Clase 2 5 Ecuacionesde Valor Tiempo Equivalente Descuento Compuesto PDF

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MATEMÁTICA FINANCIERA 2.5 ECUACIONES DE VALOR, TIEMPO EQUIVALENTE Y DESCUENTO COMPUESTO

MATEMÁTICA FINANCIERA ÁREA DE ÁLGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

Contenido Título

2.5 ECUACIONES DE VALOR, TIEMPO EQUIVALENTE, DESCUENTO COMPUESTO

Duración

2 horas.

Información general

El valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés. El descuento compuesto, al igual que el descuento simple, es la diferencia entre el monto y el valor actual de un documento, deuda, etcétera. El tiempo equivalente es el tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas, valores u obligaciones.

Objetivo

Aplica las leyes del Interés Compuesto en transacciones comerciales y financieras.

2.5 ECUACIONES DE VALOR, TIEMPO EQUIVALENTE, DESCUENTO COMPUESTO 2.5.1 ECUACIONES DE VALOR DEFINICIÓN.

Con todos los valores y separando aquellos que corresponden a las deudas de los que corresponden a los pagos, es decir, agrupando por un lado los del “debe” y por otro los del “haber”, se establece una igualdad que se conoce como ecuación de valores equivalentes o, simplemente, ecuación de valor. Después, esta ecuación se resuelve despejando la incógnita o las incógnitas que en ella aparezcan para lograr así la solución del problema. Esta solución varía un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratándose de interés simple; pero cuando el interés es compuesto, la solución es la misma para cualquier ubicación de la fecha focal. Cabe señalar también que las cantidades de dinero pueden estar antes o después de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero A, está antes de esa fecha, se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal; pero si está después, entonces se restarán los intereses obteniendo su valor presente equivalente en la misma fecha focal. En la figura 4.1 se ilustran las dos posibilidades, donde MA es el monto de A y CB es el valor presente de B. En ambos casos, el traslado se realiza con la fórmula del interés compuesto, o del interés simple si así lo estipula el problema.

Ejemplo. 1.

Juan tiene deudas de $1000, $3000, $5000 y $9000 que vencen a los 2, 6, 8 y 10 años respectivamente. Juan negocia sus deudas con una tasa de interés anual del 15% capitalizable semestralmente para pagarlas con un solo depósito dentro de 6 años. Determine el valor de ese único pago. Considerando la fecha focal el día de hoy y la fecha focal a los 6 años. Solución:

Ejemplo. 2.

Una persona desea vender una propiedad, que tiene un avalúo de $20000, recibe 3 ofertas: a) $10000 al contado y $10000 a 60 meses; b) $9000 al contado, $4000 a 24 meses y $7000 a 60 meses; c) $11000 al contado, una letra de $4500 a 6 años y otra letra de $4500 a 8 años. ¿Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar, considerando una tasa de interés anual del 21%, capitalizable quimestralmente? Solución:

2.5.2 CÁLCULO DEL TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO DEFINICIÓN.

Para calcular el tiempo, se debe hallar primero n, por lo cual se aplica la fórmula del monto:

Ejemplo. 1.

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, un capital de $ 1.000 se convertirá en $ 1.500 a una tasa de interés del 18% efectiva? Solución: M = 1.500; C = 1.000; i = 18%

Ejemplo. 2.

¿En qué tiempo, expresado en años, meses y días, se duplicara un capital de $ 800, a una tasa de interés del 16%, capitalizable semestralmente? Solución: M = 800 (2) = $ 1.600 C = $ 800

Ejemplo. 3.

¿En qué tiempo un capital de $ 2.500 se convertirá en $ 5.625 a una tasa de interés del 24% anual, capitalizable mensualmente? Solución: M = $ 5.625 C = $ 2.500 j = 0,24

2.5.2.1 TIEMPO EQUIVALENTE El tiempo equivalente es el tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas, valores u obligaciones. “La fecha en la cual un conjunto de obligaciones con vencimiento en fechas diferentes, puede liquidarse mediante un pago único igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equivalente.” La regla más frecuente y común para el cálculo del tiempo equivalente o tiempo de vencimiento promedio de dos o más deudas está regida por la siguiente formula:

Es decir que el tiempo equivalente es igual a la suma de los diferentes montos multiplicados por sus tiempos de vencimiento, divididos por la suma de los respectivos montos, por cuanto lo que se calcula es un tiempo de vencimiento promedio. A continuación se presenta un ejemplo de cálculo cuando se tiene una tasa efectiva. Ejemplo. 1.

Encontremos el tiempo equivalente, o tiempo de vencimiento promedio, de las siguientes obligaciones: $ 1.000 a 1 año de plazo; $ 2.000 a 2 años y 6 meses de plazo; $ 3.000 a 2 años y 9 meses de plazo, con una tasa del 7% anual. Solución:

2.5.3 DESCUENTO COMPUESTO DEFINICIÓN.

El descuento compuesto, al igual que el descuento simple, es la diferencia entre el monto y el valor actual de un documento, deuda, etcétera. Puede calcularse de dos maneras: el más utilizado es el descuento compuesto matemático. Su fórmula se basa en el descuento simple:

Fórmula del descuento compuesto matemático

La otra forma es el descuento compuesto bancario, que se calcula sobre el monto de la deuda; es decir, el monto menos el valor efectivo a interés compuesto. El valor efectivo a interés compuesto se expresa como Cbc. Se toma como base de deducción de la formula el valor efectivo a interés simple.

Fórmula del descuento compuesto bancario

Ejemplo. 1.

Calculemos el descuento compuesto de un documento cuyo monto será de $9.000. Luego de 10 años, si se descontó 3 años antes de su vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva. Solución: Dc = M – C Descuento compuesto matemático

Ejemplo. 2.

El 21 de junio se transfiere, es decir, se comercializa, un pagaré en $55,770.00 con descuento compuesto del 11% nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito que originó el documento, si se cargan intereses del 10% simple anual? Suponga que la firma se realizó el 5 de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre. Solución:

Del 21 de junio al 10 de diciembre se comprenden 172 días y, entonces, el valor nominal del documento es M de la igualdad: 0,11 −172 ) 360 55.770 = 𝑀(0,948809153)

55.770 = 𝑀(1 +

𝑀=

55.770 0,948809153

𝑜

𝐷𝑐 = 𝑀(1 +

𝑖 −𝑛𝑚 ) 𝑚

𝑀 = $58.778,94

Éste es el valor futuro del crédito C y puesto que el plazo entre el 5 de marzo y el 10 de diciembre es de 280 días, se tiene: 0,10 )] 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛𝑖) 360 58.778,94 = 𝐶(1,077777778) 𝐶 = 58.778,94/1,077777778 𝐶 = 54.537,16448 𝑜 𝐶 = $54.537,16

58.778,94 = 𝐶 [1 + 280 (

EJERCICIOS PARA RESOLVER. Ejercicio 1. Una empresa tiene las siguientes deudas: $1000 a 3 años de plazo con una tasa de interés anual del 18% capitalizable semestralmente; $5000 a 4 años y 6 meses con una tasa de interés efectiva del 12%; $3000 a 6 años y 9 meses con una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. La empresa desea reemplazarlas por un único pago en un tiempo equivalente para los tres vencimientos. Calcule: a) la fecha de pago y b) el valor del pago único, considerando una tasa de interés del 14% anual capitalizable semestralmente. Ejercicio 2. Calcule el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento cuyo monto al final de 7 años es de $7000, si fue descontado 3 años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa efectiva del 14%. Ejercicio 3. ¿Cuál es el descuento compuesto por anticipar 4 meses un capital de $5000 con una tasa de descuento efectiva del 12%?

Bibliografía Matemáticas financieras. José Luis Villalobos. Pearson Educación 2009 Matemáticas financieras. Armando Mora Zambrano. Alfaomega 2014...