Aula 2 Vetores - enjoy it PDF

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Vetores de força Objetivos da aula  Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo.  Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor.  Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre outro.

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Escalares e vetores Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de quantidades escalares:  Comprimento  Massa  Tempo

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Escalares e vetores

Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para sua completa descrição. Exemplos de vetores:  Força  Posição  Momento

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Operações vetoriais Multiplicação por um escalar

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Operações vetoriais Adição de vetores Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da adição.

Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:

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Operações vetoriais Adição de vetores No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar R = A + B:

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Operações vetoriais Subtração de vetores R' = A – B = A + (–B)

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Determinando uma força resultante Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.

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Determinando as componentes de uma força Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas componentes para estudar seu efeito em duas direções específicas.

As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.

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Procedimento para análise Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser resolvidos da seguinte maneira: Lei do paralelogramo:  Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a diagonal do paralelogramo.

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Procedimento para análise  Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as componentes, Fu e Fv.

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Procedimento para análise Trigonometria  Redesenhe metade do paralelogramo para a adição triangular ‘extremidade-paraorigem’ das componentes.  Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As intensidades das duas componentes de força são determinadas pela lei dos senos. slide 12

Adição de um sistema de forças coplanares Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos eixos x e y, as componentes são chamadas de componentes retangulares. Estas componentes podem ser representadas utilizando:  notação escalar.  notação de vetor cartesiano.

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Notação escalar Quando as componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser determinadas por:

No entanto, no lugar de utilizar o ângulo θ, como o triângulo abc e o triângulo maior sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:

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Notação vetorial cartesiana Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de vetores cartesianos unitários i e j.

Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. slide 15

Resultante de forças coplanares Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:

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Resultante de forças coplanares Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada como um vetor cartesiano, ou seja, F1 = F1x i + F1y j F2 = – F2x i + F2y j F3 = F3x i – F3y j O vetor resultante é, portanto, FR = F1 + F2 + F3 = F1x i + F1y j – F2x i + F2y j + F3x i – F3y j = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j = (FRx) i + (FRy) j

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Resultante de forças coplanares Se for usada a notação escalar, temos então (→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x (+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja, Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição vetorial. slide 18

Resultante de forças coplanares Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de Pitágoras, ou seja,

Além disso, o ângulo , que especifica a direção da força resultante, é determinado através da trigonometria:

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Pontos importantes  A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao longo dos eixos.  A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação forma com um dos eixos.  A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j.  As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das componentes de todas as forças coplanares.  A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria. slide 20

Vetores cartesianos As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os vetores forem primeiro representados na forma de um vetor cartesiano. Sistema de coordenadas destro Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo.

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Componentes retangulares de um vetor 3D Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se decompô-lo em componentes, como: A = A’ + Az e depois A’ = Ax + Ay.

Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado pela soma vetorial de suas três componentes retangulares, A = Ax + Ay + Az slide 22

Componentes retangulares de um vetor 3D

A = Axi + Ayj + Azk

Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente, simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em três dimensões.

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Componentes retangulares de um vetor 3D É sempre possível obter a intensidade do vetor A, desde que ele seja expresso sob a forma de um vetor cartesiano.

temos:

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Direção de um vetor cartesiano 3D A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados  (alfa),  (beta) e  (gama), medidos entre A e os eixos x, y, z positivos, desde que sejam concorrentes na origem de A.

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Direção de um vetor cartesiano 3D Para determinarmos ,  e , vamos considerar as projeções de A sobre os eixos x, y, z. Os ângulos estão nos planos de projeção.

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Direção de um vetor cartesiano 3D Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor unitário uA na direção de A. Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Ax i + Ay j + Az k, então para que uA tenha uma intensidade unitária e seja adimensional, A será dividido pela sua intensidade, ou seja,

vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos diretores de A, ou seja, uA = cos α i + cos β j + cos γ k slide 27

Direção de um vetor cartesiano 3D Existe uma relação importante entre os cossenos diretores: cos2  + cos2  + cos2  = 1 A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como: A = A uA A = A cos α i + A cos β j + A cos γ k A = Ax i + Ay j + Az k A direção de A também pode ser especificada usando só dois ângulos:  e 

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Pontos importantes  A análise vetorial cartesiana é usada frequentemente para resolver problemas em três dimensões.  A intensidade de um vetor cartesiano é dada por  A direção de um vetor cartesiano é definida pelos ângulos de direção coordenados , ,  que o vetor forma com os eixos x, y, z positivos, respectivamente. As componentes do vetor unitário uA = A/A representam os cossenos diretores , , . Apenas dois dos ângulos , ,  precisam ser especificados. O terceiro ângulo é calculado pela relação: cos2  + cos2  + cos2  = 1.  Algumas vezes, a direção de um vetor é definida usando os dois ângulos  e . Nesse caso, as componentes vetoriais são obtidas por decomposição vetorial usando trigonometria.  Para determinar a resultante de um sistema de forças concorrentes (que se interceptam em um ponto), expresse cada força como um vetor cartesiano e adicione as componentes i, j, k de todas as forças do sistema. slide 29

Vetor posição  Coordenadas x, y, z As coordenadas do ponto A são obtidas a partir de O, medindo-se xA = +4 m ao longo do eixo x, depois yA = +2 m ao longo do eixo y e, finalmente, zA = –6 m ao longo do eixo z. Portanto, A (4 m, 2 m, –6 m). De modo semelhante, as medidas ao longo dos eixos x, y, z desde O até B resultam nas coordenadas de B, ou seja, B (6 m, –1 m, 4 m).

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Vetor posição Se r estende-se da origem de coordenadas O até o ponto P (x, y, z),

então r pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como:

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Vetor posição Observe como a adição vetorial das três componentes produz o vetor r.

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Vetor posição Na maioria dos casos, o vetor posição podem ser direcionado de um ponto A para um ponto B no espaço. Também podemos obter essas componentes diretamente.

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Produto escalar O produto escalar dos vetores A e B, escrito A  B e lido ‘A escalar B’, é definido como o produto das intensidades de A e B e do cosseno do ângulo  entre eles. Expresso na forma de equação, A  B = AB cos 

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Propriedades do produto escalar 1. Lei comutativa: A B = B A 2. Multiplicação por escalar: a (A  B) = (aA)  B = A  (aB) 3. Lei distributiva: A  (B + D) = (A  B) + (A  D)

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Formulação cartesiana do produto escalar Se quisermos determinar o produto escalar de dois vetores A e B expressos na forma de um vetor cartesiano, teremos: A  B = (Axi + Ayj + Azk)  (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i  i) + AxBy(i  j) + AxBz(i  k) + AyBx(j  i) + AyBy(j  j) + AyBz(j  k) + AzBx(k  i) + AzBy(k  j) + AzBz(k  k) Efetuando as operações do produto escalar, obtemos o resultado final: A  B = AxBx + AyBy + AzBz

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Aplicações O produto escalar tem duas aplicações importantes na mecânica.  O ângulo formado entre dois vetores ou linhas que se interceptam.

 As componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha. Aa = A cos  = A  ua

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Pontos importantes  O produto escalar é usado para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor em uma direção especificada.  Se os vetores A e B são expressos na forma de vetores cartesianos, o produto escalar será determinado multiplicando-se as respectivas componentes escalares x, y, z e adicionando-se algebricamente os resultados, ou seja, A  B = AxBx + AyBy + AzBz.  Da definição do produto escalar, o ângulo formado entre as origens dos vetores A e B é  = cos–1 (AB/AB).  A intensidade da projeção do vetor A ao longo de uma linha, cuja direção é especificada pelo vetor unitário ua, é determinada pelo produto escalar Aa = A  ua.

Exemplos e exercícios slide 38

Exemplo 1 Considerando que θ = 600 e que T = 5 kN determine a magnitude da força resultante e sua direção

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Exemplo 1

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Exemplo 2 Decomponha as forças F1 e F2 nas direções u e v. determine os valores destas componentes. Para F1 teremos:

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Exemplo 2 Para F2:

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resolver 1. Três cabos puxam uma tubulação de forma a criar uma força resultante de 1800 N. Se dois cabos estão submetidos a forças conhecidas, como indicado na figura, determine o ângulo θ do terceiro cabo de forma que a magnitude da força F seja mínima. Todas as forças se encontram no plano x-y. Qual é o valor da F mínima?

2. Se a magnitude da força resultante no suporte da figura é de 600 N e sua direção medida a partir do eixo positivo x na direção horária é 30o, qual a magnitude da F1 e qual é sua direção φ?

3. Determine a magnitude e a direção (os ângulos coordenados ou diretores) da força resultante no suporte da figura.

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resolver 4. Se a força resultante atuando no suporte é FR = {-300 i + 650 j + 250 k} determine a magnitude e os ângulos diretores de F 5. O candelabro é suportado por três braços com correntes congruentes no ponto O. se a força resultante em O e de 650 N direcionada segundo o eixo negativo z, determine a força em cada um dos três braços.

6. Uma torre é mantida no seu lugar por três cabos. Se a força que atua em cada cabo é indicada, determine os ângulos diretores α, β, γ da força resultante. Considere x = 20 m e y = 15 m slide 44

resolver 7. Determine a magnitude da componente da força FAB atuando na direção do eixo z.

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