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FORO DE TRABAJO Actividad 6

ALUMNOS: MIGUEL ÁNGEL SÁNCHEZ COTERO

PROFESOR: LILIANA HERNÁNDEZ MARTÍNEZ

MATERIA:

CÁLCULO VECTORIAL

12 DE DICIEMBRE DEL 2021

Verifique el teorema de Green para ∮ 𝑐 (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, donde C es la frontera,

tomada con orientación positiva de la región acotada por las gráficas 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥.

ර 𝑦− 𝑐

𝑑𝑥 +

𝑥−

𝑑𝑦 = ර 𝑦 −

𝑑𝑥 +

1

𝐶 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 => 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 = => ර 𝑦 − 𝐶1

𝑑𝑥 +

𝑥−

𝑑𝑦 = න

2

𝜕𝑄 𝜕𝑥

−

𝜕𝑃

𝜕𝑦

=

2

𝑑𝑥 +

𝑐𝑜 𝑃 = 𝑦 − 2

𝑥

0 𝑥

𝑥

𝜕𝑄 𝜕𝑃 − ቇ 𝑑𝐴 = න ඵ 𝜕𝑥 𝜕

𝑑𝑦 + ර 𝑦 − 2

𝑑 − 𝑥 −

0

𝐶 𝑦 = 𝑥 => 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 => ර 𝑦 − Por otra part ,

𝑥−

𝑥−

𝑑𝑥 = 0

𝑥−

𝑄= 𝑥− 2

𝑑𝑦𝑑𝑥 = න 0

𝑥−𝑥

𝑥−

𝑑

4 16 10 − − 10 = 3 3 2

𝑑𝑦 = න 𝑥𝑑𝑥 = − 2

𝑑𝑥 +

4 =− 2

8 4 𝑑𝑥 = 4 − = 3

un alambre unifrome tiene la forma de la posición de la curva de intersección de las 2 superficies: 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑒 𝑦 2 = 𝑥 que une los puntos (0,0,0) y (1,1√2). Hallar la coordenada de 𝑧 del centroide.

𝑥 + 𝑦2 =

𝑥 +𝑥+

1

𝑥 +𝑥−𝑧 = 2

൰ −

2

=

1

𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜 ℎ 𝑎 − 𝑠𝑒 ℎ 𝑎 =

Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛, 𝑥 al girar alrededor de eje OX. Se representa gráficamente el problema

𝜋

𝑉 = 𝜋 න 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 0

𝜋 𝜋 න (1 − cos 2𝑥) 𝑑𝑥 2 0 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 1 න (1 − cos 2𝑥)𝑑𝑥 = ൬𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑥൰ 2 2 0 2 0 𝜋 𝜋 1 1 1 𝜋 ൬𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑥൰ = [൬𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜋൰ − ൬0 − 𝑠𝑒𝑛 2(0)൰] 2 2 2 2 0 2 𝜋

𝑉 = 𝜋 න 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 =

=

𝜋2 2

൰

2

Luego volumen es 𝑉

=

𝜋2 2

𝑢3

Calcular la siguiente integral doble

la parábola 𝑦 =

𝑥2

∬𝑠(𝑥 − 2 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

y la recta 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.

donde S es la región limitada por

se desprenden los siguientes intervalos

−1 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 2

2 𝑥+2

𝐼 = ඵ(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = න න (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 . . . (𝑎) 𝑆

1

𝑥2

Resolvemos primero la integral interna, a la que denominamos 𝐼1 𝑥+2

𝐼1 = න (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 𝑥2

𝐼1 = (𝑥𝑦 − 𝑦 2

𝐼1 [𝑥(𝑥 + 2) − (𝑥

+ 2)2 ]

X+2

𝑥2

− [𝑥(𝑥2 ) − (𝑥 2 )2 ]

𝐼1 = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 2𝑥 − 4

En (a): 2

𝐼 = න(x 4 − x3 − 2𝑥 − 4)𝑑𝑥 -1

2

(2)5 5

-

I=(

Evalúe la integral triple b

s

x5 4 2 I = ቆ - x4 -x -4xቇ 5 -1 (-1)5

(2)4

-(2)2 -4(2)) - (

4

5

I = -12.15

-

(-1)4 4

-(-1)2 -4(-1))

d

∭ 𝑓(x, y, z)dV = න න න 𝑓(x, y, z) dy dz dx a

B

r

c

Donde B es la caja es la caja rectangular dada por B = {x, y, z) | 0 ≤ X ≤ 1, -1 ≤ Y ≤ 2, 0 ≤ Z ≤ 3} Se podría usar cualesquiera de los seis posibles órdenes de integración. Si se decide integrar con respecto a x, luego a y, y después a z, se obtiene 3

2

1

-1

0

3

2

∭ xyz 2 dV = න න න xyz 2 dx dy dz = න න [ B

0

3

=න න 0

2yz 2

-1

2

3

=න 0

0

3

dy dz = න [ 0

-1

x 2 yz 2 x=1 ] dy dz 2 x=0

𝑦 2 𝑧 2 𝑦=2 𝑑𝑧 ] 4 𝑦=−1

3𝑧2 𝑧3 27 𝑑𝑧 = ]30 = 4 4 4

¿Qué diferencias y semejanzas encuentras en cada tipo de aplicación del cálculo vectorial? Es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consideramos los campos vectoriales que asocian un vector a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura ambiental es una es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura, el flujo del viento en el mismo ambiente es un campo vectorial, a cada punto asociamos un vector de velocidad. ¿Qué planteamientos se describen con la utilización de integrales dobles y triples? Las integrales dobles se utilizan las aplicaciones geométricas y las físicas, como ejemplo, el calculo de una figura plana en un plano bidimensional. En las integrales triples su definición se obtiene a partir de la triple suma de Riemann para calcular en un plano tridimensional.

¿A qué se refiere la denominada suma de Riemann y qué aplicación concreta tiene para el cálculo vectorial? Es la aproximación del área debajo de la curva, al dividirla en varias formas simples (rectángulos, trapecios). En la suma de Riemann izquierda aproximamos el área de rectángulos, donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.

REFERENCIAS

julioprofenet (productor). (05 de junio de 2012). Volumen calculado con una integral doble en coordenadas polares [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=xh2xtyfnVTg UPV. (s.f.). la integral multiple. Obtenido https://personales.upv.es/aperis/docencia/int_multiple.pdf

de

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calculo3/stewart.pdf...