Clases 5 y 6-Sistema de Ecuaciones (I-21) PDF

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Universidad de las Salle Algebra Lineal - Sistemas mxn

Sistema mxn (m-Ecuaciones y n-Variables) 1. Ecuación Matricial. Una ecuación matricial es una ecuación de la forma: AX =B , donde A , X y B son matrices. Una ecuación especial donde las matrices tienen las dimensiones: A 2 x 3 , X 3 x1 y B2 x1 y son las siguientes, define un Sistema de 2-Ecuaciones y 3-Variables:

Este sistema es un sistema de ecuaciones lineales 2X3: 2-ecuaciones, 3-variables. 2. Definición: En general la ecuación matricial A mxn . X nx1 =B mx1 donde la matriz A mxn , es una matriz de constantes (ellas serán los coeficientes de las variables en el sistema), la matriz X nx 1 , matriz columna que contiene variables (ellas serán las variables del sistema) y la matriz B mx1 matriz columna de constantes (ellas seran los términos independientes de las ecuaciones) define un sistema de ecuaciones m x n ( un sistema de m-ecuaciones y n- variables). Nota: A mxn, se llama la matriz de los coeficientes, X nx 1 se llama matriz de las variables, y B mx1 y se llama la matriz de los resultados (matriz independiente)

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Ejercicio: escribir el sistema en forma matricial usando la multiplicación de matrices:

Sean:

Entonces:

3. Ejercicios de practica:

4. Ejercicios del texto guía para complemento y practica: del 1.4 del 19 al 22 5. Sistema lineal de 2-ecuaciones y 2-incógnitas: (de 1.1) Un sistema lineal 2x2, es un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, es un conjunto de dos rectas en el plano.

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6. Una solución de un sistema mxn, si existe, es un conjunto de n números reales x1, x2, x3,….xn talque satisfaga todas las m-ecuaciones. Y para el sistema 2x2, son dos números reales x ,y, y que satisfacen las dos ecuaciones.

7. Resolver un sistema mxn es encontrar el tipo de solución del sistema que es una y solo una de las siguientes: a. Única solución: encontrar una n-upla de números reales = (x1, x2, x3…..xn) que satisface cada una de las ecuaciones del sistema. Para el sistema 2x2, son dos números reales x ,y, y, es una pareja de números reales (x,y) que satisfacen las dos ecuaciones. (es el punto de intersección, es el punto donde se cruzan las rectas.

b. Ninguna solución: no existe una n-upla de números reales que satisface todas las ecuaciones del sistema. Para el sistema 2x2, no existe un punto en el plano donde se encuentren las dos recas, en este caso las rectas son paralelas. c.

Infinitas soluciones: existen más de dos n-uplas de números reales que satisface cada una de las ecuaciones del sistema. Para un sistema 2x2 el conjunto de las dos rectas se reduce a solo una, una de ellas es múltiplo de la otra, son la misma recta.

8. Sistema consistente: cuando tiene solución (es un sistema con única solución o infinitas soluciones). Sistema inconsistente: cuando no tiene solución 9. Sistema homogéneo: un sistema es homogéneo cuando B = 0 (página 68) este sistema de manera trivial tiene como solución (0,0, 0,..….0), es decir el sistema homogéneo es consistente.

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10. Resolución de un sistema lineal de m-ecuaciones y n-incógnitas: un sistema se puede resolver por los siguientes métodos o procesos: I. En Symbolab en el solucionador de ecuaciones: a. “unica”: https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cleft%5C%7B3x-y%3D1%2C %20x%2B2y%3D5%5Cright%5C%7D b. “unica”: https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cleft%5C%7B2x%2B3y%3D1%2C2x%2By%3D5%2Cx%2By%3D1%5Cright%5C%7D c. “sin solución”: https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cleft%5C%7Bx%2B2y %2B4z-6%3D0%2C%202z%2By-3%3D0%2C%20x%2By%2B2z%3D0%5Cright%5C%7D d. “infinitas” https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cleft%5C%7B2x%2B3y%2B2z %2B6w%3D10%2C%20y%2B2z%2Bw%3D2%2C%203x-3z%2B6w%3D9%5Cright%5C %7D II.

Método de Gauss-Jordán (Matriz Escalonada Reducida por Filas (MERF)(definición página 53) Antes de ver los pasos tengamos en cuenta lo siguiente: a. Matriz aumentada (MA) =matriz de los coeficientes añadiéndole como última columna la matriz B (matriz constante) b. Operaciones entre filas = operaciones entre ecuaciones: (página 5)

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c. Teoría de la sección 1.1:

d. Teoría pagina 61:

Pasos: MA

operaciones por filas

MERF

sistema = SOLUCION

Ejemplo:

SISTEMA…………………..MA…………..….MERF……....Sistema-Asociado...SOLUCIÓN III.

Método de Gauss (Matriz Escalonada (ME)(definición página 53)

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EJEMPLO:

SISTEMA………………..…..MA………………...….ME………......Sistema-Asociado.. SOLUCIÓN POR EL PROCESO DE SUSTITUCION HACIA ATRAS:

IV.En Symbolab utilizando en matrices la función: Eliminación de Gauss-Jordan: MA (matriz aumentada) …ir …

MERF

sistema = solución:

Nota: la solución con este método se puede leer en la matriz reducida que se puede escalonar: i) Unica solucion: cada variable tiene escalón. En Symbolab:

….ir..

…

Universidad de las Salle Algebra Lineal - Sistemas mxn SISTEMA……………Función de Symbolab.(MA)………acción ……...MERF…...Sistema-Asociado....SOLUCIÓN

En la página de Symbolab: https://es.symbolab.com/solver/matrix-gauss-jordan-calculator/gauss%20jordan %20%5Cleft(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D3%26-1%261%5C%5C %201%262%265%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright) ii) Ninguna solución: hay escalón en el término independiente y por tanto existe una contradicción. En Symbolab :

ir SISTEMA….. Función de Symbolab.(MA)…..acción……MERF ..Sistema-Asociado.…SOLUCIÓN En la página de Symbolab: https://es.symbolab.com/solver/matrix-gauss-jordan-calculator/gauss%20jordan %20%5Cleft(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%262%264%266%5C%5C %200%261%262%263%5C%5C%201%261%262%261%5Cend%7Bpmatrix%7D %5Cright) iii)Infinitas soluciones: alguna variable no tiene escalón (variable libre) y no hay contradicción. En symbolab :

SISTEMA……….En matrices:gauss jordan(MA) ….MERF………....Sistema-Asociado y se despejan x1 y x2 Nota: x3 y x4 son variables libres y toman cualquier número real Estas variables x3 y x4 que son las variables libres, no tienen escalón en la MERF, como pueden tomar cualquier valor real por ejemplo r y s RESPECTIVAMENTE, son ellas precisamente las que generan las infinitas soluciones, y la SOLUCIÓN general del sistema se escribe:

Otro ejemplo en Symbolab:

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https://es.symbolab.com/solver/matrix-gauss-jordan-calculator/gauss%20jordan %20%5Cleft(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D2%263%262%266%2610%5C%5C %200%261%262%261%262%5C%5C%203%260%26-3%266%269%5Cend %7Bpmatrix%7D%5Cright) 11. Ejercicios:

12. Mas ejercicios:

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13. Ejercicios del texto guía para complemento y practica: del 1.5: del 1 al 22 y del 27 al 30...