2 - Análise Vetorial - Revisão de vetores PDF

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Revisão de vetores...

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1 Análise Vetorial 1.1 Sistema de coordenadas Considere uma linha reta na qual podemos nos mover nos dois sentidos. Cada sentido é identificado como sendo positivo ou negativo. Uma vez que esta linha recebeu uma orientação positiva, podemos chamá-la de sistema ou eixo de referências e, a direção do movimento será a mesma da linha. O sentido positivo será indicado por uma seta representada no próprio eixo como mostra a figura 1.1. Um sistema de referências pode ser de uma, duas ou três dimensões (Fig. 1.1abc), sendo que cada dimensão será representado por uma letra (a saber: x, y e z). Portanto, a direção de um caminho ou de um movimento será sempre relativa a um sistema de referências.

(a) (b) (c) Figura 1.1 – Sistemas de referências em: (a) uma dimensão, (b) duas dimensões e (c) três dimensões.

Outra maneira de se estabelecer uma direção é relacioná-la a um dos eixos por um ângulo como mostra a figura 1.2, na qual a direção op é indicada em três casos. Observe que há um sentido de contagem para os ângulos.

Figura 1.2 – A direção op em um sistema de referências pode ser indicada por um ângulo  ou +. . Se necessário, podemos utilizar dois ângulos para indicar a direção.

1.2 Escalares e Vetores Ao analisar algumas grandezas físicas, percebemos que umas precisam de mais informações que outras para ser compreendidas. Consideremos dois exemplos a serem discutidos: primeiro suponha que alguém nos informe que a temperatura local é 30 ºC. Analisando esta informação percebemos que ela possui os elementos dos quais precisamos saber para constatar tal temperatura, ou seja, um valor e uma unidade. Grandezas como a temperatura são exemplos de grandezas escalares. Tais grandezas são especificadas de forma simples, isto é, apenas por um número seguido de uma unidade ou somente por um número, como por exemplo, energia, pressão, massa, tempo, coeficiente de atrito, etc. Por outro lado, existem grandezas que além de serem representadas por valores e unidades, necessitam de mais informações relacionadas á sua orientação no espaço, como por exemplo, direção e sentido. Tais grandezas são chamadas vetoriais e, podem ser representadas graficamente. O deslocamento de um corpo é um tipo comum de vetor, pois indica um afastamento relativo em uma determinada direção e sentido. Por exemplo, esse corpo pode ter se deslocado 10 m para a

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esquerda ou para a direita, para cima ou para baixo. Grandezas como a velocidade v e aceleração a também são exemplos de vetores. Em um texto, a simbologia de um vetor pode ser representada por uma letra em negrito A ou  por uma letra com uma flecha em cima A (em alguns casos sua magnitude ou módulo será  representada por | A | ). Graficamente, um vetor será representado por um segmento de reta orientado (como uma flecha) cujo tamanho será proporcional á magnitude do vetor (Fig. 3.1a) e seu sinal dependerá do sentido de orientação do vetor (Fig. 3.1b).

(a) (b) Figura 1.3 – (a) Relação entre o vetor e sua magnitude. (b) vetores antiparalelos devem ter sinais contrários.

Para se ter uma noção das propriedades de um vetor no espaço (módulo, direção e sentido), podemos utilizar um sistema de coordenadas adequado ao problema. A figura 1.4 mostra a disposição de um vetor r em duas (x,v) e três dimensões (x,v,z).

(a) (b) Figura 1.4 - Disposição de um vetor no espaço em (a) duas dimensões e (b) em três dimensões.

1.1.2 Operações com vetores As operações com vetores são divididas em quatro: uma soma e três tipos de multiplicação, como serão vistas a seguir. a) Soma de vetores: Em uma análise geométrica, a soma entre dois vetores A e B (Figura 1.5a) é o vetor que liga a extremidade inicial de A á extremidade final de B (Figura 1.5b) para subtrair um vetor de outro, basta somar um com o oposto do outro (Figura 1.5c). As regras de adição de vetores devem seguir as seguintes propriedades:   

    A B  B  A     A  B  A  ( B)       ( A  B)  C  A  (B  C )

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(a) Figura 1.5 – Soma e subtração de vetores

(b)

(c)

c) Multiplicação por um escalar: Um vetor pode ser multiplicado por um escalar α sem que sua direção e sentido sejam alterados (Figura 1.3a). Essa multiplicação é distributiva: α(A+B) = α A + α B

1.1

d) Produto interno ou produto escalar: O produto escalar é realizado entre dois vetores é definido como: AB=|A||B|cos  1.2 em que  é o ângulo entre os vetores A e B. Por se tratar de um produto escalar, o resultado obtido deve ser uma grandeza escalar. Geometricamente, A B representa o produto de A pela projeção de B ao longo de A. O produto interno deve ser associativo A B=B  A e distributivo A  (B+C)=A  B+A  C. _____________________________________________________________________________________ Exemplo 1.1 - Considere que C=A-B (Figura 1.6 ) e calcule o produto interno de C consigo mesmo.

Figura 1.6

Solução: 2 2 C  C = (A-B)  (A-B) = -A  B- A  B+A +B

C2 = A2 +B2 – 2ABcos

 C  A2  B 2  2AB cos

1.4

Esta é a lei dos cossenos. Seu cálculo permite determinar o módulo ou intensidade do vetor resultante da diferença A-B. ________________________________________________________________________________ Exemplo 1.2 - Considere agora, que C=A+B e calcule o produto interno de C consigo mesmo. Solução: Seguindo a mesma ideia do exemplo anterior, temos que:           C C  ( A  B )  ( A  B )  A  B  A  B  A ²  B ²

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      C ²  (A  B )  ( A  B )  A ²  B ²  2 A  B  C  A ²  B ²  2 AB cos

1.5

Neste caso, a soma A+B= B + A pode ser representada na figura 1.7.

Figura 1.7

Através da técnica de semelhança de triângulo, é possível determinar a relação entre os vetores e os ângulos  , e .  A B C   sin  sin  sin  c) Produto externo ou produto vetorial de dois vetores: No produto vetorial de dois vetores A e B, o resultado deve ser um terceiro vetor C (Fig.1.8a), cuja direção e sentido podem ser obtidos pela regra da mão direita (Fig. 1.8b).

(a) (b) Figura 1.8 – Regra da mão direita

Por definição o produto vetorial entre dois vetores A e B é dado por A  B = | A || B | sin 

1.6

1.1.2 Vetores unitários A maneira pela qual podemos representar a disposição de um vetor em um plano coordenado, além de retas orientadas, é a utilização dos vetores unitários. Define-se vetor unitário â como a razão entre o vetor e seu módulo, isto é:

 a  â  a

1.7

Na representação vetorial os vetores unitários servirão para indicar a direção e o sentido de cada componente do vetor. Para indicar uma componente na direção x, utilizar-se-á ˆi , para indicar a direção y o ˆj e kˆ para indicar a direção z. Desse modo, um vetor A pode ser escrito como: 

A  Ax iˆ  Ay jˆ  Az kˆ

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Os termos Axiˆ , Ay ˆj e Az kˆ são chamados componentes do vetor A e representam as projeções deste vetor em cada eixo. O módulo ou magnitude de A, pode ser obtido elevando ao quadrado ambos os termos. 2

2

A 2  Ax  A y  A z  A

2

Ax  Ay  Az 2

2

2

1.8

ao trabalhar com vetores na forma de suas componentes, podemos reformular as regras de soma e produto vistas anteriormente obedecendo as seguintes regras: Regra 1: Na soma de vetores, basta somar as componentes que estão na mesma direção; Regra 2: Na realização do produto escalar entre vetores, devemos lembrar a definição 1.2, da qual estabelece que o produto escalar deve ser nulo para componentes unitárias perpendiculares. Assim, basta juntar as componentes semelhantes e somar os valores. Regra 3: Seguindo a definição 1.6, o produto vetorial entre componentes unitárias de mesma direção deve ser nulo, pelo contrário, devem seguir as relações seguintes:

iˆ  ˆj  kˆ ˆj  kˆ  ˆi

ˆj  ˆi   kˆ kˆ  ˆj  iˆ

kˆ  iˆ  ˆj

ˆi  kˆ   ˆj

1.9

Regra 4: Cálculo do produto vetorial por determinante. Este método deve seguir a seguinte relação: iˆ   A  B  Ax Bx

ˆj Ay

kˆ Az

By

Bz

1.10

resolvendo 1.10, temos   A  B = ( A y B z  Ax B z )iˆ  ( Az B x  Az B y ) ˆj  ( Ax B y  Ay B x ) kˆ

_______________________________________________________________________________  Exemplo 1.3 – Determine, em termo de vetores unitários, a soma vetorial de A  5 iˆ  3 ˆj  6 kˆ com  B  2 iˆ  4 ˆj  2 kˆ e calcule o módulo do resultado.

Solução: Logo,

  A  B  (5ˆi  3 ˆj  6 kˆ)  ( 2 ˆi  4 jˆ  2kˆ )   A  B  3iˆ  7 ˆj  8 kˆ

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  A  B  (3iˆ)²  (7 ˆj)²  (8 kˆ )²  11,04

Exemplo 1.4 - Determine o produto escalar entre os vetores do exemplo 1.2. Solução: 



A B  (5iˆ  3 ˆj  6kˆ) ( 2 iˆ  4 ˆj  2 kˆ )

Logo, 



A B  10  12 12  10 ________________________________________________________________________________ 1.1.3 Decomposição de vetores

Se um vetor A, representado no plano xy faz um ângulo θ com o eixo x, por exemplo, então, A pode ser desmembrado em componentes Ax i e Ay j (Fig. 1.9a). Caso o vetor esteja situado no plano xyz, será necessário incluir um ângulo adicional  para representá-lo (Fig. 1.9b). suas componentes horizontal e vertical no sistema xy serão dadas por:

Ax  Acos ˆi

e A y  A sin  ˆj

Assim, o vetor A(x,y) pode ser escrito como:

 A( x, y)  Ax ˆi  Ay ˆj  A(cos )iˆ  A(sin ) ˆj Já, o módulo do vetor resultante será dado por:

 A  ( Ax )²  ( Ay )²

 A( x, y, z)  ( Asin cos ) iˆ  ( Asin sin) ˆj  ( Acos )kˆ

(a) (b) Figura 1.9 – Componentes de um vetor em (a) duas e (b) três dimensões.

________________________________________________________________________________ Exemplo 1.5 - Uma partícula é lançada obliquamente com uma velocidade inicial de 100 m/s, que faz um ângulo de 30º com o plano horizontal da superfície. Determine quanto dessa velocidade contribui para os movimentos horizontal e vertical do movimento.

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Solução: Por aplicação direta das relações apresentadas em 1.10 e tendo em vista que o vetor resultante tem módulo 100 m/s, as componentes horizontal e vertical serão respectivamente:





vx  100cos30º 50 3 iˆ m/ s





vy  100sin 30º  50 ˆj m/ s Portanto, o vetor resultante v pode ser escrito como:





 v (x , y )  50 3 iˆ 50 ˆj m / s ______________________________________________________________________________ Exemplo 1.6 – A localização de um ponto no espaço é dada pelo vetor A de módulo 40 m (Fig. 1.10). Determine as componentes x, y e z e escreva o vetor A em termos de vetores unitários. Figura 1.10

kjhkljhlkjhlkjn

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 1.2 O operador 

 O operador nabla, simbolizado como  é um operador vetorial utilizado para determinar variações em três dimensões. Com esse operador podemos determinar o gradiente, o divergente e o rotacional de uma função de três variáveis. Sua definição é dada por:   ˆ  ˆ  ˆ  i j k z x y

1.11

a) Gradiente O gradiente é um cálculo feito apenas para funções escalares. Podemos assim, verificar como uma função escalar varia em três dimensões. Se tomarmos, por exemplo, a temperatura de um ambiente descrita por T(x,y,z), o seu gradiente será definido por:  T ˆ T ˆ T ˆ T  i j k z x y

1.12

 Esse resultado provém de um produto escalar entre o operador  com a função T. Seu resultado deve mostrar para onde campo de temperatura tem máxima variação. Embora a temperatura seja uma grandeza escalar, o gradiente deve ser um vetor. Igualando a equação 1.12 a zero, podemos obter os pontos críticos, que podem indicar um máximo ou um mínimo da função. ______________________________________________________________________________ Exemplo 1.6 - Encontre o gradiente de r  x ²  y ²  z ² (a magnitude do vetor posição). Solução: Aplicando a forma do gradiente no vetor r, temos: r 

r 

  x ²  y ²  z ²iˆ  x y

x²  y ²  z ² jˆ 

x y   x²  y²  z² x²  y²  z²

 z

z  x²  y²  z²

x²  y²  z² kˆ

x y z  rˆ x²  y²  z²

________________________________________________________________________________ b) Divergente  Para uma função vetorial E (x , y , z )  E xiˆ  E y jˆ  E zkˆ , cujo módulo varia em três dimensões,   o produto escalar da função   E fornece o chamado divergente de E, expresso por:   E E y  Ez  E  x  x x x

1.12

O divergente de um vetor é uma medida de como a função diverge de um ponto. A figura 1.6a, por exemplo, apresenta um divergente positivo, pois as setas se afastam do ponto central (caso contrário o divergente seria negativo). Por outro lado, podemos o divergente pode ser em uma única direção, como mostra a figura 1.6b.

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(a)

(b) Figura 1.6

_______________________________________________________________________________ Exemplo 1.3 -Suponha que as funções que descrevem a figura 1.6 sejam descritas por va  xiˆ  y ˆj  z kˆ e vb  xˆi . Calcule os seus divergentes. Solução: O divergentes da primeira função será  xˆi  y ˆj  z kˆ  xiˆ  y ˆj  z kˆ  xiˆ  y jˆ  z kˆ   va    z y x   va  1  1  1  3

Para a segunda função temos   x 0 0   vb     1 0 0  1 x y z

Como esperado, tempos respostas escalares, visto que o divergente se trata de um produto escalar entre o operador e o vetor. _______________________________________________________________________________ c) Rotacional Assim como um produto vetorial, o rotacional de uma função vetorial v deve resultar em um vetor. Com o operador nabla podemos obter o rotacional de uma função vetorial pela equação 1.13. A figura 1.6 apresenta dois exemplos de rotacionais de uma função qualquer. Para um vetor v = vx +vy +vz, o produto vetorial é dado por: iˆ     v  x vx

ˆj  y vy

(a)

kˆ  z vz

1.13

(b) Figura 1.7

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Problemas do capítulo I – Componentes de um Vetor 1.1 - Determinar as componentes dos vetores de módulo A que estão no plano xy e fazem um ângulo α com o eixo dos x.Adote os seguintes valores para A. (a) 10m, α = 30°;(b) 5 m, α = 45°; (c)7 km , α = 60°; (d) 5 km, α = 90°; (e) 15 km/s, α = 150°; (f) 10 m/s, α = 240°; (g) 8 m/s2, α = 270°. 1.2 - Um plano está inclinado de um ângulo de 30° em relação à horizontal. Fixe o eixo dos x paralelo ao plano e apontando para baixo, e o dos y perpendicular ao plano, apontando para cima. Determinar as componentes xy da aceleração da gravidade, cujo módulo é 9,8 m/s2 e aponta verticalmente para baixo. 1.3 - Um cubo tem a aresta de 2 m e as suas faces são paralelas aos planos de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com um vértice na origem. Um besouro começa a andar pelas arestas, partindo da origem, e chega ao vértice mais afastado. Escrever o vetor deslocamento do besouro mediante os unitários i, j e k, e determinar o módulo do deslocamento. 1.4 - Abordo de um helicóptero observa-se, no solo, duas pessoas puxando uma mula. (a) Determine um único vetor força que representa as duas forças apresentadas na figura. (b) Qual o módulo, a direção e o sentido da força que uma terceira pessoa deve fazer para que a força resultante sobre a mula seja nula? As forças são medidas em newtons (N). Figura 1.8

1.5 - Determinar o módulo de A, de B e de A + B, quando (a) A = - 4i -7 j;B = 3i - 2j; (b) A = 1 i 4j; B = 2i + 6j. 1.6 - Usando os vetores unitários i e j, descrever os seguintes vetores: (a) velocidade de 10 m/s com um ângulo α de elevação (ângulo com a horizontal) de 60°; (b) um vetor A de módulo A=5 m e α = 225°; (c) um deslocamento a partir da origem até o ponto de coordenadas x = 14 m e y = - 6m. 1.7- Determine o produto escalar e o produto vetorial entre os seguintes vetores: a) (1i +5j) e (-4j) d) (4i+10j-4k) e (7i+2j+8k) e) (5i+3j+10k) e (3i+8j+5k) b) (9i+5j) e (2,5i+2,5j) c) (7i+5j) e (2i+25j) 1.8 - Considere os vetores abaixo e represente as operações descritas abaixo. a) x=a+b+c b) x=a+b c) x=a-(a+b) d) x=2a+2b-c 1.9 – Determinar o módulo dos seguintes vetores: (a) A = 5i + 3j; (b) B = 10i - 7j; (c) C = - 2i - 3j + 4k; (d) 5i + 3j+5,5 k.

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  1.10 - Determine o produto escalar entre os vetores A  5 ˆi  3 ˆj  6 kˆ e B  2iˆ  5 ˆj  9 ˆk .

1.11 – Quando uma carga penetra em uma região de campo magnético uniforme, esta fica sujeita a    uma força magnética F, fornecida pela lei de Lorentz F  q (v  B ) . Considere que um elétron entre  em uma região de campo magnético uniforme, dado por B  (  2iˆ  4 ˆj ) mT e esteja animado de  uma velocidade v  ( 2 ˆi  4 ˆj ) m / s . Determine a força magnética, em newtons (N) que atua sobre o elétron. Considere a carga do elétron q   1,6 1019 C . 1.12 - Os vetores deslocamento A e B (Fig. 1.7) têm módulo 2 m. (a) Determinar as componentes x e y de cada um. As componentes, o módulo e a direção de (b) C=A + B e (c) C= A- B.

Figura 1.7



1.13- Determine o divergente e o rotacional dos seguintes vetores: A  y ²ˆi  yxˆj  z ³kˆ com 

B  2

yˆ i  4 xy³ ˆj  2 yz ²kˆ . x

1.14 - Dados os dois vetores A e B da Figura 1.7, determinar graficamente o vetor soma C, dado por (a) A + B; (b) A - B; (c) 2A + B; (d) B - A; (e) 2B - A. 1.15 – Determine o ângulo θ entre as diagonais a e b de um cubo de aresta 1 cm cuja aresta mede uma unidade de comprimento.

Figura 1.8

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Respostas dos Problemas do Capítulo I _____________________________________________________________________________ 1.1. (a) A x=8,66 m, Ay = 5 m. (b) A x = 3,53 m, Ay = 3,53 m (c) A x=3,5 km, Ay=6,06 km. (d) A x =0 km, A y=5 km. (e) A x= 7,5 km/s, A y= -12,99 km/s. (f) A x= -5 m/s², A y=- 8,66 m/s². (g) Ax = 0 m/s², Ay = -8 m/s².   1.3. r  (2iˆ  2 ˆj  2kˆ) m ; r  3,46 m . 1.5. (a) 8,06; 3,60; 9,05. (b)4,12; 6,32; 3,60. 1.7. (a) -20 e -4 k. c) 139 e 185 k. d) 16 e 88i - 60 j - 62k e) 89 e -65i + 5 j + 31k 1.9. (a) 5,83 (b) 12,20 (c) 3,60 (d) 8,01. 21

1.11.- 2,56 10 Nkˆ          xy ³  2  ˆ 1.13.   A  y  3z ² ,   A   ykˆ ,   B  2 yx  2  6 xy ²  4 yz   B  2 z² ˆi    k.  x  1.15. 60º.

_____________________________________________________________________________ Bibliografia [1] - GRIFFTHIS D. J. ELETRODINÂMICA. São Paulo. 3ª ed. Vol. 1. Pearson, 2012. [2] - TIPLER P. A. TIPLER 1/a. Rio de Janeiro. 2ª ed. Vol. 1/a. Guanabara 2, 1984. [3] – Alonço M. & Finn. E. MECÂNICA....