MAT. Tema 5. Integral de superficie PDF

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Apuntes de la asignatura de Matemáticas III del tema 5 (Integral de Superficie)....

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5.1.

Parametrización de superficies. Una superficie parametrizada es una función

a cada punto

de manera que

le corresponde un punto de la superficie

. Haciendo uso de las coordenadas esféricas podemos parametrizar tanto la esfera como el elipsoide como superficies. A la izquierda aparece la parametrización de una esfera de radio . Donde en ambos casos

[ ] y

y a la derecha la del elipsoide de semiejes

[ ].

{

{

La ecuación normalizada de un cono es

{ Con

[ ] y

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

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Un toro o toroide se parametriza de la siguiente forma…

{

[ ] y

Con

Donde

[ ]

es el radio exterior y

el radio

interior (ver imagen). Las fórmulas del área y volumen

de

un

toroide

(útiles

para

comprobar resultados) son…

En los exámenes suelen salir toroides con Su vector normal

󰇍

󰇍 es…

Una superficie muy común en el examen es una superficie con geometría semejante a la de un cilindro con sección elíptica, de forma que los semiejes de esta elipse y el centro de la base varíen en función de la altura (Ver imágenes). Estas superficies pueden venir dadas de dos formas distintas, aunque son equivalentes, y por tanto se puede pasar de una a otra… la ecuación es…

( Donde y

) ( y

) son las coordenadas del centro de una sección a altura ,

es el radio del cilindro, que depende de la altura. Estas superficies pueden

parametrizarse con el cambio…

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

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Si lo que queremos calcular es el volumen de esta superficie (útil al aplicar el teorema de Gauss) o cualquier integral triple en este recinto, se hace el cambio de coordenadas…

El determinante es igual a

[

con

]

Dividiendo cada término entre el radio,

[

]

en la ecuación anterior, las

superficies de este tipo también pueden escribirse de la forma…

(

)

(

)

La ecuación recuerda a una elipse. El cambio que también se podría realizar es…

Siendo

y

[ ]

[

]

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Otra superficie que también puede aparecer en el examen , aunque es mucho menos común que la anterior es una superficie cuya geometría se asemeja a un elipsoide con el tercer eje variable, cuyas ecuaciones son…

En este caso funcionan bien las coordenadas elipsoides…

Donde obviamente, el valor de

deberá de aparecer con el cambio de

variable dado, es decir, expresado en función de viene dado por… rango máximo de los valores son…

[ ]

[

y . El determinante jacobiano

]

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

. El

[ ]

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Otra posible variante de este tipo de superficies es una con la ecuación…

(

) (

)

Estas superficies se describen adecuadamente tomando una variante de las coordenadas esféricas, de forma que…

Donde obviamente, los polinomios

y

las nuevas coordenadas. Los nuevos límites son

[ ], con

.

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

debe expresarse en función de

[ ]

[

]

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5.2.

Vector tangente y vector normal a una superficie. 󰇍󰇍󰇍󰇍 y 󰇍󰇍 a los vectores tangentes de

Denotaremos por una superficie en un punto dado.

󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍

)

(

)

(

Al producto vectorial de estos dos vectores se le llama vector normal de la superficie. Por tanto, el vector normal unitario a la superficie se obtiene al dividir el vector normal entre la norma de dicho vector…

󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍

‖󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍 ‖

Recordar que un elemento de superficie es igual a…

5.3.

‖

󰇍

󰇍‖

Área de una superficie parametrizada. Se define el área de una superficie parametrizada

∬‖ Donde ‖󰇍󰇍󰇍󰇍

que la superficie

󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖

󰇍󰇍󰇍 ‖ es la norma del vector normal a venga dada en la forma

parametrización dada por cálculo del área de

󰇍󰇍󰇍󰇍

mediante…

Para el caso particular en esta admitirá la

por lo que la fórmula para el

se reduce a…

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

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∬ √(

5.4.

)

) (

Integral de superficie de un campo escalar. una superficie regular y

Sean

escalar de manera que superficie

un campo

Se define la integral de

sobre la

como…

∬

∬

󰇍󰇍󰇍

‖

󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖

Si la superficie viene dada por una ecuación de la forma

Entonces,

la integral de superficie del campo escalar se obtiene mediante la integral…

∬

5.5.

√(

∬

) (

)

Integral de superficie de un campo vectorial. una superficie regular y

Sean

vectorial de manera que superficie

un campo

Se define la integral de

sobre la

como…

∬ 󰇍󰇍

∬

󰇍󰇍

(

󰇍󰇍󰇍󰇍

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

󰇍󰇍󰇍󰇍 )

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5.6.

Teorema de Stokes.

un vector normal unitario 󰇍 . Si Sea

una superficie orientable limitada por una curva cerrada y simple

primer orden continuas sobre

con

es un campo vectorial con derivadas parciales de entonces…

∮ 󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ∬(

󰇍 ) 󰇍󰇍

Es decir, la integral curvilínea de la componente tangencial a un vector alrededor de una curva simple cerrada

que limita una porción de superficie

,

coincide con el flujo de su rotacional a través de dicha superficie en la dirección normal a la cara de integración que se considere.

5.7.

Teorema de Gauss. El teorema de Gauss o teorema de la divergencia es una extensión del

teorema de Green que relaciona una integral tomada sobre una superficie cerrada que limita un volumen

con una integral triple extendida sobre

∯ 󰇍󰇍 󰇍

∭ 󰇍 󰇍󰇍

Es decir, la integral de superficie de la componente normal de un vector

(es

decir, el flujo) en una superficie cerrada coincide con la integral de la divergencia de dicho vector en el volumen que encierra la superficie.

MATEMÁTICAS II. Tema 5: Integral de superficie

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Condiciones:

a.

La superficie viene parametrizada.

b.

Método muy común en toroides (suele salir en una cuestión y a veces en un problema)

Si la superficie viene descrita por una parametrización, como es el caso de un toroide, la integral de superficie se calcula utilizando su definición…

∬ 󰇍󰇍 (1)

∬

󰇍󰇍

(

󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍󰇍󰇍 )

En primer lugar tendremos que calcular el producto vectorial 󰇍

󰇍 , siendo

estos vectores las derivadas parciales de la parametrización dada respecto de cada variable. Este producto vectorial nos da el vector normal a la superficie… (2)

Posteriormente tenemos que multiplicar escalarmente este vector por el campo

vectorial 󰇍

. Obviamente, si este campo vectorial tiene alguna componente

nula, no hace falta calcular esa misma componente en el vector normal, ahorrando así tiempo de cálculo. (3)

Una vez hecho el producto escalar, nos saldrá un polinomio (muy largo), que

tendremos que integrar respecto de las dos variables, siendo los límites de integración los que diga el enunciado. Recordar que si los límites son

, la integral se

simplifica sustancialmente eliminando aquellas funciones que sean impares.

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Condiciones:

a.

La superficie es plana (2D): elipse, circunferencia, etc...

b.

Método muy común en cuestiones (al aplicar el Th. De Stokes), y como subcálculo en problemas

Si la superficie es una superficie plana, es decir, pertenece a

y depende por

tanto de solo de dos variables, la integral se calcula mediante este método, que se suele aplicar al utilizar el Teorema de Stokes, o también hace falta hacerlo para calcular la integral de las superficies cilíndricas con secciones elípticas que aparecen en los problemas (en la siguiente página se explica más detalladamente) (1)

Primero tenemos que hallar el vector normal 󰇍 , que será perpendicular a la

superficie. Como la superficies plana, el vector normal unitario será de la forma 󰇍 ,

siendo 󰇍 la coordenada cartesiana en la que se halla contenido la superficie (por ejemplo, si la superficie está contenida en

(2)

el vector normal es

Luego hay que calcular el producto escalar del campo vectorial

󰇍

con el vector

normal, que al tener solo una coordenada, nos quedará un polinomio relativamente simple… (3)

Ahora simplemente calculamos la integral doble de ese polinomio extendida a

toda la superficie. Recordar hacer el cambio de

a coordenadas cartesianas. Esta

integral doble se suele resolver haciendo un cambio de variable.

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Condiciones:

a.

La superficie es cerrada, o se puede cerrar con superficies elementales..

b.

Método que (casi) SIEMPRE sale en los problemas

Este tipo de problema (casi) siempre aparece en los problemas, al ser el más largo y complejo. Sirve para calcular integrales de superficies cilíndricas con secciones elípticas, como las que aparecen al principio del tema… Para calcular la integral en un cilindro de secciones elípticas, se cierra la superficie con superficies elementales (es decir, superficies planas, pertenecientes a ), de forma que la integral de superficie en estas superficies (o “tapas”) se calcula por el método #2 (método plano), y la integral a lo largo de toda la superficie cerrada se calcula por el teorema de Gauss. De esta forma, la integral pedida será igual a la integral del campo vectorial en toda la superficie cerrada, menos el valor obtenido al integrar el campo vectorial en las superficies elementales (o “tapas”) que hemos añadido para cerrar la superficie. Para calcular la integral en toda la superficie cerrada, simplemente se aplica el Teorema de Gauss…

(1)

Hallamos la divergencia del campo vectorial

(2)

Calcular la integral triple de este campo escalar (

) extendida a toda la

superficie cerrada. Esta integral se suele calcular con el cambio de coordenadas que aparece al principio del tema (suelen darlo como ayuda en el examen)

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