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linha de campo vetorial ...

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Integral de linha de campo vectorial Sejam :

• C uma curva dada por ~ r (t) = (x(t), y (t), z (t)), com t ∈ [a, b].

• e ~ : Dom(F ~ ) ⊂ R3 −→ R3 F ~ = (F1, F2, F3) um campo vectorial cont´ınuo cujo F ~ ) contem todos os pontos da curva C Dom(F 1

2

Motiva¸ c˜ ao: ~ ao Para motivar a defini¸ c˜ ao de integral de linha de F longo da curva C, suponhamos que F~ representa um campo de for¸ cas e calculemos o trabalho realizado pela for¸ ca F~ ao deslocar uma part´ıcula ao longo de C

3

Quando C ´ e um segmento de reta ligando o ponto A e uma for¸ ca constante: ao ponto B e F~ ´

O trabalho realizado por F~ ao deslocar a part´ıcula ao longo de C ´ e dado por:   



 ~   ~  ~ ~ · AB W =  F  AB  cos θ = F 4

Quando C n˜ ao ´ e um segmento de reta, podemos aproxim´ a-la por uma linha poligonal com vertices em C do seguinte modo

5

Portanto, O trabalho realizado para deslocar uma part´ıcula de r(ti) at´ e r(ti+1 ) ´ e aproximadamente ~ (r(ti)) · △Si ≈ F ~ (r(ti)) · r′ (ti) △ti F Assim, o trabalho W realizado pela for¸ ca F~ para deslocar uma part´ıcula ao longo de C do ponto A ao ponto B ´ e: 6

  n−1 X ~ (r(ti)) · r′ (ti) △ti  F W = lim  n−→+∞ i=0

~ ´ Se r ∈ C 1 em [a, b] e F e cont´ınuo em C, o limite acima existe e ´ e igual a

W =

Z b a

~ (~ F r (t)) · ~ r ′(t) dt

Esta motiva¸ c˜ ao sugere a defini¸ c˜ ao como se segue

7

Defini¸ c˜ ao .1 Seja C ⊂ R3 uma curva regular dada por uma parametriza¸ c˜ ao ~ r : [a, b] −→ R3 de classe C 1, tal ′ que ~ r (t) 6= 0, para todo t ∈]a, b[. Seja F~ = (F1, F2, F3) um campo vetorial continuo sobre C. Ent˜ ao a integral F~ ao longo da curva C , de linha do campo vectorial Z denotado por ao integral f~ · dr, ´ e definida por: C

Z

C

~ · dr = F

Z b a

~ (~ F r (t)) · ~ r ′(t) dt

8

Notas: ~ representa um campo de for¸ cas, • Se admitirmos que F ~ ao longo da linha C o integral da fun¸ c˜ ao vectorial F representa o trabalho realizado por F~ para deslocar uma part´ıcula ao longo da linha C, do ponto r(a) ao ponto r(b) .

• Este integral n˜ ao depende da parametriza¸ c˜ ao escolhida para C, desde que n˜ ao se inverta sua orienta¸ c˜ ao.

9

Propriedades dos integrais de linha de campos vectoriais: ~ eG ~ campos vetoriais cont´ınuos com Seja F ~ ), Dom(G) ~ ⊂ Rn Dom( F e C curva regular totalmente contida em ~ ) ∩ Dom(G). ~ Dom( F ~ ). C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Dom( F −C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em ~ )). Dom(F α, β ∈ R. •

Z

−C

~ · dr = − F

Z

C

~ · dr F 10

•

Z h

•

Z

C

~ + βG ~ αF

C1∪C2

i

~ · dr = F

Z

· dr = α

Z

C1

C

F~ · dr + β

~ · dr + F

Z

C2

Z

C

~ · dr G

~ · dr F

Obs Se C ´ e uma curva fechada (r(a) = r(b) e est´ a orientada no sentido anti-hor´ ario, denotamos a integral de linha ~ ao longo da curva C por: do campo vectorial F I

C

F~ · dr

Exerc´ıcios: 1. Calcule o trabalho realizado pela for¸ ca f~(x, y) = (x2 − 2xy, 2xy + y 2) ao longo da linha y = x2 desde (0,0) at´ e (3,9). R:405.9 2. Calcule o trabalho realizado pela for¸ ca f~(x, y) = (1+ xy, x−y) no deslocamento do seu ponto de aplica¸ c˜ ao ao longo da linha fechada definida por y = x, y = −1, x = 0 e x = 2 no sentido hor´ ario. R:−32 3. Calcule o trabalho realizado pela for¸ ca f~(x, y) = (y, x) ao deslocar uma part´ıcula desde (0,0) at´ e (1,1) ao longo das linhas 11

(a) y = x (b) y = x2 (c) y = x3 R:1

Campos conservativos Defini¸ c˜ ao .2 F~ : Rn −→ Rn ´ e um campo conservativo (ou campo gradiente) se existe ϕ : Rn −→ R ~ = ∇ϕ(~ F x), ou seja, (F1, F2, ..., Fn) =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , ..., , ∂x1 ∂x2 ∂xn

!

` fun¸ A c˜ ao ϕ chama-se a fun¸ c˜ ao potencial geradora de ~. F

12

Teorema: Seja F~ = ∇ϕ um campo vetorial gradiente cont´ınuo definido num subconjunto aberto U ∈ R3. Se C ´ e uma curva em U com pontos inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma fun¸ c˜ ao r(t), C 1 por partes, ent˜ ao: Z

C

F~ · dr =

Z

C

∇ϕ · dr = ϕ(B) − ϕ(A)

e independente do ou seja, o trabalho realizado por F~ ´ caminho.

13

Exerc´ıcios: Determine uma fun¸ c˜ ao potencial para cada ~ dado: campo gradiente F 1. f~(x, y) = (2xy 3, 3x2y 2 + 2y) 2. f~(x, y) = (2x + 2y, 2x − 3y 2) 14

3. f~(x, y) = (cos(y) − 2y cos(x), −x sin(y) − 2sin(x)) 4. f~(x, y, z ) = (2xyz, x2z + 2, x2y + 3z 2)

5. f~(x, y) = (yexy , xexy )

Nota: Quando o campo ´ e conservativo o trabalho ao longo de uma linha fechada ´ e 0.

Teorema de Green

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Biografia de George Green: Nascido em 1793 em Notingham na Inglaterra, George Green passou grande parte da sua vida a trabalhar num moinho do seu pai, tendo frequentado apenas dois anos do ensino elementar. Com 30 anos Green tornou-se membro da Subscription Library, uma institui¸ c˜ ao fundada com o objectivo de servir de ponto de encontro de n˜ ao-acad´ emicos para discutir assuntos cient´ıficos. Aos 35 anos publicou a primeira e, segundo muitos, mais importante obra sobre a aplica¸ c˜ ao da an´ alise matem´ atica ` a teoria da electricidade e ao magnetismo. Foi tamb´ em a primeira pessoa a usar a express˜ ao “potencial” na teoria do campo e introduziu v´ arios teoremas de an´ alise vectorial que permitiam calcular o potencial electrost´ atico. Apenas aos 40 anos ingressa na universidade como estudante da licenciatura. Alguns anos mais tarde volta a

Notingham para trabalhar no seu moinho. Ap´ os a sua morte Lord Kelvin descobre os seus trabalhos e consegue a sua publica¸ c˜ ao num jornal de nome reconhecido. Na mesma altura, outros cientistas, entre os quais Carl Gauss, de forma idependente, chegam a alguns resultados j´ a antes alcan¸ cados por Green. Antes de enunciar o teorema de Green, faz-se necess´ ario introduzir as seguintes defini¸ co ˜es. Defini¸ c˜ ao: Dizemos que uma regi˜ ao fechada e limitada D do plano xy ´ e simples se D pode ser descrita como uma regi˜ ao do tipo I e de tipo II, simultaneamente. Defini¸ c˜ ao: Dizemos que a fronteira ∂D de uma regi˜ ao limitada D do plano xy est´ a orientada positivamente,

se a regi˜ ao D fica a esquerda, ao percorrermos a fronteira ∂D .

Teorema de Green: Seja D uma regi˜ ao fechada e limitada do plano xy, cuja fronteira ∂D est´ a orientada positivamente e ´ e parame-

trizada por uma fun¸ c˜ ao de classe C 1 por partes, de modo ∂D seja percorrida apenas uma vez. ~ (x, y) = (F1(x, y ), F2(x, y )) ´ e um campo vetorial Se F de classe C 1 num subconjunto aberto que cont´ em D, ent˜ ao:

Z

∂D

~ · dr = F

Z Z

!

∂F2 ∂F1 dx dy. − ∂y ∂x D

Exerc´ıcios 1. Verifique o teorema de Green para a fun¸ c˜ ao ~ (x, y) = (xy, x + y) F

e a seguinte regi˜ ao sombreada:

2. Verifique o teorema de Green para a fun¸ c˜ ao ~ (x, y) = 2xy e~1 + (x − y)e~2 F

para a regi˜ ao de R2 em que 0 ≤ y ≤ x + 2 e x2 + y 2 ≤ 4. Rpta: π − 32 3. Verifique o teorema de Green para a fun¸ c˜ ao ~ (x, y) = (x2 + y 2, 1) F e a seguinte regi˜ ao sombreada:

4. Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo de for¸ cas ~ (x, y) = (1 + y, y + x) F ao deslocar uma part´ıcula ao longo da fronteira de

R percorrida no sentido positivo em que R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ x, x ≥ 0 . n

o

5. Utilize o teorema de Green para calcular o valor de Z Z

yex+y dx dy

D ~ (x, y) = (yex+y , ex+y ) e com F n o 2 D = (x, y ) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 .

6. Considere a linha L = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, x ≤ 0 n

o

~ (x, y) = (xy 2, xy). Use o Teoe o campo vectorial F rema de Green para calcular o trabalho realizado por ~ ao longo de L. F

7. Considere a regi˜ ao R=

n

o 2 2 2 2 (x, y) ∈ R : x + y ≤ 1, y ≥ x − 1 .

Calcule a ´ area de R sem calcular integrais duplos.

Interpreta¸ c˜ ao vetorial do Teorema de Green Suponhamos que D ´ e uma regi˜ ao fechada e limitada do plano xy cuja fronteira ∂D ´ e uma curva orientada em sentido anti-hor´ ario. Se ∂D tem uma parametriza¸ c˜ ao r(t) = (x(t), y(t)) de classe C 1 com t ∈ [a, b], cujo vetor tangente ´ e nao nulo em cada ponto de ∂D, ent˜ ao denotemos os vetores tangente e normal unit´ ario por: 

′

e

r (t)

′

′

x (t)

y (t)



   =   ,   ′ ′     ′ r (t) r (t) r (t)

T (t) = 



′

N (t) =  

y (t)

′

−x (t)



   ,  ′    ′ r (t) r (t)

16

Neste caso o teorema de green assume a forma: I

∂D

~ · T )ds = (F

Z Z

!

∂F2 ∂F1 − dx dy. D ∂x ∂y 17

Este resultado ´ e um caso particular do Teorema de Stokes, que veremos mais tarde. Agora usando o vetor normal unit´ ario N (t) obtem-se:

I

∂D

~ · N )ds = (F

Z Z

!

∂F1 ∂F2 + dx dy. ∂x D ∂y

Este resultado ´ e a vers˜ ao em duas dimens˜ oes do Teorema de Gauss, que veremos posteriormente.

Duas Formas para o Teorema de Green Antes, faz-se necess´ ario introduzir as seguintes defini¸ co ˜es. Defini¸ c˜ ao: Uma curva fechada C ´ e chamada de simples se ela n˜ ao tem interse¸ c˜ ao com ela mesma. Defini¸ c˜ ao: Seja F~ = (F1, F2, F3) um campo vetorial com derivadas parciais definidas num subconjunto aberto ~ , denotado do R3. O campo vetorial rotacional de F ~ ), ´ e definido por: por rot(F ~ rot(F~ ) = ∇ × F

=

∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 18

!

Defini¸ c˜ ao: Seja F~ = (F1, F2, F3) um campo vetorial com derivadas parciais definidas num subconjunto aberto ~ ), ´ ~ , denotado por div(F do R3. O divergente de F e definido por: ~) = div(F

∂F1 ∂F3 ∂F2 + + ∂z ∂y ∂x

!

Teorema de Green (Fluxo-Divergˆ encia ou forma normal) O fluxo exterior de um campo F~ (x, y ) = (F1(x, y ), F2(x, y )) atrav´ es de uma curva fechada simples C ´ e igual ` a integral dupla de div(F~ ) sobre Ω, limitada por C . I

∂D

~ · N )ds = (F

Z Z

!

∂F1 ∂F2 + dx dy. ∂x D ∂y

Teorema de Green (Circula¸ c˜ ao-Rotacional ou Forma Tangencial) A circula¸ c˜ ao no sentido anti-hor´ ario de um ~ (x, y ) = (F1(x, y ), F2(x, y)) em torno de uma campo F curva fechada simples C no plano ´ e igual ` a integral dupla ~ sobre Ω, limitada por C . ~) ·k de rot(F

I

∂D

~ · T )ds = (F

Z Z

∂F2 D

!

∂F1 dx dy. − ∂y ∂x

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Campos vetoriais conservativos no plano Antes, faz-se necess´ ario introduzir as seguintes defini¸ co ˜es. Defini¸ c˜ ao: Um subconjunto aberto Ω ⊂ R2 ´ e chamado de conexo se dois pontos quaisquer de Ω podem ser ligados por uma poligonal totalmente contida em Ω. Defini¸ c˜ ao: Um subconjunto aberto Ω ⊂ R2 ´ e chamado de simplesmente conexo se, para toda curva fechada C em Ω, a regi˜ ao limitada por C esta totalmente contida em Ω. Intuitivamente , um aberto Ω ´ e simplesmente conexo se n˜ ao tem ”buracos”. 20

Teorema: Seja F~ (x, y) = (F1(x, y ), F2(x, y )) um campo vetorial de classe C 1 definido num subconjunto simplesmente conexo Ω ⊂ R2. As seguintes condi¸ co ˜es s˜ ao equivalentes: 1.

I

~ · dr = 0, qualquer que seja a curva fechada C , F

C C 1 por partes, contida em Ω.

~ do ponto A at´ e o ponto B 2. A integral de linha de F independe da curva C 1 por partes , contida em Ω, que liga A a B . ~ ´ e um campo gradiente de alguma fun¸ c˜ ao potencial 3. F f em Ω. 21

4.

∂F1 ∂F2 = em Ω. ∂x ∂y...