COLISION DE DOS CUERPOS EN DOS DIMENSIONES Y LA RELACION ENTRE COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS PDF

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COLISION DE DOS CUERPOS EN DOS ´
DIMENSIONES Y LA RELACION ENTRE ´
COLISIONES ELASTICAS E INEL ´ ASTICAS ...

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01/11/17 Grupo H3

´ DE DOS CUERPOS EN DOS COLISION ´ ENTRE DIMENSIONES Y LA RELACION ´ ´ COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS Abstract En este proyecto de laboratorio se estudi´o el comportamiento de dos cuerpos que colisionan semiel´astica e inel asticamente, ´ mediante el empleo de una serie de etapas metodologicas ´ en las que se calculo, ´ y se relacion´o ´ el momento lineal y la energ´ıa cinetica en diferentes puntos de referencia de un plano horizontal, observando que el momento lineal del sistema se conserva en ambos casos, mientras que la energ´ıa cinetica solo se conserva en el caso de colisiones perfectamente elasticas. ´

´ 1. INTRODUCCI ON Cuando ocurre una colisi´on, la colisi´on entre los objetos involucrados generalmente es mucho m´as intensa que cualquier interacci´on entre el sistema de objetos y su entorno. Entonces se puede ignorar los efectos de cualquier otra fuerza durante el breve intervalo de tiempo de la colisi´ on [1]. Al estudiar el comportamiento de dos cuerpos que colisionan entre s´ı, el analisis de la variaci´on de la fuerza a traves ´ del tiempo se apoya en la segunda ley de Newton, pero al considerarse la aplicaci´on de las leyes de conservaci´on para la cantidad de movimiento y la energ´ıa, es posible determinar mucha m´as informaci´on antes, durante y despu´ es de la colisi´on. A partir del an´alisis energ´etico correspondiente, se tienen dos casos bien definidos para el sistema: • Un choque en el que las fuerzas internas no realizan trabajo, por lo que los cuerpos involucrados conservan caracter´ısticas propias como el tama˜no y la forma, llamado choque el´astico. • Un choque en el que las fuerzas internas realizan trabajo, por lo que los cuerpos involucrados no conservan caracteristicas propias como el tama˜no y la forma, y en muchos casos son vistos como un sistema unico, astico. llamado choque inel´ Para el estudio de estos fen´omenos, se emple´o un riel de aire en el Laboratorio de F´ısica de la Universidad Industrial de Santander (UIS), con el que se realizaron mediciones de parametros f´ısicos tales como tiempo y distancia recorrida. El prop´osito de este proyecto de laboratorio es estudiar el comportamiento de los cuerpos al colisionarlos semiel´astica e inel´asticamente.

´ 2. MARCO TE ORICO

2.1 Cantidad de movimiento lineal Si una part´ıcula de masa m est´a movi´endose, en un instante determinado, con la velocidadv, definimos el momento lineal de la particula en ese instante (cantidad de movimiento, momentum o ´ımpetu) como: Un vector (p), producto de su masa (m) por la velocidad (v) que posee en ese instante[2].

~p = mv

(1)

2.2 Energ´ıa cinetica ´ de un sistema de part´ıculas La energ´ıa cin´etica de un sistema de part´ıculas es la suma de la de una part´ıcula de masa M = ∑ mi que se mueve con la velocidad del centro de masas y la energ´ıa cin´etica del sistema debida a su movimiento respecto del centro de masas. 1 1 T = mv2 + ∑ mi v′2i 2 2

(2)

2.3 Choque Se produce un CHOQUE entre dos part´ıculas o sistemas cuando, al acercarse entre s´ı, su interacci ´on mutua provoca una perturbaci´on en sus movimientos con intercambio de moıa. mento y energ´ 2.4 Conservacion ´ del momento lineal Si sobre la part´ıcula, la fuerza total que act´ua es nula, su momento lineal se mantiene constante durante el movimiento.

∑ F = 0 ⇒ p˙ = 0 ⇒ p = mv = cte

(3)

2.5 Choque frontal el´astico (una dimension) ´ Supongamos que dos cuerpos de masas M1 y M2 que se mueven con velocidades v1 y v2 chocan frontalmente (en una dimensi´on); el problema que queremos resolver es el

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c´alculo de las velocidadesv′1 y v2′ despu ´es del choque. Por conservarse el momento lineal y la energ´ıa podemos poner[3]: 4.

P1 + P2 = P1′ + P2′

(4)

m1 v1 + m2 v2 = m1 v′1 + m2 v2′

(5)

2.6 Choque frontal perfectamente inelastico ´ Diremos que ocurre un choque perfectamente inel´astico (o totalmente inel´astico), cuando los dos cuerpos que chocan salen de la colisi´on unidos con una velocidad com´un, que es es del choque[3]. la del centro de masas antes y despu´ m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )V

(6)

2.7 Coeficiente de restituci o ´n Se define el coeficiente de restitucion ´ como el cociente, con signo negativo, de las velocidades relativas de los cuerpos despu´es y antes del choque[3].

e=−

V1′ − v′2 v1 − v2

0≤e≤1

5.

6. 7.

(7)

3. OBJETIVOS 3.1 Objetivo General Estudiar el comportamiento de dos cuerpos que colisionan semiel´astica e inel´asticamente en una dimensi´ on. 3.2 Objetivos Espec´ıficos • Calcular el momento lineal y la energ´ıa cin´etica de un cuerpo antes y despu´es de una colision ´ (una dimensi´on). • Determinar el coeficiente de restituci´on e para cada una de las pruebas de laboratorio. • Determinar y establecer el principio de conservaci´on del momento lineal para colisiones el´asticas e inel´asticas (una dimensi´ on). • Determinar y establecer la conservaci´on de la energ´ıa cin´etica en colisiones el´asticas y la no conservaci´on de la energ´ıa cin´etica en colisiones inel´asticas.

4. METODOLOG´IA 1. Se nivel´o el riel de aire de manera que el deslizador se mantuviese en reposo. El deslizador en ausencia de fuerzas externas debe permanecer en la misma posici´on de origen. 2. Se midieron las masas de cada uno de los deslizadores on. utilizando una balanza de torsi´ 3. Se ubicaron las dos fotoceldas a una distancia prudente entre si. Luego, fueron conectadas a una tablet que registr´o los tiempos que tardaron los deslizadores en

8. 9.

10.

pasar por las fotoceldas. Se realiz´o una peque ˜na prueba en la que se verific´o que el led rojo de la fotocelda a. encend´ıa al pasar el deslizador por debajo de est´ Se ubic´o uno de los dos deslizadores en medio de las fotoceldas. El otro deslizador se ubic´o en uno de los extremos del riel a una distancia prudente de la primer fotocelda. T´engase en cuenta que para el estudio de colisiones semiel´asticas los dos deslizadores deben llevar en su cara frontal un corcho saliente, de manera que dada la colisi´on, las superficies de contacto de los deslizadores deber´ an ser precisamente las secciones transversales de los corchos. Se inici´o el programa de registro de la tablet. Luego, se le imprimi´o un impulso al deslizador del extremo del riel. Se registraron los datos: Tanto para colisiones semiel´asticas como para colisiones inel´asticas se toman tres tiempos, el del deslizador del extremo al pasar por la fotocelda uno, y los de el deslizador de en medio y el deslizador del extremo al pasar por la fotocelda dos. Se realiz´o el paso (4) cinco veces. Se repitieron los pasos (4) y (5) adaptando el montaje para el estudio de colisiones inel´asticas. T´ engase en cuenta que para tal estudio, se debe emplear un sistemas de puntas en los deslizadores: el deslizador que se encuentra en el extremo debe llevar en su cara frontal un punta met´alica, mientras que el deslizador de en medio debe llevar un corcho ahuecado; de manera que dada la colisi´ on los deslizadores quedar´an juntos. Se realiz´o el paso (6) cinco veces. Se calcularon las velocidades inicial y final de cada deslizador empleando la ecuaci´on (n). Posteriormente, se calcularon los momentos lineales inicial y final y la energ´ıa cin´etica de los deslizadores en cada posici´on de las fotoceldas empleando las ecuaciones (o) y (p). Se analizaron los resultados obtenidos, realizando la comparaci´on respectiva entre datos te´ oricos y datos experimentales.

´ 5. RESULTADOS Y DISCUSION Se consideraron dos casos para colisones en dos dimensiones. En primera instancia, se coloco el riel con angulo de inclinacion de 0◦, se tomo la distancia recorrida por la aleta (cuya distancia era1, 02cm) y tiempos registados por las fotoceldas para el c´ alculo de la velocidad. A continuaci´on se muestran los resultados obtenidos en seis tablas. Las tablas 1, 2 y 3, se muestran los resultados antes y despues ´ de una colisi´on semiel´astica de dos deslizadores sobre un riel de aire. En las tablas 4 y 5 y 6, se muestran los resultados antes y despues ´ de una colisi´on inel´ astica de dos deslizadores sobre un riel de aire.

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´ SEMIELASTICA ´ COLISION ) v0 ( cm s2 27,143 23,750 27,805 25,333 27,805

v f ( cm ) s2 v1 14,074 13,531 15,200 13,902 15,000

v2 14,615 14,250 16,056 14,615 15,616

´ INELASTICA ´ COLISI ON

p0 (dyn · s)

p f (dyn · s)

5705,429 4992,250 5844,585 5325,067 5844,585

6071,441 5887,964 6615,040 6035,370 647,301

Table 1. Calculo de las velocidades y del momentum de los

deslizadores antes y despu´es de la colisi´on. En la primera columna se muestra la velocidad del deslizador 1; el deslizador 2 estuvo en reposo antes de la colisi´ on. ´ ´ SEMIELASTICA COLISION ∆p(dyn · s) 366,019 895,714 770,455 710,303 634,716

E% 6,415 17,942 13,182 13,339 10,860

∆K(erg) 34162,319 18583,396 29876,278 24686,991 31975,424

E% 44,129 31,347 36,769 36,599 39,352

ıa Table 2. Diferencia de momentum y diferencia de energ´ cin´etica antes y despu´ es de la colisi´on, con el porcentaje de error de cada uno. Coeficiente e 1,118 1,399 1,273 1,278 1,219

%E 11,8 39,9 27,7 27,8 21,9

on e para cada una de las Table 3. Coeficiente de restituci´ prubas de choque semiel´astico. ´ ´ INELASTICA COLISION v0 ( cm ) s2

) v f ( cm s2

p0 (dyn · s)

p f (dyn · s)

40,714 43,846 45,600 27,805 45,600

39,310 42,222 43,846 27,143 43,846

8529,643 9185,769 9553,200 5825,122 9553,200

8235,517 8845,556 9185,769 5686,429 9185,769

Table 4. Calculo de las velocidades y del momentum de los

deslizadores antes y despu´es de la colisi´on. En la primera columna se muestra la velocidad del deslizador 1; el deslizador 2 estuvo en reposo antes de la colisi´ on.

Para colisiones semiel´asticas, como puede observarse en la tabla (2), los errores relativos de la diferencia de los mo-

∆p(dyn · s) 293,948 340,060 367,288 138,321 367,288

E% 3,446 3,702 3,845 2,375 3,845

∆K(erg) 180101,864 172098,687 184947,690 73362,515 184947,690

E% 103,722 85,459 84,911 90,589 85,459

ıa Table 5. Diferencia de momentum y diferencia de energ´ cin´etica antes y despu´ es de la colisi´on, con el porcentaje de error de cada uno. Coeficiente e 0,491 0,490 0,490 0,494 0,490

%E 49,1 49,0 49,0 49,4 49,0

on e para cada una de las Table 6. Coeficiente de restituci´ astico. prubas de choque inel´

mentos lineales finales y los momentos lineales iniciales que corresponde al principio de conservaci´ on del momento lineal, por cuanto dicha diferencia debe ser igual a cero, son aceptables, entre 6% y 18%, teniendose en cuenta, que dado el caso, en el momento justo de la colisi´on entre los deslizadores, al recibir el impacto, la parte frontal del deslizador de en medio tiende a levantarse describiendo un leve movimiento rotacional, por lo que la parte trasera del deslizador tiende a golpear el riel provocando rozamiento entre las superficies, de este modo, no es posible determinar que efectivamente el momento lineal se transmite totalmente de un deslizador a otro, es decir, solo a partir de aproximaciones (en consideraci´on de los atenunates y condiciones del fen´omeno) es posible determinar la conservaci´on del momento lineal en colisiones el´asticas; as´ı, se tienen colisiones semiel´asticas con comportamientos muy similares a los de las colisiones el´asticas. Como tambien puede observarse en la tabla (2), los errores relativos de la diferencia de las energ´ıas cin´eticas finales y las energ´ıas cineticas iniciales son muy altos, lo que quiere decir que la disipaci´on de energ´ıa no es para nada despreciable, por el contrario, la energ´ıa cinetica inicial del sistema termina transformandose en otros tipos de energ´ıa como el sonido. De esta forma, la eneg´ıa cinetica del sistema no se conserva, de hecho, realmente se tienen colisiones semiel´ asticas con comportamientos que no son similares a los de las colisiones el´asticas. Veas´e, en consecuencia, que los errores relativos del coeficiente de restituci´on e son lo suficientemente altos como para considerar y clasificar las colisiones de las pruebas como perfectamente el´asticas. Es de destacar que los coeficientes de

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restituci´on e son mayores a 1 (veas´e la ecuaci´on (7)), ello se debe a que como el deslizador que se encuentra en medio est´a en resposo su velocidad inicial es cero, luego la diferencia de las velociades inicial y final del deslizador del extremo es menor a la velociadad final del deslizador que se encontraba en medio. Para colisiones inel´asticas, , como puede observarse en la tabla (5), los errores relativos de la diferencia de los momentos lineales finales y los momentos lineales iniciales que corresponde al principio de conservaci´on del momento lineal, por cuanto dicha diferencia debe ser igual a cero, son mas ´ que aceptables, entre 2% y 4%; a diferencia de los choques ´ ´ elasticos y semiel asticos, en los choques inel ´asticos dada la colisi´on no se generan fuerzas de rozamiento entre superficies, recuerdese que al utilizarse un sistema de puntas paras las pruebas correspondientes se asegur´ o que los deslizadores se unieran sin ningun tipo de atenuante; as´ı, en las colisiones inel´asticas puede establecerse que efectivamente el momento lineal del sistema se conserva. Veas´e, en la tabla (6), que sorprendentemente los errores relativos del coeficiente de restituci´on e son muy altos, de hecho los coeficientes e de por s´ı corresponden a colisiones perfectamente semiel´asticas (0,49; veas´e la ecuaci´on (7) y no a colisiones inel´ asticas, lo que no es coherente con las apreciaciones experimentales. Aunque en las colisiones perfectamente semiel´asticas tambien el momento lineal del sistema se conserva, el sistema debe comportarse luego de la colisi´on como un solo cuerpo de masaM y no como dos cuerpos separados de masa m1 y m2 . Como puede observase en la tabla (5), los errores relativos de la diferencia de las energ´ıas cin´eticas finales y las energ´ıas cineticas iniciales son igualmente muy altos, m´as altos que los obtenidos en las colisiones semiel´asticas del primer caso, ello se debe a que parte de la energ´ıa cinetica inicial del sistema se transforma en energ´ıa t´ermica y energ´ıa potencial (una fracci´on de segundos en reposo, en el momento justo en que se introduce totalmente la punta metalica ´ del deslizador), por lo que la energ´ıa cin´etica total despu´es de la colision ´ es menor que la energ´ıa cinetica total antes de la colisi´on, la energ´ıa cinetica del sistema no se conserva; as´ı y en consecuencia, se tienen realmente colisiones perfectamente semiel´asticas y no propiamente colisones inel´ asticas.

6. CONCLUSIONES • El coeficiente de restituci´on e para cada una de las pruebas de laboratorio, en el caso de colisones semiel´asticas, se encuentran entre1, 118 y 1, 399; en el caso de colisiones inel´asticas, el coeficiente de restituci´on e se encuentra entre0, 49 y 0, 494. As´ı, las colisiones semiel´asticas asticas que no tienen un son verdaderas colisones semiel´ comportamiento similar a las colisones el´asticas; y las

colisones inel´asticas son realmente colisiones perfectamente semiel´ asticas que no tienen un comportamiento asticas. similar a las colisones inel´ • En colisiones semiel´asticas y perfectamente semiel´asticas se conserva el momento lineal pero no la energ´ıa cin´etica del sistema. Ignorando las condiciones y atenuantes del fen´omeno, en el caso de colisiones perfectamente semiel´asticas (colisiones inel´ asticas), se establece que el momento lineal del sistema se conserva y la energ´ıa cinetica del mismo no se conserva. • En base al respectivo an´alisis de cada tipo de colisi´on, no es posible determinar, a ciencia cierta, el principio on de la energ´ıa cin´etica en colisiones de conservaci´ asticas. el´

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