã não seja facilmente desmagnetizado e a um Br elevado podemos em geral associar a capacidade de criar campos elevados no circuito magnético no qual o imã está inserido. Na figura 3.22, temos as curvas B(H) dos principais imãs permanentes.

Figura 3.22 - Curvas B(H) de imãs permanentes

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As características numéricas do imãs são apresentadas na tabela abaixo:

ALNICO FERRITE Sm – Co Ne-Fe-B

Br 1,35 0,38 0,9 1,15

Hc 60 240 700 800

(BH)máx 50 25 150 230

r 3-5 1,1 1,05 1,05

3.6.3 – O funcionamento dinâmico dos imãs A utilização de um imã permanente requer o cuidado que enunciaremos abaixo para que o mesmo não seja desmagnetizado. Imaginemos que sua curva esteja representada na figura 3.23.

Figura 3.23 – Funcionamento dinâmico dos imãs Nos imãs mais frequentemente utilizados (ferrite, Sm-Co, Alnico) a permeabilidade “diferencial” (tg=Ba/Ha) é muito próxima à do ar (r=1). Ao trabalharmos no ponto P1, o imã preserva sua indução remanente Br; no entanto, se utilizarmos o ponto de trabalho P2 ele perderá sua indução remanente Br, e terá uma nova indução Br2, fazendo com que o desempenho fique abaixo do que ele poderia Ter; se chegarmos ao ponto P3, ele perderá totalmente sua indução remanente. Deve-se portanto evitar pontos de trabalho do imã além do ponto P1 mostrado na figura 3.23.

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3.7 - A influência do ferro em circuitos magnéticos Um fio infinito percorrido por uma corrente I, criado no espaço que o envolve um campo que, como já visto, tem módulo H=I/2R, sendo R a distância de um ponto ao fio. I, a corrente do fio, pode ser chamada “força magnetomotriz” (f.m.m), pois é capaz de gerar um campo magnético. Imaginemos uma segunda situação, mostrada na figura 3.13, onde envolvemos o mesmo fio por um meio ferromagnético, possuindo um alto valor de r. Suponhamos também que este circuito possua uma ruptura física; a zona relativa a esta ruptura será chamada “entreferro”.

Figura 3.13 - Análise do circuito magnético Para o cálculo do campo magnético utilizaremos a lei de Ampére. L H.dl = I

(3. 1)

Escolhendo um L coincidindo com o campo H, dividiremos o mesmo em “lf” no ferro e “le” no entreferro; a expressão acima se transforma em l f H f .dl + l e H e .dl = I

(3. 2)

Assumindo que os campos sejam constantes nas suas respectivas regiões, obtemos H f lf + H e l e = I

(3. 3)

Havendo duas incógnitas nesta equação, precisamos estabelecer uma outra equação, que é obtida pela consideração segundo a qual o fluxo f no ferro é idêntico ao fluxo e no entreferro f =  e ,

ou ainda

f H f Sf =  0 H eSe

(3. 4)

sendo Sf e Se as seções transversais no ferro e entreferro (perpendiculares ao plano da figura). Supondo que estas possuam aproximadamente o mesmo valor, temos que

Hf =

0 f

He

(3. 5)

Utilizando (3.22) em (3.20) temos,

He =

I   0  lf + le    f

(3. 6)

Como f >>0, temos He=I/le. Se o circuito estiver muito saturado, esta aproximação não é valida. Supondo que I=10 A e que le=1 mm (valor tipico de entreferro em estruturas eletrotécnicas) obtemos He=10000 A/m.

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Voltando ao caso do fio no espaço, mencionado no início do parágrafo, calculando também para I=10 A o campo criado a 5 mm (distância muito próxima do fio) pela expressão H=I/2R, obtemos H=318 A/m. Como conclusão, observamos os seguintes fenômenos relativos à presença de meio ferromagnéticos em circuitos magnéticos: a) modificação da forma do campo magnético, e condução do fluxo à região onde sua presença é necessária. b) A criação de campos de alta intensidade na região de entreferro. Veremos, em capítulo posterior que as forças de origem magnéticas dependem quadraticamente de H, o que majora o interesse de campos intensos. c) A circulação do campo no meio ferromagnético é desprezível se f >> 0 pois Hf...