Anot. de aula Mat. Elementar - parte 2- 2016 PDF

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poligrafo...

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Funções O produto cartesiano de A por B é o conjunto formado por todos os pares ordenados a, b  com a  A e b  B . A  B  {(a, b) a  A e b  B} Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Esta relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Temos então duas condições para uma relação ser considerada uma função:  Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de B.  A um elemento de A está associado um único elemento de B O conjunto A é dito o domínio da função e o conjunto B, o contradomínio. O elemento y de B é chamado de imagem de x por f, ou o valor de f em x, e é representado por f(x). O subconjunto de B formado por todas as imagens de elementos de A é a imagem da função. Notação: f:AB

( função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B)

D(f) = A (domínio da função) CD( f )  B (contradomínio da função) Im(f) = {y Є B / y é correspondente de algum valor de x}

(imagem da função)

f é uma função de A em B se e somente se:  D(f) = A  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Exemplos: 1) Na revelação de um filme o preço a ser cobrado é calculado pela fórmula P = 12,00 + 0,65n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado, e n o número de fotos reveladas do filme.  O preço é dado em função do número de fotos reveladas;  Para cada valor de n temos exatamente um valor para P;  O número de fotos reveladas (n) é a variável independente;  O preço a ser pago (P) é a variável dependente;  O domínio dessa função é o possível número de fotos reveladas;  A imagem é o conjunto dos preços a serem pagos. a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos? b) Se pagar a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas? 2) Sejam A  {2,3,4} e B {4,5,6,7,8} e consideremos a relação R de A em B definida por y  2x . R é uma função, pois:  D( R)  A  Se x1  x2  y1  y2 10

3) Sejam A  {1,4} e B  {4,9,11} e consideremos a relação R de A em B definida por x  y . Então R  {(1,4), (1,9), (1,11), (4,9), (4,11)} . Verifica-se que D( R)  A , mas, aos elementos 1 e 4 de A estão associados a mais de um elemento de B, logo x1  x2 não implica em y1  y2 e R não é uma função. Exercício: 2 Seja a função g:IR  IR dada por g(x) = x +3. Calcule: a) g(4) b) g(-4) c) g(a) + g(b) d) g(a+b) e) Os valores reais de x para que se tenha g(x) = 7 f) A imagem de g. Se domínio de uma função não vem explicitado, considera-se que o domínio é o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão é definida. Exemplos: x 3 x 6 2) g (x)  x  5

1) f (x ) 

3) h (x)  x 2  4

D(f) = { x Є IR / x ≠ -6 } = IR – {-6} D(f) = { x Є IR / x ≥ 5 } = [5, ∞ ) D( f )  IR

Exercício: Determine o domínio das funções: a) f (x ) 

c) h (x ) 

x 1 x  9 x  20 2

x1 3 x

b) g ( x) 

x 2  x 3 2 x  1

d) f ( x) 

2 x 1 x2  9

Funções Crescentes, Decrescentes e Constantes  Se para todo x em um intervalo, à medida que x cresce, o valor de f(x) aumenta, f é crescente no intervalo. Algebricamente, se x1  x2  f ( x1 )  f ( x 2 ) .  Se para todo x em um intervalo, à medida que x cresce, o valor de f(x) diminui, f é decrescente no intervalo. Algebricamente, se x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .  Se o valor de uma função não muda em um intervalo, logo seu gráfico é um segmento de reta horizontal e f é constante no intervalo. Algebricamente, para quaisquer x1 e x 2 , f ( x1 )  f ( x 2 ) 11

Exemplo:

y

1

12 x Enquanto x cresce no domínio de f, y decresce até x= ½ e, em seguida, cresce. Assim a função é decrescente no intervalo (-∞, ½) e crescente no intervalo (½, ∞). Gráficos O gráfico de uma função f é o gráfico de todos os pontos ( x, y), tal que x está no domínio de f e y = f(x). Exemplos: 1) f ( x)  x 2

2) f ( x)  x 3

3) f (x)  2 x 1

Como para cada valor de x no domínio de f há exatamente um valor de y = f(x), uma linha vertical x = c pode cruzar o gráfico de uma função no máximo uma vez. Exercício: Construa o gráfico das funções a seguir, determine sua imagem e analise seu crescimento. 4x  3 1) f ( x)  4 2) f (x )  5

12

 4 se x  0 3) f (x )    4 se x  0

 4 se x  2  4) f (x )   x se 1  x  2  x  2 se x  1 

Classificação de funções. Uma função pode ser classificada em injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Injetora. Uma função f de A em B é injetora se cada elemento de B está relacionado com, no máximo, um elemento de A. (x1 , x2  A)( f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x 2) Exemplo:

Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B. Exemplos: 1) Suponhamos que numa sala haja 20 alunos e 30 classes individuais. Sendo o conjunto de alunos designado por A e o de classes por B, a função de A em B definida por “x está sentado em y” é injetora, pois alunos diferentes estão sentados em carteiras distintas. 2) A função g de IR em IR definida por g( x)  x 2 , não é injetora, pois, por exemplo, 2 e -2 têm a mesma imagem ( f (2)  f (2)  4 ).

Sobrejetora. Uma função f : A  B é sobrejetora se a imagem de f é o conjunto B. (y  B)(x  A)(( x, y)  f ) Exemplo: Vamos analisar o diagrama de flechas abaixo

13

Exemplos: 1) A função f de A em B, onde A  {1,2,3} e B  {3,4,5} definida por y  x  2 é sobrejetora, pois Im( f )  B . 2) No exemplo da sala de 20 alunos e suas 30 classes individuais, a função definida por “ x está sentado em y” é uma função, mas esta não é sobrejetora, pois há classes não ocupadas. Bijetora. Uma função f : A  B é bijetora se é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

Exemplos: 1) Sejam o conjunto A das cabeças dos alunos e B, dos alunos de uma sala. A função f definida por “x é cabeça de y” é sobrejetora e injetora, portanto bijetora. 2) A função f : IR  IR , dada por f ( x)  x 2 , não é nem injetora, pois, por exemplo, leva -1 e 1 para o mesmo valor 1, nem sobrejetora pois, por exemplo, -1 não é imagem de nenhum número real por essa função. 3) Considere as funções f, g e h definidas pelos diagramas:

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As funções f e g são sobrejetoras porque, em ambos os casos, o conjunto imagem é igual ao contradomínio. O mesmo não ocorre com a função h e, portanto ela não é sobrejetora.

4) Sejam as funções f, g e h definidas pelos diagramas

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A função f é bijetora porque é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. A função g não é bijetora porque não é sobrejetora. A função h não é bijetora porque não é injetora.

Função Composta. Sejam f : A  B e g : B  C funções tais que a imagem de f esteja contida no domínio de g. Assim, a função leva um elemento x de A para a sua imagem f (x) , e g leva f (x) para a sua imagem g ( f ( x)) . A função composta, g  f , é a função que leva x ao elemento g ( f ( x)) , ou seja  f(x) f g  f ( x)  g ( f ( x)) x  g g  f g(f(x)) Exemplos: 1) Uma fábrica que produz sapatos calcula o seu lucro por meio da equação L  0,4C , onde L é o lucro e C o preço de venda desse sapato para o comércio. Por sua vez, o preço C de venda para o comércio é calculado fazendo-se C  20  2P , onde P é o valor gasto com a matéria-prima para a fabricação desse sapato. Vemos, então, que o lucro L é dado em função do preço C, e este é dado em função do gasto P. Para calcular o lucro diretamente do gasto P, podemos fazer uma composição entre as duas funções: L  0,4C   L  0,4( 20  2 P)  L  8  0,8 P, que relaciona diretamente L e P. C  20  2 P 2) Para f : A  B , definida por f ( x)  2 x, e g : B  C , definida por g( x)  x2 temos: f (x )  2x  2 2  h( x)  g( f ( x))  g(2 x)  (2 x)  4 x , denominada função composta g( x)  x2  g f. Exercícios: 16

1) Sejam as funções reais f e g definidas por f ( x)  x  1 e g ( x)  2 x 2  3 . Determine: a) f ( g ( x)) b) g ( f ( x)) 2) Determine as funções compostas f  g e g  f se f ( x )  x 3  1 e g (x )  x 2  2x . Função Inversa. Se y  f (x) é uma função bijetora de A em B, então podemos definir uma função g : B  A tal que x  g ( y) . A função g definida desta maneira é chamada inversa de f e denotada por f 1 . f x  f (x) f

1

f 1

(y )  x  y  f (x )

B  Im( f )

Exemplos: 1) Determine a inversa de f (x)  3x  1. Troca-se a variável x por y e, isola-se o y: x 1 x  3y  1  3y  x  1  y   3 3 2) Determinar inversa da função g (x ) 



f

1

(x ) 

x 1  3 3

x5 , cujo domínio é D  IR  3 2. 2x  3

3) Seja a função f: R-> R, definida por f(x)=-3x+4, determine a sua inversa.

Funções Especiais Função Constante. È toda função do tipo f (x )  b , que associa a qualquer número real x um mesmo número real b. Sua representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo x, passando por y  b . D(f) = R Im(f) = {b}

y b x

Função Identidade. È a função f : IR  IR definida por f (x )  x . Seu gráfico é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. 17

y D(f) = IR Im(f) = IR x

Funções Pares e Ímpares. Dizemos que uma função é: Par se, para todo x do domínio de f, f ( x)  f ( x). Ímpar se, para todo x do domínio de f, f ( x)   f ( x) . Função Par Denominamos função par uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função temos f(x) = f(-x) . Vamos analisar a função

cuja representação gráfica temos abaixo.

Verificando o lado direito do eixo das ordenadas, para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12, respectivamente. Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das ordenadas. 18

Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente. Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x) : Portanto

é uma função par.

Visto que f(x) = f(-x) , então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem. Como você já deve ter percebido, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, isto é, o lado direito espelha o esquerdo e vice-versa. Função Ímpar Denominamos função ímpar uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos f(x) = -f(-x) , que também podemos escrever como -f(x) = f(-x) . Vamos analisar a função

representada pelo gráfico abaixo.

Observe que os pontos para os quais x é igual a 1, 2 ou 3, estão localizados em posição simétrica à partir da origem, em relação aos pontos para os quais x é igual a -1, -2 ou -3, respectivamente. Visto que -f(x) = f(-x) , então x e o seu oposto -x têm imagens opostas.

Exemplos: 1) f ( x)  x 2 é par, já que f ( x)  ( x) 2  x 2  f ( x) . 2) f (x)  x 5  x 3 é ímpar, já que f ( x)  ( x) 5  ( x) 3   x 5  x 3  ( x 5  x 3)   f ( x) . 3) f (x)  x 3  4 não é par nem ímpar. 19

Exercícios: 1) Se f (x ) 

x 2 4 , determinar: x 1

a) f (0) b) f (1 2) c) f (2) d) f (t 2 ) 2) Dada a função f (x )  f ( x) 

1 1 , com D( f )  IR  {2,3} , calcule x para que  x2 x 3

3 . 2

3) Determine o domínio das seguintes funções: 1 a) f ( x)  x  x b) f ( x)  4  x2 c) f ( x) 

1 x 4

d) f ( x)  3 x  7 e) f ( x)  x 3  1

 x 3 se x  0  f) f ( x )  2 x se 0  x  2 4 se x  2 

g) f (x ) 

x2  4 x 2

5) Sejam f ( x)  x  4 e g (x ) 

 f  g (x) .

1  1 , calcule f  g . Dê o domínio de f (x), g(x) e 2x

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6) Sendo f ( x)  ax  b , para quais valores de a b tem-se  f  f ( x )  4x  9 ? 9) Determine a fórmula da função inversa de y  x 2  4, com x  0 . Construa o gráfico da função dada e de sua inversa no mesmo sistema cartesiano.

Função de 1º grau Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 Gráfico da Função de Primeiro Grau O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a)

Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b)

Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,

Marcamos os pontos (0, -1) e reta.

e outro ponto é

.

no plano cartesiano e ligamos os dois com uma

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x 0

y -1 0

Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja: y = ax + b y=0 ax + b = 0 ax = –b x = –b/a Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x x = –b/a Vejamos alguns exemplos: 1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0

2x - 5 = 0

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2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0

x = -2

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x=5

Crescimento e Decrescimento da Função de Primeiro Grau Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-10

-7

-4

-1

2

5

8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

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A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa: Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Estudo do Sinal da função do Primeiro Grau Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz

. Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y>0

ax + b > 0

x>

y0

ax + b > 0

y

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

Aplicações de funções do Primeiro Grau. Ex. 1) Pense numa mola com uma das extremidades fixada a um suporte, em estado de repouso, ou seja, sem sofrer a ação de nenhuma força. Ao aplicar uma força F na outra extremidade, a mola sofre uma deformação (estica ou comprime) dependendo do sentido no qual a força foi aplicada. Robert Hooke (1635 – 1703) estudando as deformações das molas observou que elas aumentam proporcionalmente à intensidade da força.

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Diante de suas observações estabeleceu a lei de Hooke: F = kx Onde, F → é a força aplicada em newtons (N) k → é a constante elástica da mola (N/m) x → é a deformação sofrida pela mola (m) Observe que a lei de Hooke é uma função que depende exclusivamente da deformação da mola, uma vez que k é um valor constante (constante elástica). Ela poderia ser escrita da seguinte forma: F(x) = kx → uma função do 1º grau ou função afim.

Ex. 2) Um bloco de7, 5 kg, em equilíbrio, está preso a uma das extremidades de uma mola, cuja constante elástica é de 150N/m. Determine a deformação sofrida pela mola, considerando g = 10m/s2. Solução: Como o sistema está em equilíbrio, podemos afirmar que a resultante das forças é igual a zero, ou seja: F – P = 0 ou F = P =mg Sabemos que m = 7,5 kg. Assim,

Ex. 3) Uma mola apresenta uma de suas extremidades fixada a um suporte. Ao aplicar uma força na outra extremidade a mola sofre uma deformação de 3m. Sabendo que a constante 26

elástica da mola é de 112 N/m, determine a intensidade da força aplicada. Solução: Sabemos, de acordo com a lei de Hooke, que a deformação da mola é proporcional á intensidade da força. Assim, temos que:

Ex. 4) Dois carros movem em linha reta em movimento uniforme e no mesmo sentido. No instante t0 = 0 eles estão distantes 200 m um do outro, conforme ilustração. Se o carro A desenvolve uma velocidade constante de 8 m/s e o carro B de 6 m/s, quanto tempo o carro A leva para alcançar o carro B?

O carro A parte da origem com velocidade escalar de 8 m/s, portanto, a função do movimento do carro A é: s = s0 + vt → s = 0 + 8t → s = 8t O carro B parte da posição 1000 metros com velocidade escalar 6 m/s, portanto, a função do movimento do carro B é: s = 200 + 6t Os dois carros estão no mesmo sentido, com a velocidade do carro A maior que a velocidade do carro B, dessa forma, em algum instante o carro A alcançará o carro B. Para calcularmos o instante do encontro basta igualar as duas funções. Então: SA = SB 8t = 200 + 6t 8t – 6t = 200 2t = 200 t = 200/2 t = 100 s Após 100 segundos, ou aproximadamente 1,66 minutos, o carro A alcançará o carro B. Exercícios: 1) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3). 2) Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 541) – f(2 540). 3) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.

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4) A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses. 5) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é

6) O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. 7) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu sal...