Anotações de aula Mat. Elementar -Parte 5 PDF

Preview

Summary

poligrafo...

Description

FUNÇÃO LOGARÍTMICA Os logaritmos vêm facilitar a vida na medida em que vão permitir simplificar cálculos mais complicados. Definição de logaritmo: Chama-se logaritmo de x na base a, a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b obtemos x:.

Isto é

:

Exemplo: b será portanto o logaritmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser elevado a para obter x. Exercícios: 1) Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos: a) log 2 64

b) log16 32

c) log 49 3 7

d) log 2 0,25

e) log

f) log 1 128

8

4

2

PROPRIEDADES DE LOGARITMOS: (M e N são números reais positivos)

loga 1  0 log a (M .N )  log a M  loga N

M log a  N

log a a  1 log a ( M p )  p log a M

   log a M  log a N 

Exemplos:

log 5 1  0 (uma vez que 5 0  1) log 6 6 x  log 6 6  log 6 x  1 log 6 x 1 x  log 1 / 2 x  log 1 / 2    log1 / 2 x  1 log 1 / 2 1/ 2 2

log 4 4  1 (uma vez que 41  4) 6 log 6 x  6 log 6 x

50

RELAÇÃO ENTRE FUNCÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: log a a x  x

a loga x  x

Exemplos: 5log5 25  25

log 5 53  3

FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE Expressões logarítmicas podem ser reescritas em termos de outras bases por meio da fórmula de mudança de base: log b x log a x  logb a Exemplo: Encontre uma expressão, em termos de logaritmos na base e , para log 5 10 e calcule um valor aproximado para a quantidade. A partir da fórmula de mudança de base, log 5 10 



ln 10  1,43 ln 5

Estudo da Função Logarítmica :

UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA, f (x )  loga x , a  0 , a  1, é a inversa da função exponencial. Assim, se y  loga x , então, x  a y . Ou, seja, o logaritmo de x na base a é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter x . A função logarítmica é uma aplicação bijetiva de R+ em R :

Observações: o o o o o

Os números negativos e o zero não têm logaritmo A função logarítmica de base a é a recíproca da exponencial de base a ou seja: y = ax As funções logarítmicas mais usuais são as de base 10 (log. decimais) e as de base e =2,718281 (log. naturais). Gráfico da função logarítmica :

51

a>1

0 1 S: {x  R / x  1}

2) Resolver a inequação log 1 2 (x  3)  log 1 4 . 2

C. E. x  3  0  x  3 x 3 4  x  43 x  7

Pela intersecção: 3  x  7 S: {x  R / 3  x  7}.

55

3) Resolver a inequação log 2 ( x  4)  1 . S: {x  R / x  6}

4) Resolver a inequação log12 (x  1)  log 12 (x  2)  1 S: {x  R / 2  x  5}

EQUAÇÕES IRRACIONAIS Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes. Por exemplo: Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais. Solução: Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar a uma potência para eliminar a raiz. Lembrando que, como , esta elevação pode introduzir raízes espúrias. Assim, é necessário, ao chegar a uma solução, verificar se este valor realmente é uma solução. Por exemplo:

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

Cujas raízes são "x´ = 3" e "x´´ = 0". Verificando: (verdadeiro) (falso) Portanto, a única raíz é "x = 3".

56

Exercícios 1. Resolva as seguintes equações nos números reais: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

57...