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Universidad Nacional de Tucumán Facultad de Ciencias Económicas

Cátedra Matemática Financiera

VALOR ACTUAL Y DESCUENTO COMPUESTO El valor actual y el descuento compuesto en función de la tasa de interés i. En el interés compuesto nuestro problema era encontrar el monto que producía un capital al final de un cierto período de tiempo, o sea el futuro valor de una suma de dinero invertida a interés compuesto.

Nuestra intención es ahora, conocer el valor actual, es decir, qué valor tiene hoy una cantidad que se recibirá en el futuro.

Llamamos V al valor actual y N (valor nominal) al valor futuro en la época n. Planteando el problema dentro del campo del interés compuesto a la tasa i, el valor actual debe ser tal que puesto a interés compuesto a la tasa i en el tiempo n, nos dé un monto igual a N, o sea que:

Para capitalizar a interés compuesto hemos multiplicado por el factor (1 + i) por cada año de capitalización. Para actualizar, en cambio, multiplicamos por el factor v por cada período que nos retrotraemos. Denominamos a (1+i) factor de capitalización.-

La diferencia entre el valor nominal y el valor actual es el descuento compuesto:

Los valores de v n = (1+i) -n están tabulados en las tablas financieras. También pueden ser calculados usando logaritmos, o por máquinas científicas o financieras.

d.

El valor actual y el descuento compuesto en función de la tasa de descuento

El descuento compuesto también puede calcularse en función de una tasa de quita (la tasa de descuento d).1

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1 2

Capital al final del período de actualizacion N V1 = N (1 - d)

3

V2 = N. ( 1 – d)2

V2 . d

.......................

……

n

n

Vn-1 = N (1-d) n-1

Descuento N.d V1 . d

Vn-1 . d

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Capital al comienzo del periodo de actualizacion V1= N – N . d = N .(1-d) V2 = V1 - V1 . d = V1 .(1-d) = N (1 – d) (1 - d) = N. ( 1 – d)2 V3 = V2 - V2 . d = V2 . (1-d) = N ( 1 – d)2 (1 – d) = N( 1 – d)3

Vn = Vn-1 - Vn-1 . d = Vn-1 (1- d) = N (1-d)n-1. (1-d)

El descuento es igual al valor nominal menos el valor actual:

A diferencia con el descuento simple, en los problemas de actualización a descuento compuesto se trabaja más con la tasa i que con la tasa d. Equivalencia entre ambos sistemas Existe equivalencia entre una tasa de interés i y una tasa de descuento d cuando los valores actuales calculados con ambas tasas sobre un mismo capital N y en un tiempo n, son iguales. Es decir que los descuentos son también iguales. El valor actual a la tasa i es: V = N . v n El valor actual a la tasa d es: V = N . (1-d) n Igualando los segundos miembros:

Comparación:

Comparación numérica y grafica de los diferentes descuentos: Recordemos las siguientes relaciones: 2

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Para i = d = 0,10 calculamos los valores de descuento y valor actual para diferentes valores de n , con N = 100. Descuento D si D sd D ci D cd Valor actual V si V sd V ci V cd

n = 1/2 4,76 5 4,65 5,13

n=1 9,09 10 9,09 10

n =2 16,67 20 17,36 19

n=3 23,08 30 24,87 27,10

n=4 28,57 40 31,70 34,39

….. ….. ….. …..

n =10 50 100 61,45 65,13

95,24 95 95,35 94,87

90,91 90 90,91 90

83,33 80 82,64 81

76,92 70 75,13 72,9

71,43 60 68,3 65,61

….. ….. ….. …..

50 0 38,55 34,87

Y gráficamente:

El fraccionamiento del tiempo en el descuento compuesto a la tasa d.

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El fraccionamiento del año en m subperíodos a los efectos del descuento, nos lleva a considerar la tasa proporcional d/m, la tasa efectiva d´, y la tasa equivalente d(m). Cuando el año se divide en m subperíodos, la tasa nominal d, en su expresión anual, sigue usándose en la relación contractual.La tasa proporcional d/m, es la que resulta de dividir la tasa nominal d, por el número de subperíodos m, y es la que se aplica en cada subperíodo.

El valor actual con tasa proporcional es mayor que con tasa anual y por lo tanto el descuento es menor.

Ejemplo: Cual es el descuento compuesto en un año, de un capital de $ 100 a la tasa de descuento del 12% anual si el descuento se realiza: a) Anualmente; b) Semestralmente; y c) Mensualmente. a) d = 0,12 m = 1

V = 100 (1 – 0,12) = 100 . 0,88 = 88 D = N – V = 100 – 88 = 12

b) d = 0,12 m = 2

V = 100 (1 – 0,06) 2 = 100 . 0,94 2 = 88,36 D = N – V = 100 – 88,36 = 11,64

c) d =0,12 m = 12

V = 100 (1 – 0,01) 12 = 100 . 0,99 12 = 88,64 D = N – V = 100 – 88,64 = 11,36

La tasa efectiva d´ Es el tanto de descuento real anual, cuando la actualización se realiza en varios subperíodos en el año. Se verifica que:

La tasa d´ está en función decreciente respecto a m. El mayor valor de d´ lo obtenemos cuando m =1: d’=d Al crecer m decrecerá d´. El menor valor de d´ se obtendrá cuando m! ! ". En este caso el descuento es continuo.

Cuando los períodos son menores de un año, el subperíodo se expresa en días (t días) y así el número de períodos es m =360/t ó 365/t = m; y cada subperíodo 1/m=t/360 ó 1/m = t/365 (según se considere el año como de 360 ó 365 días).

Conociendo la tasa nominal d es posible calcular la tasa efectiva d´, pero en nuestro sistema financiero el Banco Central exige que al anunciar una tasa 4

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nominal de descuento, se haga conocer la equivalente nominal de interés para ese plazo, pero fundamentalmente nos pide la tasa efectiva i´.

Pero i´ puede también obtenerse directamente a partir de d. La equivalencia entre una tasa efectiva de descuento d´ y una tasa efectiva de interés i ´ es:

A continuación vemos un caso de tasas equivalentes de interés y descuentos: t 365 180 120 90 30 1 0

m 1 2,027777 3,041666 4,055555 12,166666 365 !"

i 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74

d 0,42529 0,54215 0,59520 0,62581 0,69757 0,73850 0,74

d´ 0,42529 0,4679 0,4844 0,4932 0,51245 0,5225 0,5229

i´ 0,74 0,8792 0,9393 0,9733 1,0511 1,0944 1,0959

La tasa equivalente La tasa equivalente d (m) es una tasa de subperíodo, que en m subperíodos de actualización en un año produce el mismo descuento que una tasa anual d. Llamamos d (m) a la tasa equivalente.

Expresamos d (m) en función de la tasa proporcional f (m)

La tasa equivalente f (m) está en función creciente con respecto a m. El menor valor de f (m) , lo obtenemos cuando m =1 : f (1) = d.

Al crecer m crece el valor de f(m). El mayor valor lo obtenemos cuando m! !" 5

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(La moderna bibliografía plantea el problema del fraccionamiento del tiempo no separando el tratamiento entre tasa efectiva y equivalente como problemas inversos, sino resumiéndolos en uno solo donde d representa la tasa efectiva anual, f (m) la tasa nominal anual, f (m)/m la tasa proporcional y # la tasa de actualización contínua que en un año da un valor actual igual a (1-d)). Expresadas en períodos de t días la tasa equivalente es:

Procedimiento aproximado para calcular # , conociendo i o d. Conociendo i podemos calcular su equivalente anual d, o viceversa

Desarrollando los valores de # en función de la serie logarítmica:

Sumando:

Despreciando los términos en i y d en adelante

Vencimiento medio en descuento compuesto Se procura sustituir p documentos de distintos vencimientos por un nuevo documento, cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de los documentos dados, y cuyo valor actual sea la suma de los valores actuales de dichos documentos. Se desea determinar la época de vencimiento del nuevo documento....