Cal. vet 2 - Adição de Vetores PDF

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Adição de Vetores...

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5

1.5 Adição de vetores r

r

Definição: Consideremos dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. r

r

r

Sejam B A u e C B r v . O vetor s r r r r de u e v e indicamos por s u v .

AC é chamado vetor soma B

r

r

Observemos que o vetor s u independe do ponto A. De fato, considerarmos outro ponto r B A u obteremos e C B Assim,

AB

A B e BC

r

r

u

v se Ar v.

v

r

C

s

A r

r

u

v

B’ r

A’

BC .

r

C’

s

Usando a propriedade 1 de 1.3 , concluímos que : AA

BB e BB

C C . Daí, AA

C C e portanto AC r v

Propriedades: r r r r 1. u v v u ( comutativa ).

AC .

r

u

r

u r r

r

r

r

r

2. u v w u ( associativa )

v

v

r

w

v

s

u r

u r

r

r

s

r

v

v

r

w

r

w

r

3. u o u ( elemento neutro ). r r r 4. u u o ( elemento oposto ). r

r

r

v por u

Indicamos o vetor u

r

r

v . Notemos que u r

r

v

v r

u

r

v

r

v

r r

u

r

r

v u

u

r

r

v u.

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1.6 Produto de um número real por um vetor r

r

r

Definição: Dados a R e v o , chamamos produto de a por v , o r r vetor w av , que satisfaz às condições abaixo: r

r

1. | w | | a || v | . r r 2. A direção de w é a mesma da v . r r 3. O sentido de w é igual ao de v se a a 0.

r

0 , e contrário ao de v se

r r r Se a 0 ou v o , o produto av é o vetor nulo.

Exemplos: r

v r

2 r v 3

r

v

2v r -3 v

r

Se a r

v r |v|

1r v r r 0 , o produto v é indicado por . Se v o , é fácil mostrar que a a r v r r r r r é o versor de v , ou seja v r e portanto v | v | v . |v|

Propriedades: 1. 2. 3. 4.

r

r

a bv ab v . s r r r a u v au av . r r r a b v av bv . r r 1v v . r

r

Nas propriedades acima, u e v são vetores quaisquer, a e b são números reais.

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1.7 Combinação linear

r r Kr r r r K r r r Kr

K

Definição 1: Dados n vetores v1 , v 2 , , vn e n escalares a1 , a 2 , , a n , a n v n , de combinação linear chamamos o vetor v a1 v1 a 2 v2 dos vetores v 1 , v 2 , , v n com coeficientes a 1 , a 2 , , a n .

K

r

Nos exemplos 1, 2 e 3 a seguir, escrevemos w como combinação linear dos vetores dados. Exemplo 1:

r

rv

w

Exemplo 2:

ru

r

rv

w

r 2 rv .

Neste exemplo, w

r r r r

r

r r

Como w o 0u 0 v , dizemos que o é combinação linear de u e v , com coeficientes zeros.

Exemplo 3:

r

rv

w

r

ru r

Observando a figura ao lado, podemos escrever : 2 w v 0u . 3

r

r

r r

2 e 0. 3 Note que, o vetor u não pode ser escrito como combinação linear de w e v.

Assim, w é combinação linear de u e v , com coeficientes

r r

r

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Exemplo 4: Consideremos um paralelogramo ABCD. Observemos que o vetor C

D A

B

AC AB AD possui mesma direção que diagonal AC.

a a

Se | AB | | AD | , este paralelogramo será um losango. Sabemos que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo D B A D contém a diagonal AC. Assim, o

A

C

vetor AC AB AD possuirá também a mesma direção da bissetriz do ângulo

B

BA D . No caso de | AB | | AD | , o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz do ângulo B A D . Para conseguirmos um vetor que possua a mesma direção da bissetriz do ângulo B A D , basta tomarmos o vetor r

v t AB

t AD , t

R*.

D

C

t AD A

B

t AB

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Exemplo 5: Observando o paralelepípedo ao lado, podemos escrever: AG

H

AB BC CG

G

E

F

Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB , BC e CG . Como BC CG

AD e

D

C

AE , podemos também escrever: A

AG

B

AB AD AE

Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB , AD e AE. r

r

r

Definição 2: Dizemos que os vetores v1 , v 2 ,..., vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso r r r r indicamos v1 // v 2 // v3 ,..., // vn . r

r

r

r

r

r

No exemplo 1, temos u // w , e no exemplo 2 temos w // u e w // v , v r embora u e v não sejam paralelos. r

r

r

Definição 3: Dizemos que os vetores v1 , v2 ,..., vn são coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano. Observamos que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores. Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares. Propriedades: r

r

1. Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro. Prova: " " Começaremos considerando os seguintes casos: r r r r r 1) u o v ; u t v, t IR r r r r r r 2) u o e v o ; temos u 0v...