Vetores - Resumo PDF

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Resumo sobre a parte de vetores no espaço....

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VETORES SLIDE 1: Vetores: São usados para representar grandezas que possuem magnitude, direção e sentido. Grandeza escalares: São caracterizados somente pela magnitude. Grandeza vetorial: São caracterizados por apresentar direção, módulo e o sentido. Reta orientada: Uma reta é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso que é indicado por uma seta. Segmento orientado: É determinado por uma par ordenado de pontos, o primeiro chamado de origem do segmento e o segundo, extremidade, ou seja, é um vetor. Vetor nulo: Quando o vetor é zero (vetor nulo). Vetor Simétrico: A cada vetor não nulo v tem-se um vetor simétrico -v, o qual possui o mesmo módulo, a mesma direção, mas com o sentido oposto. Vetor unitário: Quando o seu módulo é = 1. Versor: O versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e o mesmo sentido de v.

v |v| e o resultado faz o módulo.

Vetores colineares: Dois vetores u e v são chamados de colineares se tiverem a mesma direção na mesma reta ou em retas paralelas (podendo ser também com sentidos opostos). Vetores coplanares: Quando os vetores não nulos u e v pertencem ao mesmo plano. Adição de vetores: regra do paralelograma. Junta a origem de um vetor com a extremidade do outro, traçar o paralelograma e a soma aponta para o encontro da origem até a extremidade. Diferença de vetores: Junte os dois vetores como se fosse fazer a soma, inverta o sentido do vetor com sinal negativo e, por fim, utiliza-se a regra do paralelograma. Base ortonormal: Uma base é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, vetores que formam um ângulo reto e possuem módulo igual a 1. Sistema cartesiana ortogonal: v= xi + yj, no qual x e y são as componentes de v na base canônica, a primeira componente é chamada de abscissa de v e a segunda componente é a ordenada de v. Vetor no plano: É um par ordenado (x,y) de números reais. Vetor definido por dois pontos: Basta-se fazer a diferença entre os dois pontos, ou seja, extremidade menos a origem. Como? Criando-se 2 vetores, que conectam a origem do sistema a cada ponto. Distância entre dois pontos: Primeiro acha-se o vetor partindo da origem, a expressão resultante deve-se elevar ao quadrado e extrair a raiz quadrada da soma, ou seja, ache o vetor representante que parte da origem e depois calcule o módulo. SLIDE 2 Vetor no espaço: Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois ortogonais. Base canônica: {i,j,k}, no qual i é o eixo dos x (abscissas), j eixo dos y (ordenadas) e o k eixo dos z (cotas). Octante: Os três planos (x,y,z) se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões, cada uma delas chamada de octantes.

Encontrar o vetor no espaço: Identifique primeiramente as componentes nos eixos x,y,z e depois ir traçando os planos (xy,yz,zx) e construir o paralelepípedo. Por fim, a intersecção das três retas fornecem o ponto p. Módulo: Faz igual ao vetor no plano. Paralelismo de dois vetores: Dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. (x1,y1,z1) = k(x2,y2,z2). u//v. Versos de um vetor no espaço: O versor de um vetor é o vetor unitário, primeiro calculase o módulo do vetor e depois usa-se a expressão do versor.

SLIDE 3 Produto escalar: É um produto entre dois vetores cujo o resultado é um escalar. (v.w =( 1 1+ 2 2+ 3 3). v.w = [u].[v].cos 0º Produto escalar na física: O trabalho realizado por uma força constante f ao longo de um determinado deslocamento d é definido como o produto escalar dessa força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada. Cálculo: Defini-se produto escalar de dois vetores não nulos como o produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

v.w |v||w|

Cálculo do ângulo entre dois vetores: cos θ=

Condição de ortogonalidade: Dois vetores não nulos será nulo quando o ângulo formado entre eles for 90º, ou seja, dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles é nulo. Produto vetorial: produto entre dois vetores cujo resultado é um vetor. Cálculo: Por determinante, resolvido pela regra de Sarrus. Área do paralelograma: O módulo de produto vetorial entre dois vetores fornece a área do paralelograma. Comprimento do vetor: é determinado pela área do paralelograma. Direção do vetor: Será perpendicular a v e w. Sentido: Pela regra da mão direita, ou seja, giramos o vetor v de um ângulo Xº até que coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita. Dessa forma, o polegar vai apontar no sentido de v x w. Produto misto: O produto misto é igual, numericamente em valor absoluto, ao volume do paralelepípedo cujas arestas têm os comprimentos respectivamente iguais aos dos módulos dos vetores. Área da base: módulo dos dois vetores. Volume: |u . ( vxw )| Duplo produto vetorial: u x (v x w).

Geometria euclidiana: É a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandre. A soma dos ângulos é igual a 180. Geometria hiperbólica: É a geometria não Euclidiana. A soma dos ângulos é menor que 180. Geometria elíptica: Geometria bidimensional de uma esfera. Soma dos ângulos maior que 180. Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas: Retas: Considerando o ponto inicial A : (a,b,c) e o vetor diretor AB = v1i + v2j + v3k, vemos que um ponto X : (x,y,z) pertence a reta r se e somente se AX = vt. Equação vetorial da reta: r : X = A + vt x a v1 y = b + v2 t z c v3 Equações paramétricas da reta: x = a + v1t r : y = b + v2t z = c + v3t Equação na forma simétrica:

x−x1 y−y1 z−z1 = = c b a Plano: Dado um ponto inicial Po (xo,yo,zo) e um conjunto de vetores u (u1,u2,u3) e v (v1,v2,v3) é possível determinar qualquer ponto P (x,y,z). Equação vetorial do plano: P = P0 + us + vt Equações paramétricas do plano: x = x0 + u1s + v1t y = y0 + u2s + v2t z= z0 + u3s + v3t Equação geral do plano: ax + by + cz = d Elipse: Uma elipse é uma curva plana definida por pontas cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, f1 e f2, é sempre constante, = 2a. Equação da elipse com centro na origem

2

:

eixo maior no x:

x ❑ y ❑2 + =1 2 a❑ b❑2

e eixo

2

maior no y :

2 x❑ y❑ + =1 2 b❑ a❑2

Equação reduzida da elipse:

2

2

2

a❑ +b❑ =c ❑

c a

Excentricidade:

Equações gerais da elipse: com eixo no x: x = acos 0º y = bsen 0º com eixo no y: y = acos 0º x = bsen 0º Hipérbole: A hipérbole é a curva plana definida como o conjunto dos pontos cujas diferenças (em módulo) das distâncias aos focos F1 e F2 são sempre iguais a 2a. Equação da hipérbole: 2

no eixo x :

x❑ y ❑2 − =1 2 a❑ b❑2

2

No eixo y

Equações gerais da hipérbole: Com abertura oeste - leste: x = h + a sec 0º y = k + b tag 0º

y❑ x ❑2 − =1 2 a ❑ b ❑2

Com abertura norte - sul: x = h + b tag 0º y = k + a sec 0º Parábola: A parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de seu foco e de sua reta diretriz, ou seja, a distância do foco até o vértice e do vértice até a reta diretriz é sempre a mesma. Equação reduzida da parábola Concavidade sul ou norte: 2 2 x ❑ =2 py , concavidade pra cima e ( x − h) ❑ =2 p ( y −k ) 2 x ❑ =2 ( − py ) , concavidade pra baixo

Equação reduzida da parábola - Concavidade leste ou oeste: 2 2 y ❑ =2 px , concavidade pra direita e ( y − k) ❑ =2 p x - h) 2 y ❑ =2(− px ) , concavidade pra esquerda

Equação geral da parábola:

2 y ❑ =4 px

2

Elipsóide:

e

2 x ❑ =4 py

2

2 x❑ y❑ z❑ + + =1 , as interseções geram elipses. 2 2 a❑ b❑ c ❑2 2

Hiperbolóide de uma folha:

2

2 x❑ y❑ z❑ + − =1 , as interseções geram elipses e 2 2 2 a❑ b❑ c❑

hipérboles. Hiperbolóide de duas folhas:

2 2 2 − x❑ y ❑ z ❑ + − =1 as interseções geram elipses e 2 2 a❑ b ❑ c ❑2

hipérboles. 2

x❑ y❑ + = z , as interseções geram elipses e parábolas 2 a❑ b❑2 2 y ❑2 x❑ − =z , as interseções geram parábolas Parabolóide hiperbólico: 2 a❑ b❑2 2 2 x❑ y❑ 2 + Superfície cônica: = z❑ , as interseções geram cones. 2 2 a❑ b❑ Superfície esférica: x ❑2 + y ❑2 +z ❑2 =r ❑2 , interseções geram cicurferências. 2

Parabolóide Elíptico:...